本研究先從單一變量模式中，採用 GARCH(1,1)、GARCH-t(1,1)和非線性模 式中的 GJR-GARCH(1,1)，並以美國來做日本與香港的外生變數來做探討。在二 元變量的部份，以日本與香港兩市場股價報酬波動來做模式分析，所採用的模式 有：固定相關性 GARCH(1,1)模式及變動相關性模式，而固定相關性 GARCH(1,1) 模式是假設相關係數為常數，並不會隨時間有所改變；變動相關性模式是有考慮 相關係數會隨者時間變動的情形。進一步將變動相關性模式擴展至三元變量，加 入原為外生變數的美國，形成日本、香港及美國三個市場的三元變動相關性模 式，分析三個股市間的股價報酬波動之外溢效果以及聯動影響。
由 Chen, Chiang and So (2003)提出，須注意到在不同的國家的股票交易市場 在不同的時間操作，本研究中日本跟美國時差 14 個小時，日本跟香港時差 1 個 小時，資料採取日資料，在基於各國市場封閉時段以及較高頻率的資料之考量，
故不考慮當期效果，僅僅只考慮落後一期以上的外溢效果。
8.1 建立GARCH模式與GARCH-t模式
由Bollerslev(1986)將ARCH模式加入條件變異數的落後期之後，進而提出 GARCH模式，目前在財務的理論發展及實務應用上，被廣泛接受。又根據 Bollerslev 等人 (1992)的研究指出，GARCH(1,1)模式已經能夠捕捉條件波動的 情形了。所以本研究採用的(8.1.1)式為GARCH(1,1)模式。
美國為外生變數
r
1t，香港或日本為r
2tt t
t
r a
r
2 =δ 1,−1+ ,a
t =σtεt ,2 1 1 2
1 1 0 2
−
− +
+
= t t
t α α
a
βσσ . (8.1.1)
為了使(8.1.1)式的波動變異數為正的條件之下，給予α0 >0 , α1
≥ 0
, β1≥ 0
限 制，在共變異數平穩條件之下，須α1+
β1< 1
。在估計方法以條件概似函數法來 計算，一般用常態和 t 分配兩種。由之前相互影響的探討中就可以得知香港跟日本分別和自己前幾期影響都 不顯著，因此，所以往後的模型並沒有均數方程的部份。在(表六)中可以看出香 港受到自身前一期的條件變異數為 2.4467，比日本的條件變異數 2.7407 來的大。
就 t 統計量的自由度估計值方面約在 7 左右，當自由度大於 4 且較小時，暗示用 來做條件概似函數的標準 t 分配是屬於高狹峰且厚尾的，這跟在資料統計量表中 檢定為非常態分配又高狹峰，此財務資料為厚尾型分配的結果是一致。
在配適完 GARCH 模式之後，檢視模式是否合適也是很重要的，可以用標準 化殘差為ε~ ，其中t
ε
~ =ta
t /σ
ˆt ，再計算ε~ 和t ~2εt 的 Q 統計量 (Ljung-Box 統計 量)來判斷均數方程與條件變異數方程的適合性，若計算出的 P 值為不顯著表示 此模式是能夠解釋之報酬率資料的狀況。以在落後期數為 10(約兩個星期)的標 準化殘差與殘差平方之 Q 統計量為例，分別可以表示成 Q(10)與 Q2(10)。在(表 七)中的 Q 統計量可看出，落後期數為 5(約一個星期)、10、15 和 20(約一個月) 的標準化殘差與殘差平方之兩個市場的 P 值都為不顯著的情況，表示可以判定 GARCH(1,1)-Normal and t distribution 兩模式都為合適的。
8.2 建立GJR-GARCH-t模式
GJR-GARCH 模式由 Glosten, Jagannathan 與 Runkle (1993)提出，此模式不 僅可以反應波動的不對稱性，也可以偵測到不同程度的正向與負向變動對條件波 動的不同影響。也就是表示負向變動所引發的波動會大於正向變動所引起的波
動。經由變異數不對稱檢定後，發現採用非線性模式對兩個股市更具有解釋的能 力。
在模式中的γ 係數為代表前一期的壞消息比起好消息所造成的波動影響程 度上的不同，但通常壞消息所造成的波動會比好消息所造成的影響來得大，所以
γ 的估計值在實證上都為正值比較多。
美國為外生變數
r
1t，香港或日本為r
2tt t
t
r a
r
2 =δ 1,−1 + ,a
t =σtεt ,2 1 1 2
1 1 2
1 1 0 2
−
−
−
− + +
+
= t t t t
t α α
a
βσ γI a
σ , (8.2.1)
⎩ ⎨
⎧
≥
= <
−
−
−
0 , 0
0 ,
1
1 1 1
t t
t
a
I a
,然而在(8.2.1)式波動變異數為正的條件之下，給予α0 ≥0 , α1
≥ 0
, β1≥ 0
的 限 制 ， 在 共 變 異 數 平 穩 條 件 之 下 ， 必 須 α1+
γ≥ 0
, α1+
β1≤ 1
,1 5 .
1
0
1
+
β+
γ≤
α ，本研究在估計方法以 t 分配的概似函數來計算。
在(表六)中可以看出與 GARCH 模式一樣，香港比日本受到自身前一期的條 件變異數的影響大一點。至於在描述負向消息所造成的影響性方面，觀察出γ 的 係數分別為日本約 0.04、香港約 0.03，兩者皆為正值，是符合實證上的分析數據 的，然而日本的係數比香港大一些，表示日本對負面消息較敏感。在(表七)可得 Q 統計量，兩市場 P 值都為不顯著的情況，表示可以判定 GJR-GARCH(1,1)- t distribution 模式合適。
8.3 建立二元固定相關性 GARCH 模式(Constant-Correlation Model)
此模式為Bollerslev(1990)所建議的特例，是假設相關係數ρ並不隨著時間有 所改變之下，探討多變量的模型。然而在Longin and Solnik(1995)曾以多變量固 定相關性自我迴歸條件異質變異數模型中，探討日本與美國具有條件相關會隨時
⎥⎦
8.4 建立二元變動相關性模式(Time-Varying Correlation Model)
在Tse, Y. K. and Tsui, A.K.C. (1998)將固定相關性模式擴展為假設相關係數 ρ會隨著時間有所改變之下，探討多變量的模型，並使用Cholesky矩陣分解法來 運算條件變異數及其相關函數。不但能解決財務資料會隨時間改變而有所不同的 性質，更提高了模式解釋的能力。
所謂 Cholesky 矩陣分解，將正定矩陣(假設為 A 矩陣)，經由求取特徵值與 特徵向量，將 A 矩陣分解成 LDLT，其中 L 為上三角矩陣，D 則是對角線元素為
特徵值的對角矩陣。
⎪⎪