指數平滑法

Holt-Winters model。但使用 Multiplicative Holt-Winters model 得其結果沒有 White Noise，此模式不 合適，因此我們再使用 Additive Holt-Winters model 配適且作 log 轉換。模型如下：

Lt= α(Yt─St-s)+(1─α)( Lt-1+ bt-1)

由表 2-3-1 可得知參數估計：

Model Parameter Estimate Std.Error T Prob>︱T︱

LEVEL Smoothing Weight 0.75737 0.0391 19.3858 <0.0001 TREND Smoothing Weight 0.00100 0.0026 0.3815 0.7031 SEASONAL Smoothing Weight 0.00100 0.0350 0.0286 0.9772 Residual Variance(sigma squared) 0.0004236 . . .

Smoothing Level 12.71494 . . .

Smoothing Trend 0.00363 . . .

Smoothing Seasonal Factor 1 0.00168 . . . Smoothing Seasonal Factor 2 -0.08169 . . . Smoothing Seasonal Factor 3 -0.01226 . . . Smoothing Seasonal Factor 4 -0.03692 . . . Smoothing Seasonal Factor 5 -0.01312 . . . Smoothing Seasonal Factor 6 -0.01854 . . . Smoothing Seasonal Factor 7 0.03652 . . . Smoothing Seasonal Factor 8 0.04280 . . . Smoothing Seasonal Factor 9 0.02590 . . . Smoothing Seasonal Factor 10 0.03993 . . . Smoothing Seasonal Factor 11 0.00331 . . . Smoothing Seasonal Factor 12 0.01236 . . .

H0：white noise

2008 年 01 月 337860 334520 348216 321226 2008 年 02 月 310495 308919 324851 293573 2008 年 03 月 333288 332372 352466 313137 2008 年 04 月 324023 325492 347715 304338 2008 年 05 月 334676 334585 359795 310706 2008 年 06 月 322913 334026 361372 308242 2008 年 07 月 334718 354259 385417 325004 2008 年 08 月 335007 357828 391352 326476 2008 年 09 月 322254 353153 388163 320536 2008 年 10 月 331203 359489 396996 324671 2008 年 11 月 319925 347863 385890 312681

2008 年 12 月 322996 352347 392555 315269 圖 2-3-3 可看出實際值皆在 95%上下區間內，但是 5 月過後的預測值大於實際值，綜合以 上結果，我們認為此預測的能力不錯。

圖 2-3-3 指數平滑法的未來一年預測圖

第四節 ARIMA

ARIMA 為 AR(AutoRegression ) 模式、差分與 MA(Moving Average) 模式的組合模式。

從圖2-4-1 的原始時間序列圖中，我們得知資料的平均數與變異數皆不平穩，所以變異 數不平穩要做轉換，又平均數不平穩要做差分之後，才可以來判斷為怎樣的 AR 模式與 MA 模式。

圖 2-4-1、原始時間序列圖

首先我們做變數轉換使變異數平穩，圖 2-4-2 為經過對數轉換後的時間序列圖，其 顯示經過對數轉換之後的時間序列，季節變化已保持一致，表示變異數已經達到平穩 了。但由圖2-4-2 可看出資料有上升的趨勢，表示平均數未平穩。

圖 2-4-2、Log 轉換後的時間序列圖

另外，我們也觀察資料的 ACF 與 PACF 圖，判別資料是否平穩。由圖2-4-3 的對數 轉換後的 ACF 與 PACF 圖發現 ACF 圖呈現的是 dies down slowly 的狀態，更確定了此份 資料在經過對數轉換之後，平均數仍是不平穩，所以資料需再作一次差分。

圖 2-4-3、Log 轉換後的 ACF 與 PACF 圖

圖2-4-4 為經過 log 轉換及一次差分之後的 ACF 與 PACF 圖，由 ACF 圖可以看出，

殘差在 lag 12 與 lag 24 之處皆有明顯的不顯著，這代表資料有季節波動。如果要解決季 節因素的問題，則需要對資料做季節差分。

圖 2-4-4、Log 轉換與一次差分的 ACF 與 PACF 圖

由圖 2-4-5 可以看出，ACF 圖所呈現的仍是 dies down slowly的狀態表示只經過季節差分之 後，資料仍然是不平穩的，所以我們需要對資料做一次差分與季節差分。

圖 2-4-5、Log 轉換與季節差分的 ACF 與 PACF 圖

由圖 2-4-6 的 ACF 與 PACF 圖可以看出，在經過這些差分與轉換之後，資料已呈現 cut off 的狀態，表示資料已經達到平穩了。

圖 2-4-6、Log 轉換後一次差分與季節差分的 ACF 與 PACF 圖

由圖 2-4-7 的時間序列圖，可看出其資料的變異數與平均數有比較平穩的狀態，

表示資料經過這些轉換是合適的。

圖 2-4-7、Log 轉換後一次差分與季節差分的時間序列圖

我們經過配適 ARIMA(0,1,1)(0,1,1)12後，由圖 2-4-8 的 ACF 與 PACF 圖可看出，資料呈現出良好 的 cut off 狀態，且所有的殘差皆在兩倍標準差之內，表示此模式的配適是合適的。

圖 2-4-8、配適後的 ACF 與 PACF 圖 建立模型：

(1-B)(1-B¹²)yt*=(1-θB)(1-ΘB¹²)at yt*=lnyt

我們做 white noise 檢定、對單根的檢定和 Ljung-Box 檢定，用以判定殘差項 是否有自我相關，並且確定所配適的模式是否恰當。

首先我們做 white noise 檢定，建立假設檢定：

H0：white noise H1：not white noise

其檢定規則為若 P-value 大於 0.05，不拒絕 H0，表示是 white noise。

由圖 2-4-9 可看出所有 Lag 皆大於 0.05，表示殘差項有 White Noise 的現象，其 ARIMA(0,1,1)(0,1,1)12是合適的 。

我們再做單根檢定，建立假設檢定：

單根檢定

H0：時間序列不平穩 H1：時間序列平穩

其檢定規則為若 P-value 小於 0.01，拒絕 H0，表示時間序列已達到平穩的狀態。

由圖 2-4-10 可看出所有 lag 皆小於 0.01，表示時間序列已經達到平穩的狀態，其 ARIMA(0,1,1)(0,1,1)12是合適的 。

圖 2-4-9、White Noise 檢定 圖 2-4-10、單根檢定 接著進行 Ljung-Box 檢定，建立假設檢定：

H0：殘差項存在有自我相關 H1：殘差項沒有自我相關

其檢定規則為若 P-value 大於 0.05，則不拒絕 H0，表示殘差項沒有自我相關。

由表 2-4-1 可以看出，所有的 P-value 皆大於 0.05，表示配適後的殘差沒有自我相關，也就 是該模式的配適是合適的。

表 2-4-1、Ljung-Box 檢測表 Autocorrelation Check of Residuals To Chi- Pr >

Lag Square DF ChiSq Autocorrelations

6 3.71 4

0.4466

0.007 -0.02 -0.013 -0.015 -0.105 -0.019 12 10.45 10

0.4017

0.047 -0.018 0.009 0.107 -0.043 -0.076 18 14.73 16

0.5448

0.026 -0.017 -0.098 0.004 0.05 0.02 24 16.04 22

0.8138

0.029 -0.035 -0.004 -0.025 -0.012 -0.035 30 23.62 28

0.7012

0.001 0.136 -0.022 0.016 0.001 -0.06 36 30.84 34

0.6233

-0.078 -0.069 0.001 -0.032 0.047 0.085 42 35.86 40

0.6570

-0.012 0.094 0.022 -0.028 -0.009 -0.064 48 42.79 46

0.6075

-0.096 -0.012 0.055 -0.016 -0.014 0.082

經過以上的 white noise 檢定、對單根的檢定和 Ljung-Box 檢定，又從表 2-4-2 中看出參數的 Pr 值皆小於顯著水準α=0.05，表示參數顯著，應留在模式中。綜合以上的結果可推知，我們所 配適的 ARIMA(0,1,1)(0,1,1)12為一個合適的模型，

我們的預測方程式如下：

（1-B）（1- ）ln =（1-0.30615B）（1-0.77147 ） =0.0004241

表 2-4-2、參數估計表 Log ARIMA(0,1,1)(0,1,1)s NOINT ModelParameter Estimate Standard

Error T value Pr ob> |T|

MA factor1 Lag1 0.30615 0.0543 5.6393 <.0001 MA factor2 Lag12 0.77147 0.0418 18.4740 <.0001 Model Variance 0.0004241 . . .

由圖 2-4-11，可看出預測值和實際值大致上都很接近，且都落在 95%上下區間內，認為此 預測能力不錯。

圖 2-4-11、ARIMA 的未來一年預測圖

第五章 最佳模型

表 2-5-1 評估準則

表 2-5-2 分析結果

分析方法 MAD MSE MPE(%) MAPE(%)

時間序列回歸法 28472.53083 1214097224 -8.7144984 8.7146557 分解法 16728.3675 416415916.2 -5.0920669 5.1197147 指數平滑法 14778.41667 369970933.9 -4.2246146 4.5243112 ARIMA

8459.666667 110139254.2 -2.2615063 2.5949351

第二節 建議

隨著人口增加及工業發展，對於水的需求是日益增加，如果不加強開源節流，則可能很快 就會出現供不應求的窘境。尤其近年來因為科技發展的代價－環境變遷又勢必衝擊到台灣的水 資源供給，因此我們建議：

在開源方面，在面對水資源不足的情況下，勢必得再建立新水庫，因為水庫仍是調節水量 的最佳方式，但是建立水庫就得考慮可能會破壞環境。或者應加強尋求替代水源方案，例如目 前自來水公司是以海水淡化、水再生利用、雨水收集貯留、人工湖、越域引水、既有水庫的更 新改善等方式增加供水量。

在節流方面，可推動換成較省水的裝置，比如省水馬桶或是較省水的水龍頭，以避免浪費。

而政府也應在完善的配套措施下推動一些省水方案，宣導節約用水，而民眾也應隨時養成節約 用水的好習慣。

因為自來水取之容易，水龍頭一開便有，因此容易令人忽視它的珍貴性，導致浪費的情形 發生，以至於出現缺水的情況。而出現水資源的不足，也不能全歸咎於自然氣候的變遷，一些 人為的的濫砍濫伐，不當利用水資源擾亂水循環過程導致可利用水源越來越少，這也是現今要 改善的嚴重問題。

參考文獻

1. Bowerman ,O＇Connell and Koehler,Forecasting, Time series ,and Regression ,Thomson,4^th,2005。

2. AREMOS 經濟統計資料庫系統。

3. 林茂文，時間數列分析與預測，民72年，華泰出版。

4. 張金裕，應用時間數列分析，民73年，台灣銀行。

在文檔中 台灣自來水生產量之研究分析與預測 (頁 17-0)