二、 技術介紹
在此一章節中，我們介紹加密演算法會用到的相關技術。
2.1 HYL encoding
是採自[7]這篇裡的 0-1 encoding，此方法會將數字轉化成兩集合，0 集合和 1 集 合，而若有兩數 a 和 b，則可透過檢查 a 轉化的 1 集合和 b 轉化的 0 集合是否有交集來 推得 a 是否大於 b，以下為詳細步驟。
1.對於輸入數字 k(舉例為 188)，把其化為 2 進位形式，也就是 10111100。
2.從第一個 bit 開始往下數，第一次截取長度 1，以例子來說是 1，第二次截取長度 2，
也就是 10，以此類推直到數到最後一位元為止，以範例來說截取了 8 個字串，分別是 1 , 10, 101, 1011, 10111, 101111, 1011110, 10111100。
3.接者檢測這些字串結尾的位元，若為 0，則把結尾改成 1 後加入 0 集合，若為 1，則 直接把字串加入 1 集合，以範例來說:
0 集合: 11, 1011111, 10111101
1 集合: 1, 101, 1011, 10111, 101111
這樣就完成編碼，而比較大小方法如下例，我們假設有 2 數字，207 和 188，而經 過 HYL encoding 後的集合如下:
207 (二進位形式 11001111):
0 集合:111, 1101
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1 集合:1, 11, 11001, 110011, 1100111, 11001111
188 (二進位形式 10111100):
0 集合: 11, 1011111, 10111101
1 集合: 1, 101, 1011, 10111, 101111
可以看到 207 的 1 集合和 188 的 0 集合有 11 這個交集，故可推得 207 大於 188，而 以下是證明。
證明:
假設兩數 a 與 b，而如果 a 的 1 集合和 b 的 0 集合有一交集 c，c 為 0 和 1 所構成的 字串，假定 c 長度為 n，其前 n-1 個 bit 的字串為 d，即 c=d1(因在轉化時，字串結尾為 0 的會改成 1 後加入 0 集合，結尾為 1 的直接加入 1 集合，故 0 集合和 1 集合裡所有的 字串都以 1 結尾)，則代表 a 的二進位形式其前 n 的 bit 的字串為 d1，而 b 的二進位形 式其前 n 個 bit 的字串為 d0，可推得 a 是大於 b 的。
2.2 HMAC
全名為 hash-based message authentication code，此 code 的主要功能是附在訊 息裡，讓擁有鑰匙的使用者去算出訊息的 hash 值，並透過檢查 HMAC 來確認訊息有無遭 受竄改，形式為 HMAC(key,訊息)=hash 值，而 HMAC 具有以下特性:
1.若使用者擁有 key 和訊息，則可在多項式時間內解出此訊息的 hash 值。
2.給定一 hash 值，使用者無法在多項式時間內解出此 hash 值所對應的訊息。
而在此我們在加密方法使用 SHA-512 這個 HMAC。
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2.3 Bloom filter
通常，我們要檢查一個集合是否包含某個元素，必須要檢查此集合中所有的元素，
但當集合一大時就比較費時間，於是 Burton Howard Bloom 提出了 bloom filter 來節 省時間和空間，伴隨者一點點錯誤機率，以下為詳細介紹。
Bloom filter 是一個長度為 m 的陣列，陣列裡每個元素皆為 0 或 1，另有 k 個 hash 函數，其功用為將字串對應到一整數，範圍 1~m。
當我們要對某一集合 A 做 bloom filter 時，先初始一陣列 b，長度 m，並將陣列 b 裡的值都設為 0，接者對 A 裡每個元素，都對其做 k 個 hash 函數，而每個 hash 函數都 會把集合內的元素對應到陣列裡的某個位置，然後把該位置的值設成 1(不論該值為 0 或 1)，如下圖 2，每個箭頭代表一個 hash 函數:
圖 2: Bloom filter 製作示意圖
之後若有檢測元素 d 是否在 A 集合中，便拿 b 來做 k 個 hash 函數，依照輸出的值 找其在陣列 b 中對應的位置是否都為 1，如圖 3
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圖 3:用 bloom filter 測試元素在不在集合內之示意圖
若都為 1，則表示 d 在 A 集合內，反之則否。
這方法可以把一集合縮成一長度 m 的陣列，並把比較所需時間從 O(n)變成 O(k)，
但是他有錯誤機率，有可能檢測元素並不在集合內，但檢測結果卻說有在，這個機率跟 陣列長度 m、集合元素個數 n 及 hash 函數的個數 k 有關，而當滿足k = m ln 2 /n 時，
此機率達到其最低值21𝑘。
2.4 Reed Solomon Code
是一種錯誤更正編碼，其透過增加傳送的資料量，使得即使中間傳輸有出錯，只要 在一定比例以下，還是可以還原成本來的資料，而他是一個非二元的 code，以 RS(k,b) code 為例，輸入為 b 個 m-bit symbol，輸出為 k 個 m-bit symbol，k 大於 b 且小於2𝑚+ 2，而 輸出的 k 個 m-bit symbol 中，前 b 個為原本的 symbol，後 k-b 個為新增的 symbol，而 其擁有可以修復𝑘−𝑏2 個 symbol 的能力，並且具有最小漢明距離為 k-b+1，也就是說不論 你輸入的 b 個 symbol 為何，只要不是相同的 2 組 b 個 symbol，2 組輸出的 k 個 symbol 必定至少在 k-b+1 個位置上不相同。
而其詳細 encoding 如下:
1.針對 m-bit symbol，首先找出 GF(2𝑚)的 Primitive polynomial 的根α，
α 也是 GF(1024 的生成元)，並作出 g(x)=(𝑥 − 𝛼1) ∗ (x − 𝛼2) … (x − 𝛼𝑘−𝑏)
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2.接者我們將輸入的 b 個 symbol 看成是方程式係數，並產生方程式
n(x)=𝑏1 + 𝑏2𝑥 + 𝑏3𝑥2+ ⋯ 𝑏𝑏𝑥𝑏−1
3.將 n(x)乘上𝑥𝑘−𝑏後除上 g(x)，並得到餘數 r(x)。
4.最後輸出𝑥𝑘−𝑏∗ 𝑛(𝑥) + 𝑟(𝑥)的方程式係數，共 k 個，每個係數為 m-bit symbol。
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