第五章 在史丹爾樹上緩衝器的插入
5.1 插入緩衝器史丹爾樹上
本篇論文緩衝器插入部分，參考Van Ginneken[1]方法，所以我們做個 簡介，一棵繞線樹中，有n個緩衝器可能插入位置，由所有的目的端(Sink) 往 來 源 端 (Source) 方 向 做 運 算 ， 是 一 種 動 態 規 劃 的 演 算 法 (Dynamic Programming)，一路由下往上計算，圖5-5中，每一個候選位置，以一組值 (Q,C)代表成本，其中Q為寬鬆值(Slack)，由來源端至最遠的目的端，最慢 需要何時到達，才不會影響到時序限制，所以Q值愈高愈好；這裡的C值，
代表著此端點後需要推動多大的電容值。
s
1s
2s
3s
4緩衝器
來源端
目的端
可能緩衝器位置
(300,10)
(150,20) (200,10)
(250,30)
s
0圖5-1 繞線樹上插入緩衝器候選位置
如果在同一分支點上，存在兩組值為(Qi,Ci)、(Qj,Cj)，其中Qi〉Qj且Ci
〈Cj，則(Qj ,Cj)為多餘的(Redundant)解，結果一定比較差，可以被刪除，
因寬鬆值Qj 比Qi 差，實際上往後推動的電容值Cj比Ci較大，寬鬆值(Slack) 數學式定義如下，
)}
, ( )
( { min )
(
00 0 i i
i
RAT s delay s s s
Q = −
>
目的端 來源端 :
0
: s
is
………(5-1)寬鬆值 Q，為最慢需要到達的時間(Require Arrive Time, RAT)扣除
來源端(Source)到目的端(Sink)的延遲時間取最小值，取最小值的用意，
為保證所有的端點，都能滿足時序限制(RAT)。
輸入：一棵繞線樹中T，有n個緩衝器可能插入位置，目的端的電容值 Csi及需要到達的時間(Require Arrive Time)RAT(Si)，單一型態緩衝器B，
單位平方的電阻值r及單位平方的電容值c。如圖5-6所示：
s0 RATs1 RATs2
RATs3
RATs4
s0 RATs1 RATs2
RATs3
RATs4 來源端
目的端
可能緩衝器位置
圖5-2 Van Ginneken緩衝器插入演算法輸入資訊
輸出：一棵繞線樹，有m個緩衝器的插入位置，被插入適當緩衝器數量，
來源端到目的端的寬鬆值最大(Qso)，
)}
, ( )
( { min )
(
00 0 i i
i
RAT s delay s s s
Q = −
> ………公式5-1
如圖5-7所示：
s
0RATs
1RATs
2 緩衝器RATs
3RATs
4s
0RATs
1RATs
2RATs
3RATs
4 來源端目的端
可能緩衝器位置
圖5-3 Van Ginneken緩衝器插入演算法輸出結果
本篇論文參考Van Ginneken[1]方法，插入緩衝器的演算法，加以改 善，其中將線段模型，由原來艾爾摩延遲(Elmore delay)[2]的L-模型，改
成π模型替代，對於線段的估計更精確；公式5-1，代入下方範例運算，完 成本論文的第二階段演算法。
產生後選位置(Generating Candidates)，針對每一個候選位置，產 生插入緩衝器或保留原始不插入緩衝器之兩種選擇，如下圖5-4中，有三個 緩衝器插入位置，分別產生如下四種組合。
(1)
(3)
(2) 1X
1X
1X
1X 1X
圖5-4 緩衝器插入可能選擇位置
刪除多餘候選位置(Pruning Candidates)如圖5-4中，第(3)步驟產生 4個候選位置，從來源端”看入”，其中有一個候選位置寬鬆值較差，多餘的 (Redundant)可被取代，進而被自動刪除，因此，在產生後選位置同時判斷 其寬鬆值，較差者計刪除，剩下第(4)步驟結果，因此，這各演算法可以收 斂，複雜度在O(n2)，如圖5-5所示：
(4)
1X
1X
圖5-5 刪除多餘插入選擇位置
產生後選位置(Generating Candidates)，以圖5-6所示，刪除後繼續產 生後選位置如下六種:
1X 1X
1X
1X
(5) (4)
1X
1X 1X 1X 1X
圖5-6 延續緩衝器插入可能選擇位置
下圖5-7中，再次刪除多餘候選位置後，結果剩下五個候選位置，計算 從來源端到目的端，何者寬鬆值最大，其結果應為最佳化。
1X
1X
(6)
1X
1X 1X
圖5-7 刪除多餘候選位置
合併分支點(Merging Branches)，緩衝器可能插入的候選位置上，分 支點分別有左、右可能候選位置，如圖5-8(b)(C)，假設一邊可能候選位置 有m種，另一邊可能候選位置有n種，則合併後，有m*n種可能候選位置，如 圖5-9結果。
(a) 候選位置在分支點上
1X 1X
Left candidates
(b) 左邊候選位置 (c) 右邊候選位置 Right candidates
1X 1X 1X 1X
圖5-8 合併分支上可能候選位置
1X 1X
1X
1X 1X 1X
1X
1X
1X 1X 1X 1X
圖5-9 合併分支後產生候選位置
刪除合併後分支點(Pruning Merged Branches)，圖5-10所示，繞線樹 上合併原則如下:
(Q,C) & (Q’,C’)→(min{Q,Q＇}, C+C＇) ………公式5-2
產生六個候選位置，其中有四個寬鬆值結果較差，已被刪除取代，剩下 兩個候選位置，計算從來源端到目的端，何者寬鬆值最大，其結果應為最佳 化。
刪除後 1X 1X
1X 1X
1X
1X 1X 關鍵線段
圖5-10 合併分支後刪除多餘的候選位置