數值分析 - 層狀半空間剛性圓盤基礎之振動

3.1 假設模型

在半無限積分中由(2-58)式:



^



 0 JQ2DPdk u

若土層無阻尼可能會存在奇異點，雖然像殘值定理(Residue Theorem)之方法可計算奇異點，但為符合真實情況依然假設土層中有阻尼。因此可直接使用數值積分方法。此外由以下三個條件，當k其半無限積分與 1 2

k 成比例:

(1) 當k 其 J 矩陣元素跟k⁰^.⁵成比例 (2) 當k  Q₂矩陣元素會跟隨

1k消減，因為v 'v k。 (3) 當k 



^r ^Jⁿ⁽^kr⁾^dr^^^r_k ^Jⁿ^¹⁽^kr⁾^ ⁿ_k^¹



^rJⁿ^¹⁽^kr⁾^dr

2 與



^rJⁿ⁽^kr⁾^dr^^_k^r ^Jⁿ^¹⁽^kr⁾^_kⁿ



^Jⁿ^¹⁽^kr⁾^dr^、^Jⁿ⁽^kr⁾^ _k¹⁰^.⁵ 。所以 D 矩陣元素會隨

5 .

1 1

k 消減。

因此取適當的有限值置換無限積分上限不會造成數值結果精度下降，所以本研究使用 Gaussian Quadrature method 求其積分。其阻抗矩陣與方程式 之計算精度與(2-55)式 D 矩陣之積分和(2-54)式之應力模態次區間數量(m) 均相關。由於 Liou[16]中已對次區間數量 m 與積分上限 k 做過討論，所以

研究中直接以次區間數量 m 為 100、積分上限 k 為 5000，並且假設模型阻尼比()為 0.05，Poisson ratio 為 1/3，剪力模數為GG(12i)來計算。

為簡化討論假設模型之基礎半徑a₀、距離 r 與波數 k 均由頻率 1Hz 之剪力波長無因次化，其剪力波長 Re(c_s)/1s其Re(c_s)為剪力波速c_s之實部，由於剪力模數 G 為複數所以c_s也為複數。而且，因為使用 Gaussian Quadrature method，其積分間隔大小須符合積分點數量，所以(2-56)式之 D 矩陣積分

1 / 

rk  其次區間r取 4 個 Gaussian 積分點。而(2-57)式之積分kr/ 1其

k 1.3 次區間k取 5 個 Gaussian 積分點。k_R為雷利波數(Rayleigh wave number)，r 為計算振動位置之距離。對於k 1.3k_R其次區間k使用kr/ 0.1 取 5 個 Gaussian 積分點來計算，因為對 k 積分在靠近壓力波數、剪力波數跟雷利波數(Rayleigh wave number)時變化更為劇烈。使用以上之積分條件，

其半無限積分上限由合適之k_u取代。

本研究中總系統為一無質量剛性圓盤，固定於兩層系統中之第一層自由表面如圖(3)，並且受到扭轉(torsional)、垂直(vertical)、翻滾(rocking)、水平 (horizontal)之振動。使用無因次化頻率a ₀ 1s/2 與無因次化距離r 1s/2來計算振幅其中 1Hz。

因為總系統為線性，所以所有的數值均可無因次化。因此，扭轉(torsional)、

垂直(vertical)、水平(horizontal) 、耦合(coupling)、翻滾(rocking)之阻抗方程可無因次化如:I_TT Ga₀³,I_ Ga₀,I_HH Ga₀,I_HR Ga₀²與I_RR Ga³₀。而且作用力也可以

用相同的方式正規化。所以可以得到垂直與水平作用力的無因次化，分別為F_V Ga₀與F_H Ga₀，而扭轉與滾動力偶正規化，分別為M_T Ga₀³與

3

R Ga

M ，其中 G 為第一層的剪力模數。由此方法運算導致其求得結果之u_r、

uz與u_已經由無因次化。以上之為頻率 1Hz 之剪力波長。

本研究由單位和諧載重作用，即F_V Ga₀，F_H Ga₀，M_T Ga³₀或

3 1

R Ga 

M 來計算其數值結果。

3.2 數據結果

以一無質量之圓盤固定於雙層土壤，其土壤上層為層狀介質土壤下層為半空間層如圖(3)以此假設模型做分析計算。加載扭轉(torsional)、垂直 (vertical)、水平(horizontal)、翻滾(rocking)等振動。研究中直接以次區間數量 m 為 100、積分上限 k 為 5000、Poisson ratio 為 1/3、無因次頻率為2 、

a0為無因次半徑 0.1、d 為無因次距離 1、阻尼比為 0.05，而且 r 的無因次距離以 s 代表，其 s 以每間隔為 0.125 計算其振動位移且深度 z 以對數座標表示，以下圖中的單位均以(為頻率 1Hz 之剪力波長)無因次化，而且圖中之

u其為90^、r 的無因次距離以 s 代表、Gt G₂ G₁: 模型(1)

假設無因次頻率為2、a₀為 0.1、d 為 1、阻尼比為 0.05、剪力模數比G₂ G₁ 為 5、積分上限 k 為 5000、Poisson ratio 為 1/3 的層狀半空間得其層內振動

圖形為:

1.垂直振動之u_r位移與u_z位移如圖(4)、圖(5)

2. x水平方向上振動之u_r位移與u_z位移如圖(6)、圖(7) 3.翻滾振動之u_r位移與u_z位移如圖(8)、圖(9)

4.扭轉振動之u_位移如圖(10) 5.縱向振動之u_位移如圖(11)

6.y水平方向上振動之u_位移如圖(12)

模型(1)由圖(4)~圖(12)得層內位移成波動狀衰減。取深度z=0、0.25、0.5、

0.75、1.0之振動位移曲線。由圖(4)可看出在z=0時曲線較緩，隨深度增加變化越趨劇烈而在z=1.0時又變緩。圖(6)與圖(8)之變化跟圖(4)相似只是在 z=0.75時曲線變化就趨緩。圖(11)與圖(4)的曲線變化相同，只是數值大小不同。圖(4)、圖(6)、圖(8)、圖(11)各深度之曲線變化較無規律。圖(5)、圖(7)、

圖(9)、圖(10)、圖(12)其曲線在z=0~0.25的變化趨緩而在z=0.25~0.75曲線變化較劇烈然後在z=1.0又變緩。不過圖(4)~圖(12)其振動位移均隨距離s的增加振動逐漸變小

模型(2)

假設無因次頻率為2 、a₀為 0.1、d 為 1、阻尼比為 0.05 且剪力模數比

2 G

G 為無限(即半空間層改為剛性基底)、積分上限 k 為 5000、Poisson ratio 為 1/3 得其層內振動圖形為:

1.垂直振動之u_r位移與u_z位移如圖(13)、圖(14)

2. x水平方向上振動之u_r位移與u_z位移如圖(15)、圖(16) 3.翻滾振動之u_r位移與u_z位移如圖(17)、圖(18)

4.扭轉振動之u_位移如圖(19) 5.縱向振動之u_位移如圖(20)

6.y水平方向上振動之u_位移如圖(21)

模型(2)由圖(13)~圖(21)得層內位移成波動狀衰減。取深度z=0、0.25、

0.5、0.75之振動位移曲線。因為剛性基底所以z=1.0振動位移為0。由圖(13)、

圖(15)可看出在z=0時曲線變化劇烈在z=0.25較緩，z=0.25~0.5隨深度增加變化越趨劇烈而在z=0.75時又變緩。圖(13)與圖(20)的曲線變化相同，只是數值大小不同。圖(17)之曲線變化隨深度加深就越劇烈。圖(14)、(16)、(18)、

(19)、(21)其曲線在z=0~0.25的變化趨緩而在z=0.25~0.75曲線變化較劇烈。

在圖(13)~圖(21)其振動位移均隨距離s的增加振動逐漸變小。

將模型(1)與模型(2)做比較可看出在s=0~1時變化相同，在z=0時模型(2) 的振動位移較劇烈，且模型(2)數值較小。圖(13)、圖(15)、圖(17)相對於圖 (4)、圖(6)、圖(8)由劇烈變化到和緩的過程發生於較淺的位置。

在文檔中層狀半空間剛性圓盤基礎之振動 (頁 26-31)