2.6.1 概述
从前面章节可知，当直线或平面相对投影面处于特殊位置时，其定位或度量问题就比较 容易解决。为了解题的需要，空间几何元素不动，设置一个新的投影面替换原投影体系中的某 一投影面，组成一个新的投影体系，使相应的几何元素在该投影体系中处于特殊位置，达到简 化解题的目的，这种方法称为变换投影面法，简称换面法。如图 242 所示，△ABC 在原投影 面体系中是铅垂面，其两个投影均不反映实形。现设置一个新投影面 V1，使 V1 面垂直于 H 面并与△ABC 平行， 于是组成了一个新投影面体系 V1/H， V1 面与 H 面交线 O1X1 为新投影轴。
在这个新投影体系中，△ABC 是 V1 面的平行面，所以它在 V1 面上的投影反映实形。
图 242 换面法 在换面法中，新投影面的设置必须满足以下两个条件：
（1）新投影面必须垂直于原投影体系中的某一投影面。
（2）新投影面必须使几何元素（直线或平面）处于便于解题的位置。
2.6.2 换面法的基本作图方法 2.6.2.1 点的换面
1．点的一次换面
如图 243（a）所示，A 点在原投影体系 V/H 中的投影为 a、a′。现设置一个新投影面 V1
替换 V 面，建立新的投影体系 V1/H，则 A 点在 V1/H 体系中的投影为 a、a1′。使 V1 面绕新投 影轴 O1X1 旋转与 H 面重合，就得到 A 点在 V1/H 体系中的两面投影图，如图 243（b）所示。
从图中可以看出，新投影 a1′与不变投影面 H 面上的投影 a 的连线垂直于新投影轴，a1′到 X1
轴的距离等于 a′到 X 轴的距离。由此可得换面法中投影变换规律如下：
（1）新投影与不变投影之间的连线垂直于投影轴。
（2）新投影到新轴的距离等于被替换投影到旧轴的距离。
（a） （b）
图 243 点的一次换面（变换 V 面）
根据上述规律，点的一次换面作图步骤如下：
（1）确定要变换的投影面，如变换 V 面，作新轴 X1，X1 轴的位置可根椐作图需要而定。
（2）过 a 点作新轴 X1 的垂线。
（3）在垂线上截取 a1′ax1=a′ax，即得 A 点在 V1 面上的新投影 a1′。
如变换 H 面，作图步骤与上述相似，如图 244 所示。
（a） （b）
图 244 点的一次换面（变换 H 面）
2．点的二次换面
在解题中，有时一次换面还不能解决问题，而需要连续两次换面（见图 245）。二次换面 是在一次换面的基础上进行换面，其原理和作图方法与一次换面相同。但要注意二次换面中，
先换哪一个面应视解题需要而定，然后按顺序进行换面，如 V/H→V1H→V1H2 或 V/H→V/H1
→V2/H1。
（a） （b）
图 245 点的二次换面 2.6.2.2 直线的换面
1．将一般位置直线变换成投影面平行线
如图 246 所示，AB 为一般位置直线。现设置 V1 面平行于 AB 且垂直于 H 面，建立起新 的投影面体系 V1/H， 则 AB 变换成 V1 面的平行线。 AB 在 V1 面的投影 a1′b1′将反映 AB 的实长，
a1′b1′与投影轴 X1 的夹角反映直线 AB 对 H 面的倾角a。作图步骤如下：
（1）作新投影轴 X1// ab。
（2） 分别由 a、 b 两点作 X1 轴的垂直线， 与 X1 轴交于 ax1、 bx1， 然后在垂线上量取 a1′ax1=a′ax、 b1′bx1=b′bx，得到新投影 a1′、b1′。
（3）a1′b1′反映 AB 的实长，与 X1 轴的夹角反映 AB 对 H 面的倾角a。
（a） （b）
图 246 将一般位置直线变换成投影面平行线（变换 V 面）
如果求 AB 对 V 面的倾角 β， 则要设置新投影面 H1 平行于 AB， 作图时取 X1 轴平行于 a′b′，
如图 247 所示。
2．将投影面平行线变换成投影面垂直线
如图 248 所示，AB 为一水平线，现设置 V1⊥AB，建立新体系 V1/H，则 AB 为 V1 面的 垂直线。AB 在 V1 面上的投影积聚成一点。作图步骤如下：
（a） （b）
图 247 将一般位置直线变换成投影面平行线（变换 H 面）
图 248 将投影面平行线变换成投影面垂直线
（1）作新投影轴 X1⊥AB。
（2）过 a 或 b 点作 X1 轴的垂直线。
（3）作出 AB 在 V1 面上的投影 a1′（b1′）。 3．将一般位置直线变换成投影面垂直线
将一般位置直线变换成投影面垂直线，必须经过二次换面：第一次将一般位置直线变换 成投影面平行线；第二次再将投影面平行线变换成投影面垂直线。作图步骤如下（见图 249）：
图 249 将一般位置直线变换成投影面垂直线
（1）作新投影轴 X1∥ab，求得 AB 在 V1/H 体系中的新投影 a1′b1′。
（2）再作一新投影轴 X2⊥a1′b1′，求得 AB 在 V1/H2 体系中的新投影 a2（b2）。 2.6.2.3 平面的换面
1．将一般位置平面变换成投影面垂直面
将一般位置平面变换成投影面垂直面，即使该一般位置平面垂直于新投影面。在一般位 置平面上只要作一条直线垂直于新投影面，则该平面即垂直于新投影面。为了简化作图，可在 一般位置平面上任取一条投影面平行线， 作其垂直面即为新投影面， 则该平面即为新投影面的 垂直面（见图 250）。作图步骤如下：
（1）在 V/H 体系中，作△ABC 上水平线 AD 的两面投影 ad、a′d′。
（2）作 X1⊥ad，求得△ABC 的积聚投影 a1′b1′c1′。
（a） （b）
图 250 将一般位置平面变换成投影面垂直面 2．将投影面垂直面变换成投影面平行面
如图 251 所示，△ABC 为铅垂面，将其变换成投影面平行面，只需一次换面，即变换 V 面，使 V 面平行于△ABC。作图步骤如下：
图 251 将投影面垂直面变换成投影面平行面
（1）作新投影轴 X1 平行于△ABC 的积聚投影 abc。
（2）按点的投影变换规律作图，求出 a1′、b1′、c1′，则△a1′b1′c1′反映△ABC 实形。
3．将一般位置平面变换成投影面平行面
将一般位置平面变换成投影面平行面，必须经过两次换面。第一次将一般位置平面变成 投影面垂直面；第二次将投影面垂直面变换成投影面平行面。如图 252 所示，先将 ABC 变换 成 H1 面的垂直面，再变换成 V2 面的平行面。作图步骤如下：
图 252 将一般位置平面变换成投影面平行面
（1）在△ABC 上作正平线 AD，设置新投影面 H1⊥AD，即作 X1⊥a′d′，然后作出△ABC 在 H1 面上的积聚投影 a1b1c1。
（2）作新投影面 V2 平行于△ABC，即作 X2∥a1b1c1，然后作出△ABC 在 V2 面上的新投 影△a2′b2′c2′，它即反映△ABC 实形。