第四章 數值分析
4.3 效能評估
搜尋 Internet Gateway 間隔時間( Interval between Internet Gateway Discoveries, E[T] )分析：
因為，Client Vehicle 每個 Internet Gateway 的連線時間皆可視為獨立的 ( Independent )狀態，本文假設一個帄均值 α，而 Client Vehicle 與直接連線之 Internet Gateway 的斷線頻率 λ 是 α 的倒數。此可直接連線之 Internet Gateway 雲 端為 Client Vehicle 預約。因為是預約可直接連線之 Internet Gateway，因此不需 額外發送 RREQ 搜尋其與 Internet Gateway 間之路徑。若 Client Vehicle 連線之 Internet Gateway 為雲端預約規劃可直接連線之 Internet Gateway，根據圖 4.2 的機 率模型，可知λ 和 t 的關係可以設為指數分配，可求得累積分佈函數( Cumulative distribution function )為式子( 4.1 )。
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F ( t ) = ( 4.1 )
另外，假設另一個帄均值β，而 Client Vehicle 透過 Relay 與 Internet Gateway 連線的斷線頻率γ 是 β 的倒數。透過 Relay 連線之 Internet Gateway 為雲端為 Client Vehicle 所預約。雖然同樣也是雲端預約規劃，不過和雲端預約規劃可直接連線 之 Internet Gateway 不同。因為是透過 Relay 所連線，所以需要發送 RREQ 搜尋 通往 Internet Gateway 之路徑。若 Client Vehicle 連線之 Internet Gateway 為雲端預 約規劃需透過 Relay 連線之 Internet Gateway，根據 Figure 4.3 的機率模型，可知 γ 和 t 的關係可以設為指數分配，可求得累積分佈函數( Cumulative distribution function )為式子( 4.2 )。
F ( t ) = ( 4.2 )
當 Client Vehicle 搜尋不到任何 Internet Gateway 連線時，根據 Figure 4.3 的 機率模型，可求得累積分佈函數( Cumulative distribution function )為式子( 4.3 )。
F( t ) = 1 - - ( 4.3 )
Client Vehicle 透過 Relay 與 Internet Gateway 連線時，以及雲端沒有幫忙預 約規劃 Internet Gateway 時，Client Vehicle 都必需發送 RREQ 訊息。考慮當 Client Vehicle 從不需發送 RREQ 之狀態轉變成需要發送 RREQ 之狀態，其中狀態包含 Si,1 Si+1,2 和 Si,1 Si+1,3。故 Gateway Planning 與 AODV+的累積分佈函數 ( Cumulative distribution function)可用式子( 4.4 )和( 4.5 )表示，其中 k 為帄均雲端 為 Client Vehicle 預約可直接連線之 Internet Gateway 連續數量。
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Si,1 Si+1,1 ( Cumulative distribution function)：
F(t) = ( ) k * (4.4) Si,1 Si+1,2 ( Cumulative distribution function)：
F(t) = ( ) k * (4.5) Si,1 Si+1,3 ( Cumulative distribution function)：
F(t) = ( ) k * ( 1- - ) (4.6)
We can get from above
F(t) = ( ) k - ( ) k+1 (4.7)
Si,1 Si+1,1 ( Cumulative distribution function)：
F(t) = * (4.8) Si,1 Si+1,2 ( Cumulative distribution function)：
F(t) = * (4.9) Si,1 Si+1,3 ( Cumulative distribution function)：
F(t) = ( ) * ( 1- - ) (4.10)
We can get from above
F(t) = (4.11)
依據上述，我們將本研究提出的 Gateway Planning 機制與著名的參考文獻 AODV+做一個分析比較，根據 Table 4.1，T 表示為 The Time between Internet Gateway discoveries，則其期望值( Expected value )可用式子( 4.6 )表示。
E[T] = ( ) k - ( ) k+1)dt ( 4.12 )
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E[T] for Gateway Planning = = ( ) k - ( ) k+1)dt = λ λ = 1/ kλ - 1/( (k+1)λ )
= 1( k+1 )/ k( (k+1)λ ) - k/( k( k+1 )λ )
= 1/( ( k+1 ) λ ) (4.13)
E[T] for AODV+ = dt = 1/λ
= 1/λ (4.14)
因此，分析可以知道 Gateway Planning 機制其 Internet Gateway discovery 間 隔，會隨著 k 值的變動，越來越小，與 AODV+的 Internet Gateway discovery 間 隔越差越大。
產出 ( Throughput )：
根據前述，已知 C1為在 Si,1狀態傳送封包的時間成本、C2為在 Si,2狀態傳送 封包的時間成本、C3為在 Si,3狀態傳送封包的時間成本。而其中 C1、C1、C1均 為 t3-t2，也就是重新發送控制訊息的間隔時間 T。因此，我們將三種狀態的時間 成本乘上三種狀態的頻率加總起來，便是整體封包傳送的時間成本。我們可以得 到 AODV+的 Throughput cost 為式子( 4.15 )：
Throughput cost of AODV+ = C1*λ + C2*γ + C3*( 1 - λ – γ ) ( 4.15 ) 對本文的方法 Gateway Planning 來說，因為狀態一轉換不需要重新發送控制 訊息，因此不需要訊息成本。所以 Gateway Planning 的 Throughput cost 為式子 ( 4.16 )：
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Throughput cost of Gateway Planning = C2*γ + C3*( 1 - λ – γ ) ( 4.16 )
其中因為本文提出的方法 Gateway Planning 的 Throughput 中，少了 C1*λ，
故本文方法的單位時間產出量較 AODV+好。
控制訊息成本( Signaling Load )分析：
根據在第三章的定義，Gateway Planning 機制的控制訊息成本計算方式為 RREQ、RREP、RRER、RRES 的總和。而 AODV+的控制訊息成本計算方式為 RREQ、RREP、RRER 的總和。此處計算 Gateway Planning 機制和 AODV+的訊 息控制成本將分成兩個部分計算，分別為當狀態由 Si,1轉換為 Si+1,2，以及當狀態 為 Si,1轉換為 Si+1,3。假設 Gateway Planning 機制和 AODV+的 Internet Gateway discovery 頻率為可從式子中求得。
Gateway Planning 機制的 Signaling Load：
Signaling Load of Gateway Planning Scheme = RREQ + RREP + RRER+RRES ( 4.17) Number of RREQ = ( 1/( ( k+1 ) λ ) ) *ω*ω ( 4.18 ) Number of RREP = ( 1/( ( k+1 ) λ ) ) * k *ω ( 4.19 ) Number of RRER = (1/( ( k+1 ) λ ) ) *l *ω ( 4.20 ) Number of RRES = 2*n ( 4.21 ) Total = ( 1/( ( k+1 ) λ ) ) * (ω*ω+ k*ω+ω) + 2* n ( 4.22 )
而 AODV+的 Signaling Load：
Signaling Load of AODV+ protocol = RREQ + RREP + RRER ( 4.23 ) Number of RREQ =1/λ* ω* ω ( 4.24 ) Number of RREQ =1/λ*k* ω ( 4.25 )
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Number of RRER =1/λ*l*ω ( 4.26 ) Total =1/λ*ω*ω+1/λ*k*ω+1/λ*l*ω ( 4.27 ) 由以上可以看出 Gateway Planning 機制的 Signaling Load 為( 1/( ( k+1 ) λ ) ) * (ω*ω+ k*ω+ω) + 2*n，而 AODV+的 Signaling Load 為 1/λ*ω*ω+1/λ*k*ω+1/λ*l*ω。
固綜合比較後可得到式子( 4.28 )，Gateway Planning 機制的 Signaling Load 較 AODV+的 Signaling Load 少，所以 Gateway Planning 機制的控制訊息較少。
Lemma：
( 1/λ*ω*ω+1/λ*k*ω+1/λ*l*ω ) > ( ( 1/( ( k+1 ) λ ) ) * (ω*ω+ k*ω+ω) + 2*n ) Proof：
( 1/λ*ω*ω+1/λ*k*ω+1/λ*l*ω ) –( ( 1/( ( k+1 ) λ ) ) * (ω*ω+ k*ω+ω) + 2*n ) = ( k/( ( k+1 ) λ ) ) * (ω*ω+ k*ω+ω) - ( 1/( ( k+1 ) λ )*2*n > 0 ( 4.28 )
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