分析說明：
設本金為 P，利率為 r，期數為 n，
第一期利息＝Pr，第一期
本利和
＝P＋Pr＝P(1＋r)，若以複利計息，期 數 1 2 3 … n
本 金 P P(1＋r) P(1＋r)2 …
利 息 Pr P(1＋r)．r P(1＋r)2．r … 本利和 P＋Pr
＝P(1＋r)
P(1＋r)＋P(1＋r)．r
＝P(1＋r)2 …
n 期後得本利和＝ ，利息＝ 。
小華上高中後，父親為他在銀行存入 100 萬元當就學基金，已知銀行的年利率是 4%，以 一年為一期複利計算。
(1)10 年後小華想出國唸書，此時就學基金有多少元？
(2)經過幾年後此筆存款的本利和會超過 200 萬元？
(log1.04»0.0170、log1.48»0.17、log2»0.3010) 答：148 萬元；18 年後
(1)設 a＝(1＋0.04)10，則 loga＝log(1＋0.04)10＝10．log1.04＝
(2) 100(1.04)n > 200 即(1.04)n > 2 Þ log(1.04)n > log2 n．log(1.04) > log2 Þ n．(0.0170) > 0.3010
一、單利與複利：
設本金為 P，利率為 r，期數為 n，
(1)單利：本金不變，利息＝Prn，本利和＝本金＋利息＝P＋Prn＝P(1＋nr)。
(2)複利：本金有變，當期的本利和為下一期的本金，
本利和＝P(1＋r)n，利息＝本利和－本金＝P(1＋r)n－P。
範 例
小明向某保險公司買了某一保單，於十年間每年年初需付保險費 1200 元，若依年利率 4%
複利計算，十年後此項保險費總額為多少元？
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 0000 0043 0086 0128 0170 0212 0253 0294 0334 0374 11 0414 0453 0492 0531 0569 0607 0645 0682 0719 0755 12 0792 0828 0864 0899 0934 0969 1004 1038 1072 1106 13 1139 1173 1206 1239 1271 1303 1335 1367 1399 1430 14 1461 1492 1523 1553 1584 1614 1644 1673 1703 1732
答：14945 元
保險費總額＝1200´(1＋0.04)10＋1200´(1＋0.04)9＋1200´(1＋0.04)8＋……
＋1200´(1＋0.04)2＋1200´(1＋0.04)
＝1200´[(1.04)10＋(1.04)9＋(1.04)8＋……＋(1.04)2＋(1.04)]
＝1200´[(1.04)1＋(1.04)2＋(1.04)3＋……＋(1.04)9＋(1.04)10]
＝
令 x＝(1.04)10，則 logx＝log(1.04)10＝10．log1.04＝
某一項新試驗，發現細菌數一日後增加 k 倍，且已知 3 日後細菌數為 2´1
0
5個，又 4 1 2 日 後細菌數為 1.6´10
6個，試求：(1) k 之值。 (2) 5 日後細菌數為多少？ (3)當細菌數達 5.12´1
0
7個時，所需之日數。答：3；3.2´106個；7 日
(1)設原有細菌數 a 個，則 n 日後細菌數為 a´(1＋k)n個。
k
j Þ a´(1＋k)4.5
a´(1＋k)3 ＝ 1.6´106
2´105 Þ (1＋k)1.5＝ a´(1＋k)3＝2´105……j
Þ
î í ì
a´(1＋k)4.5＝1.6´106……k 範 例
範 例
分析說明：
【重要練習】
已知 log 72800＝4.8621、log 0.000729＝-3.1373，求 log 7283000＝？
答：6.8623
已知 log 4.37＝0.6405、log 4.38＝0.6415，若 logx＝-1.3588，求 x 的值。
答：0.04377
若 x＝
56 . 2
3 . 88
3 ，則下列哪一個敘述是正確的？ (請參閱對數表)
(A) 2.8 < x < 2.9 (B) 2.7 < x < 2.8 (C) 2.6 < x < 2.7 (D) 2.5 < x < 2.6 (E) 2.4 < x < 2.5 答：(B)
已知 1
0
0.6776»4.76，10
2.6785»477，若 10
x＝4766 求 x 的近似值。(取至小數點以下第二位，第三位四捨
五
入) 答：3.678»3.68練 習 2
練 習 3
練 習 1
練 習 4
已知 log 2＝0.3010、log 3＝0.4771，試問 223＋314為幾位數？
答：8
log 223＝23log 2»6＋0.9230 Þ log 223的首數為 6，223為 7 位數。
又 log 8 < 0.9230 < log 9 ∴223的最高位數字為 8。
log 314＝14log 3»6＋0.6794 Þ log 314的首數為 6，314為 7 位數。
又 log 4 < 0.6794 < log 5 ∴314的最高位數字為 4。
223＋314＝(8.……´106)＋(4.……´106)» 1.2……´107 ∴ 223＋314為 位數。
已知 log2»0.3010，若 A＝1＋2＋22＋…＋273，則：
(1) A 為 位整數。 (2) A 的最高位數字為______。 (3) A 的個位數字為______。
答：23；1；3
某人於十年間每年年初存入銀行 2000 元，若依年利率 4%，每年為一期，複利計算，
10 年後到期其本利和為 元。
(log1.04»0.0170、log1.47»0.1673、log1.48»0.1703) 答：24908 元
2000´(1＋0.04)10＋2000´(1＋0.04)9＋2000´(1＋0.04)8＋……＋2000´(1＋0.04)
某一種藥物在人體內代謝的殘留量與時間的關係式如下：設服藥 t 小時後，殘留在胃裡的 藥量尚有 M(t)＝M0´(0.49)t毫克，其中 M0為服藥的量，設麥克一開始的服藥量為 1000 毫 克，試問：
(1)一小時後藥的吸收量是多少毫克？
(2)經多少小時後，藥的吸收量可達 90%？ (log7»0.8451) 答：510 毫克；3.23 小時
(2) M(t)
M0 ＝0.1 Þ log0.1＝log(0.49)t Þ -1＝t(-2＋2 log7) 練 習 5
練 習 6
練 習 7 練 習 8
【學測考題觀摩】
在 1999 年 6 月 1 日數學家利用超級電腦驗證出 26972593－1 是一個質數。若想要列印出此質 數至少需要多少張 A4紙？假定每張 A4紙，可列印出 3000 個數字。在下列選項中，選出最 接近的張數。（log 2 » 0.3010）
(A) 50 (B) 100 (C) 200 (D) 500 (E) 700 (89 學測) 答：(E)
某公司民國 85 年營業額為 4 億元，民國 86 年營業額為 6 億元，該年的成長率為 50%，87
、88、89 三年的成長率皆相等，且民國 89 年的營業額為 48 億元，則該公司 89 年的成長 率為＝ 。 (91 學測) 答：100%
設 87、88、89 年的成長率為 r，則 6(1＋r)3＝48。
根據統計資料，在 A 小鎮當某件訊息發布後，t 小時之內聽到該訊息的人口是全鎮人口的 100(1－2－kt)%，其中 k 是某個大於 0 的常數。今有某訊息，假設在發布後 3 小時之內已經 有 70%的人口聽到該訊息。又設最快要 T 小時後，有 99%的人口已聽到該訊息，則 T 最接 近下列哪一個選項？
(1) 5 小時 (2) 7 1
2 小時 (3) 9 小時 (4) 11 1
2 小時 (5) 13 小時 (92 學測) 答：(4)
100(1－2－3k)＝70 Þ 2－3k＝0.3，又 100(1－2－kt)＝99 Þ 2－kt＝0.01 (2－kt)3＝(0.01)3 Þ (2－3k)t＝10－6 Þ (0.3)t＝10－6 Þ t(log 3－1)＝-6
觀 摩 1
觀 摩 2
觀 摩 3
台灣證劵交易市場規定股票成交價格只能在前一個交易日的收盤價(即最後一筆的成交價) 的漲、跌 7%範圍內變動。例如：某支股票前一個交易日的收盤價是每股 100 元，則今天該 支股票每股的買賣價格必須在 93 元至 107 元之間。假設有某支股票的價格起伏很大，某一 天的收盤價是每股 40 元，次日起連續五個交易日以跌停板收盤(也就是每天跌7%)，緊接
著卻連續五個交易日以漲停板收盤(也就是每天漲 7%)。請問經過這十個交易日後，該支股
票每股的收盤價最接近下列哪一個選項中的價格？
(log1.07»0.0294、log9.3»0.9685、log9.76»0.9894、log9.77»0.9899)
(1)39 元 (2) 39.5 元 (3) 40 元 (4) 40.5 元 (5) 41 元 (93 學測) 答：(1)
依題意最後的收盤價＝40(1－0.07)5(1＋0.07)5
令 x＝(0.93)5(1.07)5，則 logx＝5log0.93＋5log1.07»-0.0105
在養分充足的情況下，細菌的數量會以指數函數的方式成長，假設細菌 A 的數量每兩小時 可以成長為兩倍，細菌 B 的數量每三小時可以成長為三倍。若養分充足且一開始兩種細菌 的數量相等，則大約幾個小時後細菌 B 的數量除以細菌 A 的數量最接近 10？
(1) 24 小時 (2) 48 小時 (3) 69 小時 (4) 96 小時 (5) 117 小時 (95 學測) 答：(5)
2 3
2 3
t t
＝10 Þ
log 3
3t
－
log 2
2t
＝log10
已知在一容器中有 A、B 兩種菌，且在任何時刻 A、B 兩種菌的個數乘積為定值 1010。為了 簡單起見，科學家用 PA＝log(nA)來記錄 A 菌個數的資料，其中 nA為 A 菌的個數。試問下 列哪些選項是正確的？
(1) 1 £ PA £ 10 (2)當 PA＝5 時，B 菌的個數與 A 菌的個數相同
(3)如果上週一測得 PA值為 4 而上週五測得 PA值為 8，表示上週五 A 菌的個數是上週一 A 菌的個數的 2 倍
(4)若今天的 PA值比昨天增加 1，則今天的 A 菌比昨天多了 10 個
(5)假設科學家將 B 菌的個數控制為 5 萬個，則此時 5 < PA < 5.5 (97 學測) 答：(2)(5)
(3) nA′
nA＝ 108
104＝10000 (倍) (5) nA＝ 1010
5´104＝2´105 Þ PA＝log(2´105)