第三章 平面四連桿機構運動產生之合成理論
3.4 平面四連桿機構的合成方程式
對於平面四連桿組機構通常可視為兩個雙桿向量鏈之向量組合，且 RRRR 機 構可由耦桿點區分為左右兩半部，而 RRRR 四連桿機構是由兩組 RR 雙桿鏈的組 合，如圖 3.4 的示意圖所示。
圖 3. 4 左右雙桿鏈之構造合成示意圖
由圖 3.4 可知此機構的左邊是由 W1和 Z1的向量所組成的雙桿鏈，而右邊是 由 U1和 S1的向量所組成的雙桿鏈，且所有的旋轉角度以逆時針方向為正。對於 圖(3.4)中的左側迴路，j為 W1到 Wj的旋轉角度，j為 Z1到 Zj的旋轉角度。而 對於圖(3.4)中的右側迴路，j為 U1到 Uj的旋轉角度，j為 S1到 Sj的旋轉角度。
最後，j為耦桿點 P 從位置 1 到位置 j 的位移向量。
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圖 3. 5 RRRR 機構的位移示意圖
對於運動產生四連桿機構的合成，若指定耦桿點通過的位置 P 和方向角度
j，並自由選擇j 和j 的參數，可找出四連桿尺寸，並利用順時針方向之向量相 加構成閉迴路。
對於左側迴路，利用 W1、Z1、j所形成之向量迴路得：
i j
i j (3.2) 整理後得：
i j i j (3.3) 對於右側迴路，同理 U1、S1、j所形成之向量迴路得：
i j i j (3.4) 其中 W1、Z1、U1、S1為複數，所以可將式(3.3)和式(3.4)改寫成：
x i y os j isin j
x i y os j isin j jx jy (3.5)
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由圖 3.5 的尺寸關係，個桿件長度為：
a 、 S 、 、 S 在圖 3.3 中，4R 機構的向量迴路方程式為：
i i i (3.16) 將式(3.9)以歐拉等式(Euler identity)展開：
os isin os isin os isin (3.17) 將式(3.10)整理，取出實部和虛部 得：
os os os (3.18) sin sin sin (3.19)
圖 3. 6 RRRR 機構的尺寸參數
將式(3.11)和式(3.12)兩式平方相加消去，得 Freudenstein’s 方程式：
K os K os K os os sin sin (3.20)
其中，
K 、K 、K 應用半角公式可解：
tan C
( )
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3.5 極限位置與死點位置
在設計平面四連桿機構時，設計者必頇檢驗機構各桿件是否能連續通過設定 的精確位置，而極限位置與死點位置是檢驗機構是否可做連續運動的要點。
當一個四連桿機構組輸入桿與連接桿成一直線時，這時輸出桿即位於極限位 置。如圖 3.6 曲柄搖桿機構，在 CA1B1D 與 CA2B2D 兩位置時，輸出桿在極限位 置(和)。當輸入桿作 360°運動時，輸出桿即在這兩個極限位置間做搖擺運，
由三角函數餘旋弦定理即可求出輸出桿的極限位置和為:
圖 3. 7 極限位置與死點位置
os ( )
和
os ( )
在極限位置時，僅需極小的輸入扭矩即可產生極大的輸出扭矩，在此情況時 機械利益(Mechanical Advantage)為無窮大。
若將圖 3.6 之曲柄搖桿機構倒置應用，輸出桿 R4為輸入桿，當連接桿 R3與 輸出桿 R2共線時，即在 AB1CD 與 AB2CD 位置時，R3桿作用於 R2桿的力量通過 A，力矩效應為零，故無法驅動輸出桿旋轉，機構在此位置時不能運動，如同剛
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體結構般，則稱此機構位於死點位置。若欲維持機構於死點點位置的運動性，則 必頇朝輸出桿運動的方向施加外力，以越過死點位置。
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z(1)= 0.369026045389569 z(2)= 0.440393741551355 z(3)= -3.406945272293561 z(4)= 1.823448177405221 z(5)= 0.116227134412049 z(6)= 0.063481728380192 z(7)= -2.583024618607818 z(8)= 3.667995936955013
2
z(1)= 0.369026045399350 z(2)= 0.440393741533108 z(3)= -3.406945272400124 z(4)= 1.823448177494946
z(5)= -0.746190698090208 z(6)= 0.003415923287743
z(7)= -0.712923133169945 z(8)= 5.293170292826608
3
z(1)= 0.369026045395621 z(2)= 0.440393741506421 z(3)= -3.406945272430927 z(4)= 1.823448177581042
z(5)=-11.937876152128796 z(6)= 7.821283807399597 z(7)= 16.957717622157823
z(8)= -6.353797671155914
4
z(1)= 0.116227134411787 z(2)= 0.063481728380121 z(3)= -2.583024618607209 z(4)= 3.667995936956454 z(5)= 0.369026045396423 z(6)= 0.440393741522497 z(7)= -3.406945272402564 z(8)= 1.823448177526874
5
z(1)= 0.116227134412427 z(2)= 0.063481728381126 z(3)= -2.583024618604254 z(4)= 3.667995936947444
z(5)= -0.746190698049456 z(6)= 0.003415923260643
z(7)= -0.712923133334340 z(8)= 5.293170292856417
6
z(1)= 0.116227134412060 z(2)= 0.063481728380451 z(3)= -2.583024618606662 z(4)= 3.667995936954345
z(5)=-11.937876194074239 z(6)= 7.821283830377553 z(7)= 16.957717671320616 z(8)= -6.353797696294201
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7
z(1)=-11.937876154631690 z(2)= 7.821283808090426 z(3)= 16.957717625054077 z(4)= -6.353797671605082 z(5)= 0.369026045395994 z(6)= 0.440393741518167 z(7)= -3.406945272408932 z(8)= 1.823448177541108
8
z(1)=-11.937876161928930 z(2)= 7.821283812215786 z(3)= 16.957717633626554 z(4)= -6.353797676182551 z(5)= 0.116227134412054 z(6)= 0.063481728380280 z(7)= -2.583024618607352 z(8)= 3.667995936954766
9
z(1)=-11.937876159042561 z(2)= 7.821283810725388 z(3)= 16.957717630239980 z(4)= -6.353797674589038 z(5)= -0.746190698090077 z(6)= 0.003415923287510 z(7)= -0.712923133170846 z(8)= 5.293170292826945
10
z(1)= -0.746190698467498 z(2)= 0.003415923462971 z(3)= -0.712923131828317 z(4)= 5.293170292741017 z(5)= 0.369026045372827 z(6)= 0.440393741502153 z(7)= -3.406945272316696 z(8)= 1.823448177595413
11
z(1)= -0.746190698079738 z(2)= 0.003415922944123 z(3)= -0.712923134233546 z(4)= 5.293170293827406 z(5)= 0.116227134412794 z(6)= 0.063481728381283 z(7)= -2.583024618596712 z(8)= 3.667995936947547
12
z(1)= -0.746190698089742 z(2)= 0.003415923287403 z(3)= -0.712923133171947 z(4)= 5.293170292827002 z(5)=-11.937876148760306 z(6)= 7.821283802864042 z(7)= 16.957717618332925 z(8)= -6.353797665020874
以下只將有按照精確點順序的機構描繪出來，如圖 4.1 至圖 4.12 所示。
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第一組解：
圖 4. 1 五個精確點第一組解之機構圖形
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第二組解：
圖 4. 2 五個精確點第二組解之機構圖形
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36
第三組解：
圖 4. 3 五個精確點第三組解之機構圖形
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第四組解：
圖 4. 4 五個精確點第四組解之機構圖形
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第五組解：
圖 4. 5 五個精確點第五組解之機構圖形
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圖 4. 6 五個精確點第六組解之機構圖形
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第七組解：
圖 4. 7 五個精確點第七組解之機構圖形
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第八組解：
圖 4. 8 五個精確點第八組解之機構圖形
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第九組解：
圖 4. 9五個精確點第九組解之機構圖形
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第十組解：
圖 4. 10 五個精確點第十組解之機構圖形
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第十一組解：
圖 4. 11 五個精確點第十一組解之機構圖形
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第十二組解：
圖 4. 12 五個精確點第十二組解之機構圖形
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觀察以上實際範例，可以看到十二組解中，繪製之圖形有六組圖形是與其它 六組圖型相似，但在實際以 Math CAD 計算出誤差值後，發現雖然圖形相似但耦 桿角、耦點實際位置以及誤差值並不一樣，這樣的結果甚至影響到平面四連桿機 構的運動行為。
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第五章 結論與未來展望
本研究針對平面四連桿機構運動合成來進行設計，以數值方法同倫法來計算 出欲求的解，在機構設計上大大節省了運算時間。有了完整的同倫法運算程式基 礎後，未來可廣泛的運用在科學領域中，在機構學的領域裡，加入同倫法之後，
電腦數值程式使得非線性問題的求解變得相較容易。
本論文亦有以下幾個未來之展望：
1. 應用於四連桿機構之合成有很多種形式，本文針對運動產生的問題提出有效之 求解方法，未來可以延伸應用於多連桿機構、凸輪機構以及空間機構等研究上。
2. 非線性方程組運算上，若搜尋路徑相當龐大，可以先把發散的路徑加以剔除，
將可減少許多程式運算上的時間，如六連桿機構，執行起來可能需要相當冗長 的時間，這在有時間限制的設計中十分不利，因此加入齊性化以減少路徑數目 是縮短計算時間相當好的方法之一。
3. 利用同倫法所解出的答案中並非每ㄧ個都適用，有的解所描繪出來的圖形通過 精確點的順序不同，甚至也有精確點在不同路徑上，因此如果能夠快速判斷適 用的解是較佳的。
4.在本論文運動產生中，由於預設條件必頇自行假設，如果找尋出規律性，
並設計較好的預設條件，則計算出之結果，可以較符合實際可用之機構。
58 General Six- and Five-Degree-of-Freedom Manipulators by
Continuation Metho s ” SM ransa tions Journal o Me hanisms Transmissions, and Automation in Design, Vol. 107, 1985, pp. 189-200.
[6]Wampler C Morgan P an Sommese J “Numeri al Continuation Methods for Solving Polynomial Systems Arising in Kinemati s ” Journal o Me hani al esign rans SM Vol 1990, pp.59-68.
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59
9 ampler C Morgan P Sommese J “Complete Solution of the Nine-Point Path Synthesis Problem for Four- ar Linkages ” ASME Transactions, Journal of Mechanical Design, Vol. 114, 1992, pp.153-159.76
[13]黎光祥，Stewart Platform 機構正向運動分析的數值法與解析法之探 討，碩士論文，國立成功大學機械工程研究所，台南，1997。