擬合函數模型選擇與求解

全波形光達研究中，波形分析是一個重要的議題，波形分析之目的為了解與獲得全 波形光達數據中所隱含的資訊。因為接收到的訊號是不同地物回訊的疊置，因此可使用 數學函數來擬合及分解波形，數學函數中的參數可視為回波波形的代表因子，分析這些 不同的因子所代表的不同幾何意義，研究其對應到的地物類別與地形表現是一個重要的 議題

圖 2-6 為當光達掃描到不同地物之回波形狀分布情形示意圖，當光達掃描到不同地 物、傾斜、高度差異或粗糙的表面都會影響回波的形狀。而c、d圖則是代表高程差異愈 小，回波就會愈靠近，不易分辨(Jutzi and Stilla, 2006)。

圖 2-6 不同地形地物的回波形狀(Jutzi and Stilla, 2006)

由於大部分的光達發射的脈衝訊號接近於高斯分布，因此假設接收之回波波形也近 似高斯分佈，其函數主要包含振幅(amplitude)與波寬(width)兩個參數，可以用來量化某 一地物波形。藉由使用多個高斯函數疊加擬合波形訊號，可以快速地將資訊用兩個參數 來表示，所以高斯分解法廣泛應用於全波形之波形分析中(Chauve et al., 2007b; Hofton et al., 2000; Jutzi and Stilla, 2006; Wagner et al., 2006)。

另外回波波形由於時間延遲的現象，會有些微不對稱的情形發生，所以波形分解亦 可使用不對稱的函式進行擬合，並探討使用不對稱的函式之成果。Chauve et al.(2007)比 較三種對稱與不對稱函數模型：(1)高斯分佈(Gaussian)、(2)對數常態分佈(Log normal)、

(3)廣義高斯分佈(Generalize Gaussian)，如圖 2-7，三種函數分別代表的是對稱、不對稱

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與分佈形狀。對數常態分佈與廣義高斯分佈可提升波形擬合成果，但是某些比較不對稱 的回波波形其實是因為兩個波距離太接近疊加而成，所以不對稱的對數常態分佈會使得 萃取出來的點減少。廣義高斯分佈則是對稱的函數，該函數提供形狀參數α代表波形，

在圖中可以看到α=√ 就是高斯分布(紅線)，α愈小形狀愈尖(藍線)，α愈大形狀愈圓(綠線)。

此特性對於分類來說非常的有用，不同的形狀參數代表不同的地物特性，見圖 2-9，從 統計結果可發現建物屋頂(黑色)、柏油路(深灰)與茂密植物(灰色)的分布十分的不同。

圖 2-7 左：高斯分佈與對數常態分佈、右：廣義高斯分佈形狀參數α的影響 (Chauve et al., 2007b)

圖 2-8 α值統計灰度直方圖：建物屋頂(黑色)，柏油路(深灰)，茂密植物(灰色) (Chauve et al., 2007b) Mallet et al. (2009)則是比較廣義高斯分佈(Generalize Gaussian)與其他三種不對稱的 函數模型Weibull、Nakagami、Burr共四種函數的成果，其參數與函式如下表 2-1。此研 究分別使用了模擬波形、測深光達資料與大足跡的衛載實驗光達(SLICER、LVIS)資料、

小足跡的商用陸域光達資料進行實驗。實驗結果顯示，不同的光達資料所適合的擬合函

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數皆不相同，因此必須視本身資料的特性來選擇適合的函數。

表 2-1Generalize Gaussian、Weibull、Nakagami、Burr之差異 (Mallet et al., 2009)

另外擬合波形亦可使用小波(wavelet)的方式(Laky et al., 2010)，從圖 2-9 可以看到小 波的Level愈高，擬合成果(紅線)愈好，相對的受到雜訊的干擾也會較嚴重。B-spline也 被提出可以有效的對波形進行擬合(Roncat et al., 2011)，其成果與高斯函數相較，可以找 到更多疊合的回波(圖 2-10)，但可能發生過度分割的問題，容易出現不合理的回波參數，

跟小波一樣都要濾除不合理的擬合成果。

圖 2-9 使用不同Level的小波擬合全波形光達--藍：波形，紅：擬合成果 (Laky et al., 2010)

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圖 2-10 左：B-spline成果；右：高斯成果(Roncat et al., 2011)

雖然擬合回波的函式有很多，也各有優缺點，但過去文獻中的文章中認為高斯分布 是一個普遍且簡單的對稱函式(Wagner et al., 2006)，也可求得較佳的成果(Jutzi and Stilla, 2005)，因此多數波形分析法以高斯模型為基礎。在不對稱函式函數中，Weibull是一個 普遍且相對簡易並具有意義的不對稱函式(Coops et al., 2007)。

由於擬合函數多是非線性函數，需要進行迭代求解。非線性函數的迭代求解方法包 含 最 大 相 似 的 Expectation Maximation 演 算 法 (Dempster et al., 1977) 、 非 線 性 的 Levenberg-Marquardt (Levenberg, 1944; Marquardt, 1963)、Trust-region演算法(Lin et al., 2008) 或Reversible Jump Markov Chain Monte Carlo演算法 (Green, 1995)等，進行擬合函 數參數求解。在非線性函數求解中，初始值的給定是一項重要的因素。

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