平移的性質

我們可以將影像的一行轉換到頻率空間，由F(v)=|F(v)|e^−jφ(v)可得到其相位 函數φ(v)，如果兩張影像的內容之間存在單純垂直平移關係，則可得到兩張影像 相對應的兩行在頻率空間的關係式，如3-3 式所示：

) / ( 2

0) ( ) ⁰

(y y F v e ^{j vy M}

f + ⇔ ^{− π} (3-3) 其中 f(y+y₀)為影像內容平移後的某行， F(u)為影像內容平移前的該行在頻率 空間的函式，y 為兩張影像內容之間的水平平移量，₀ M 為影像的寬。 f( y)與

) (y y₀

f + 在頻率空間的相位差為 2π(vy₀ /M)，是一線性函數。圖 3-7 (a)、(b) 為兩張僅具有水平平移關係的影像，(c)則是兩張影像經過傅立葉轉換的相位差

的相位時，該相位的數值只能介於−π 到π 之間，所以求得的相位差，呈現一鋸

) 像長或寬的一半，因為離散傅立葉轉換（discrete Fourier transform）的週期特性，

可視為反向的移動關係，也就是說，其相位差線性函數的斜率不超過± ，如 3-5π

(a) (b)

(c) (d)

圖 3-10 (a)、(b) 為影片中前、後兩個影像。 (c) 表示白色方塊由上向下移 動。 (d) 使用頻率空間來處理數位影像時，則可視為影像為週期性的，也就 是在影像邊界外的部份，是由同樣的影像所構成，而形成另外一個白色方塊，

因此，我們可以將方塊的移動視為由下向上移動。且此兩平移量值總和為影 像長度。

在圖3-10 中，(a)、(b)為兩張僅具有垂直平移關係的影像，在一般的判斷下，

可以視為由上向下移動，如(c)中的紅色箭頭所示。但是在離散傅立葉轉換所造 成的週期性關係之下，我們也可將移動方向視為由下向上，如(d)中的紅色箭頭

所示，並且將(d)中下方的方塊視為上方白色方塊的週期所產生的結果。所以所 有的平移量，都存在另外一個反向，且與原先平移量的總和為週期大小的平移 量，在本論文研究中，我們將採用值小於半個週期的解。

然而真實影像當中，並不必然有這麼單純的平移關係。在一組影像中，存在 前景物體移動以及背景移動時，會產生兩種非平移關係，一是物體與物體之間、

物體與背景之間被物體的遮蔽區域，在前景物體移動方向上的背景或是另一個物 體將隨著時間而被擋住，物體後方的背景也隨之出現；第二個非平移關係存在於 影像的邊界，因為背景的移動，在影像的邊界將也會產生多出來的背景，以及隱 沒在邊界之外的區域。因此，所得結果必然不是預期般的單純線性關係。

在我們背景平移量分析的方法中，因為只考慮背景的移動，所以可以忽略物 體所造成的遮蔽，而只需考慮影像背景移動所造成的邊界效應。圖 3-11 是兩張 只有垂直平移關係的影像，由(a)至(b)可以視為影像由下向上移動。(a)中的紅色 區域表示隨著影像平移的部分，將隱沒的邊界之外的區域；(b)中的綠色區域則 是因為影像移動，而新增加的部分。

(a) (b)

圖3-11 兩張僅存在垂直向上平移關係的影像。 (a) 紅色區域表示在另一張 影像中將隱沒的部分 (b) 綠色區域表示在影像中新增加的部分

首先，將相位線性分析的背景平移量估計演算法使用在同一張真實影像的兩 個區域，這兩個區域之間只有存在平移關係。影像邊界所造成的影響如圖 3-12 所示，(a)、(b)是由同一張影像中擷取出來，但是因為擷取範圍不同而尺寸相同，

所以產生了平移量。(c)是(a)、(b)兩張影像紅線標示的地方，經過傅立葉轉換後，

求得的相位差結果。(d)則是將相位差經過圖 3-8 還原相位差線性關係的演算法轉 換結果。雖然(d)結果接近一條直線，但是並不為純粹的直線，而有許多小幅度 的曲折，因此會需要使用估計的方式找出近似的直線。

(a) (b)

(c) (d)

圖3-12 (a)、(b)為兩張僅存在平移關係的真實影像。 (c)為(a)、(b)影像之中央行 (以 紅色線段標示) 的相位差關係。(d)為(c)中的折線，經過轉換後所得的近似線性相位 差關係。

但是使用真實影像在比較相位時存在了更多的問題，其中最主要的關鍵是在 分析影像各行在頻率空間的相位時，同時要考慮各頻率的振幅。當振幅過小時，

必須考慮到相位的誤差放大問題，且當兩張影像相對應各行在頻率空間的振幅相 差過大時，比較相位並不具有平移的意義。以下將針對振幅的影響及相位差線性 關係的估計說明。