在微積分的課程中, 主要是在討論f(x)在[a, b]上是連續函數的情況, 此時, 將(B1)與 (B2)的 結果合併得到函數 F(x) =Rx
a f(t) dt 在 [a, b]上是可微分函數, 並且最後的結果可寫成以下式子: d
dx
Z x a
f(t) dt
= f (x)。 (3)
式子 (3)的另一個詮釋為: 若 f(x)是連續函數, 則積分與微分是互逆的操作。
第五章我們曾經介紹過反導函數的意義, 這裡我們再做一個複習。 給定在 [a, b] 上的函數 f(x), 若存在可微分函數 F(x) 使得對所有 x ∈ [a, b] 都有 F′(x) = f (x) (端點處只考慮單側導數), 那 麼稱 F(x) 是 f(x) 的一個 反導函數 (antiderivative)。 另外一個結果是: 若對所有 x ∈ [a, b] 滿足 g′(x) = 0, 則 g(x) 為常數函數。 將這兩件事合併, 則得知: 如果 F(x) 是 f(x) 的一個反導函數, 那 麼F(x) + C 都是f(x)的反導函數, 其中C∈ R。 於是, 若f(x)是 [a, b]區間上的連續函數, 則(3) 式說明了F(x) =Rx
a f(t) dt + C 是一個 f(x)的反導函數。
特別注意, 上面兩段文字一直強調著 f(x)是連續函數的情形。 現在我們要問的是: 若 f(x)只是
一個在 [a, b]上的可積分函數,那麼 f(x)的反導函數存在嗎? 為了回答這個問題, 我們先觀察單位階
梯函數的情況。
例 2. 考慮 單位階梯函數 (unit step function) f(x) =
( 0 若x <0 1 若x≥ 0, 若取 a <0,則
F(x) = Z x
a
f(t) dt =
( 0 若x≤ 0 x 若x >0。 由此, 再計算
F′(x) =
0 若x <0 不存在 若x= 0 1 若x >0, 得到 F′(x) 6= f (x)。
由上面的例子, 我們發現到: 只要 f(x) 在 [a, b] 上有一個不連續點, 那麼就無法利用 F(x) = Rx
a f(t) dt 的方法得到 f(x) 的反導函數。 實際上, 這件事呼應第 5 章證明過的一個定理: 若函數
f(x) 在[a, b] 上是可微分函數, 則導函數f′(x) 不存在跳躍不連續點 (jump discontinuity)。 所以它 的否逆命題告知: 任何在 [a, b] 上處處有定義且具有跳躍不連續點的函數之反導函數不存在。
仔細觀察單位階梯函數 f(x) 以及 F(x) =Rx
a f(t) dt 所得 F′(x)的結果, 其實也只有 F′(0) 6=
f(0) 而已, 其它地方都是一樣的。 這就有如一顆老鼠屎壞了一鍋粥一般, 只不過是一個點的不連續性 就破壞了整個理論, 回過頭來想,我們好像對於函數與其反導函數這件事過於要求。 如果函數 f(x)只
是一個在 [a, b] 上的可積分函數, 由微積分基本定理的第一部份只能得知 F(x) = Rx
a f(t) dt 是在
[a, b] 上的連續函數, 此外就沒辦法再多說些其它的事情了嗎?
或許各位也不應對於積分理論過於失望, 我們不妨從微積分基本定理第二部份重想上面的問題。
定理 3 (微積分基本定理第二部份, Fundamental Theorem of Calculus, Part II). 假設函數 f(x) 在 [a, b]上是可積分的,F(x) 在[a, b]上是連續函數, 並且除了有限個點以外都有 F′(x) = f (x),則
Z b a
f(x) dx = F (b) − F (a)。
證明: 將 F′(x) 6= f (x)的點記為x∗1, x∗2, . . . , x∗m, 注意到這些點有可能是導數 F′(x∗j) 不存在。考慮 在 [a, b] 上的分割 P : a = x0 < x1 <· · · < xn−1 < xn = b, 並且要求所有 x∗j, j = 1, 2, . . . , m 都是P 的分割點。 因為 F(x) 在[xi−1, xi]上連續, 在(xi−1, xi)上是可微分的, 由均值定理 (Mean Value Theorem)得知: 存在 ci ∈ (xi−1, xi) 使得
F(xi) − F (xi−1) = F′(ci)(xi− xi−1) = f (ci)∆xi, 因此
F(b) − F (a) =
n
X
i=1
(F (xi) − F (xi−1)) =
n
X
i=1
f(ci)∆xi,
因為f(x)在 [a, b]上是可積分的, 所以對任意ε >0, 存在 δ >0 使得對於分割P : a = x0 < x1<
· · · < xn−1 < xn= b與樣本點ci ∈ [xi−1, xi]的選取下, 只要 kP k < δ 都有
F(b) − F (a) − Z b
a
f(x) dx
=
n
X
i=1
f(ci)∆xi− Z b
a
f(x) dx
< ε,
因此Rb
af(x) dx = F (b) − F (a)。
當這個公式建立之後, 我們對於尋找不是太糟糕的函數在某個閉區間上定積分的問題就幾乎不再 使用定義的方式處理, 取而代之的是努力思考如何尋求一個函數的反導函數。 這是因為使用定義處理 問題時, 基本上只是在回答定積分的存在性, 至於定積分的值是多少通常不太有明確的結果。 此外, 在 微積分的課程裡, 我們如實地將常見函數之反導函數確實求得, 並引出很多的積分技巧幫助尋找反導 函數的明確表達式。 在高等微積分的課程中, 主要著重在理論的層面, 關於各式各樣如何求出定積分 的技巧就不再多述。
而 定理3的結果是放寬到被積分函數允許有限個不連續點的情況也成立。 由前面的討論知道: 若 函數 f(x) 在 [a, b] 區間上在 x = x∗1, x∗2, . . . , x∗m 產生不連續點, 雖然 f(x) 在 [a, b] 上的反導函數 不存在, 但是分段來看, 函數 f(x)在 (x∗j−1, x∗j) 上的反導函數 Fj(x) + Cj, j = 1, 2, . . . , m, m + 1 是存在的, 其中記 a= x∗0, b= x∗m+1 以及 Cj ∈ R。 當我們對於函數 f(x) 在不連續點 x= x∗j 的地 方要求左、右兩側的反導函數Fj(x) + Cj 與Fj+1(x) + Cj+1 在x= x∗j 處連續,比方說 C1 先給定, 而C2 的值由反導函數在 x= x∗1 的連續性可以被決定; 也就是說, 從
x→(xlim∗1)+(F1(x) + C1) = lim
x→(x∗1)−(F2(x) + C2) 解出C2, 然後依序確定C3, C4, . . . , Cm+1 的值, 那麼就有
Z b a
f(x) dx =
x→blim−Fm+1(x) + Cm+1
−
x→alim+F1(x) + C1
。
回顧微積分課程時學到處理定積分的技巧, 主要的方法有五類: 變數變換法(Substitution Rule)、 分部積分法(Integration by Parts)、三角積分法(Trigonometric Integration)、部份分式法(Partial Fraction Method)與三角代換法(Trigonometric Substitution)。關於後面三種積分技巧, 主要是介 紹某些類型的函數之反導函數可以確實找出, 並且告知如何找出, 但是這些技巧都是源自於變數變換 法與分佈積分法。 於是以下將確實證明這兩個積分技巧。
定理 4 (變數變換法則, Substitution Rule). 若 φ(x) ∈ C1([a, b]), 並且 φ′(x) 6= 0, 而函數 f(x) 在 [c, d] = φ([a, b]) 上是可積分的, 則
Z φ(b) φ(a)
f(u) du = Z b
a
f(φ(x))φ′(x) dx。
證明: 因為 φ′(x) 6= 0 是連續函數, 所以 φ′(x) 在 [a, b] 上恆正或恆負。 這裡只討論 φ′(x) > 0 的情 形,關於 φ′(x) < 0的情況同理可證。 因為 φ′(x) > 0, 所以函數φ(x) 在[a, b] 上是嚴格遞增的函數, 並且 [c, d] = [φ(a), φ(b)], 而且φ−1 : [c, d] → [a, b] 也是嚴格遞增的函數。
現分成以下幾個步驟完成論述:
(A) 給定在 [a, b] 上的一個分割 P : a = x0 < x1 <· · · < xn−1 < xn= b, 因為 φ(x) 是嚴格遞 增的函數, 令 ui = φ(xi), 其中 i= 0, 1, 2, . . . , n, 則得在 [c, d] 上的一個分割 P′ : c = u0 <
u1<· · · < un−1 < un= d, 對任意的樣本點 ζi ∈ [ui−1, ui], 函數 f(u)在 [c, d] 上對於分割 P′ 的黎曼和為
R(f, ζ, P′) =
n
X
i=1
f(ζi)∆ui =
n
X
i=1
f(ζi)(φ(xi) − φ(xi−1))。
因為定積分 Rφ(b)
φ(a) f(u) du 存在, 所以對任意ε >0 存在 η >0使得對於分割 P′ 與任意樣本 點 ζi∈ [ui−1, ui], 只要 kP′k < η, 則
R(f, ζ, P′) − Z φ(b)
φ(a)
f(u) du
< ε。
(B) 因為反函數 φ−1 : [c, d] → [a, b] 存在, 所以對於 i = 1, 2, . . . , n, 每個 ζi 都存在 ci 使得 ζi = φ(ci);另一方面, 因為 φ(x) ∈ C1([a, b]), 由均值定理 (Mean Value Theorem)得知: 存 在c∗i ∈ (xi−1, xi) 使得φ(xi) − φ(xi−1) = φ′(c∗i)(xi− xi−1) = φ′(c∗i)∆xi, 於是在 (A)的討 論中, 黎曼和可以改寫為
R(f, ζ, P′) =
n
X
i=1
f(ζi)(φ(xi) − φ(xi−1)) =
n
X
i=1
f(φ(ci))φ′(c∗i)∆xi。
現在想要將對於分割 P′ 的條件改成對於分割 P 的條件。 因為φ′(x) 在[a, b] 上有界, 所以存 在 M1 >0 使得對所有 x∈ [a, b] 都有 |φ′(x)| ≤ M1。 對任意 ε > 0, 取 δ1 = Mη
1 >0, 則對 任意分割P 與任意樣本點ζi, 只要 kP k < δ1, 則有kP′k ≤ M1kP k < M1·Mη
1 = η, 那麼有
R(f, ζ, P′) − Z φ(b)
φ(a)
f(u) du
=
n
X
i=1
f(φ(ci))φ′(c∗i)∆xi− Z φ(b)
φ(a)
f(u) du
< ε。
(C) 對任意 ε > 0, 因為 f(u) 在 [c, d] 上有界, 存在 M2 > 0 使得對所有 u ∈ [c, d] 都有
定理 5 (分部積分公式, Integration by Parts). 假設函數 f(x), g(x), f′(x), g′(x) 在 [a, b] 上都是 由微積分基本定理 (Fundamental Theorem of Calculus) 得知:
h
定理 8 (積分第二均值定理, Second Mean Value Theorem for Integrals). 假設 f(x) 在 [a, b] 上
定理 9 (積分第二均值定理, Second Mean Value Theorem for Integrals, general version). 假設函 數 f(x) 在 [a, b] 上可積分的, g(x) 是單調函數, 則存在 ξ ∈ [a, b] 使得
Z b a
f(x)g(x) dx = g(a) Z ξ
a
f(x) dx + g(b) Z b
ξ
f(x) dx。 證明: 若 g(x)遞增, 令G(x) = g(b) − g(x), 則G(x)非負且遞減, 由 定理8 得知:
Z b a
f(x)G(x) dx = G(a) Z ξ
a
f(x) dx ⇒ Z b
a
f(x)(g(b) − g(x)) dx = (g(b) − g(a)) Z ξ
a
f(x) dx, 整理之後得到
Z b a
f(x)g(x) dx = Z b
a
f(x)g(b) dx − (g(b) − g(a)) Z ξ
a
f(x) dx
= g(a) Z ξ
a
f(x) dx + g(b) Z b
ξ
f(x) dx。 若 g(x) 遞減, 令G(x) = g(x) − g(b), 則G(x)非負且遞減, 由 定理 8得知:
Z b a
f(x)G(x) dx = G(a) Z ξ
a
f(x) dx ⇒ Z b
a
f(x)(g(x) − g(b)) dx = (g(a) − g(b)) Z ξ
a
f(x) dx, 整理之後得到
Z b a
f(x)g(x) dx = Z b
a
f(x)g(b) dx + (g(a) − g(b)) Z ξ
a
f(x) dx
= g(a) Z ξ
a
f(x) dx + g(b) Z b
ξ
f(x) dx。
關於積分第二均值定理的意義與應用或許目前還無法看出, 我們會在下一章討論瑕積分收斂或發 散的時候看到這個定理的實際用處。