本章主旨在說明本論文的數值計算所使用的所有模式。 第一節整理所求解的 Navier-Stokes 方程式。將 Navier-Stokes 方程式拆解為非黏滯項與黏滯項。第二節介紹 的為黎曼解中的 ROE 法，利用 ROE 法來求出非黏滯項的通量。 接著第三節介紹 MUSCL 法，此法是為了要解出 ROE 法中使用的網格之間的物理量，然後為了防止在 高階插分時產生震盪現象，在 MUSCL 法插分的結果方程式中加入 Minmod limiter 以確 保程式不會發散。第四節為介紹 Preconditioning 法，因為當計算低速可壓縮流時，因速 度和音速的數量級上差距過大，在數值分析時造成計算的困難，所以為彌補此一缺點頇 使用 Preconditioning 法。第五節為 LUSGS Scheme，為了加快收斂速度並且避免能量耗 散問題，因此利用 LUSGS Scheme，而程式因為在使用 Preconditioning 時，加入 Artificial time term 時，已破壞了整個統御方程式，因此需使用 Dual time stepping 疊代使其在 Artificial domain 收斂時才能進入下一個真實時階，將在此小節做詳細的解說。第六節 則詳細介紹本文在出口條件部份採用的非反射性邊界條件，用以避免低速可壓縮流中，
出入口處壓力波易反彈而造成的干擾。第七節介紹本文在 z 方向邊界條件部份採用的週 期性邊界條件，用以假設無限延伸之平行平板，減少計算範圍與時間。綜合上述，本論 文在數值上的計算過程為，首先將 Navier-Stokes 方程式拆解為非黏滯項與黏滯項。利用 MUSCL 法算出 ROE 法所需要的網格間物理量並搭配 Minmod limiter 以確保程式不會 發散，求解出非黏滯性項的通量，並且在計算通量時加入 Preconditioning 法，以拉近與 音速的數量級。 接下來利用二階中央插分法對黏滯項做插分進而求出黏滯性項；然後 再與 ROE 法求出的非黏滯性項通量做結合得到真正的物理通量。最後使用 LUSGS Scheme 疊代以求出下一時階的物理量。
3-1、統御方程式：
15 利用Sutherlands’s law
110
=1.4，R=287J/kg/K ，Pr=0.72。
上式可拆解成黏滯性項與非黏滯性項：
3-2、Roe scheme：
接著定義特徵變數W〈characteristic variables〉，其定義如下：
( , ) 方程式(3-5)稱為 canonical form 或 characteristic form。
將以上的結果簡單整理如下：
17 皆求解近似黎曼問題〈approximation Riemann problem〉解而不直接求其 exact solution。
在求解近似黎曼問題中最被廣泛應用的方法為 Roe 所提出，亦即為 Roe scheme，其內容 根據 chain rule，可將方程式(3-19)改寫如下：
U F U 0
Roe 利用常數 Jacobian 矩陣取代原本的 Jacobian 矩陣使方程式由非線性轉變成線性，但 3.則是為了符合守恆定律（conservation law）與 Rankine-Hugoniot 條件。
線性黎曼問題的解析解，可以直接從(3-16)與(3-17)式得到， 1
19 接著選定 parameter vector Q
1 u為 Roe averaged velocity
LuL RuR
u
(3-42)
21
因此可以用同樣方法得到以下物理量：
L L R R
L R
v v
v
(3-43)
L L R R
L R
w w
w
(3-44)
L L R R
L R
H H
H
(3-45) [( 1)( 1/ 2 )]1/ 2
a H V (3-46) 其中u、v、w分別代表x方向、 y 方向、 z 方向的速度。 H 、a則分別為焓和音速。
(3-42)～(3-45)式中的U 以及L U 則是利用 MUSCL 法求出。 R
y
x0 x0 x0 x 圖 3-1 黎曼問題特徵值結構圖
m 1
m
i 1
p
i
p
1
2
23
3-3、Monotonic Upstream-Centered Scheme for Conservation Laws(MUSCL)：
本論文使用其方程式如下： 究在 MUSCL 法插分出來的方程式中加入 minmod limiter，用來確保程式不會發散。
因此(3-47)與(3-48)式需改寫如下：
表 3-1：精度係數值
c d Order
1/3 1/3 1/3 1/3 1/3
0 -1/6 0 -1/10 -1/10
0 0 -1/6 -1/15 -1/15
2 3 4 5 6
25
( )
綜上所述，可以得知只要改變(3-58)式中的p項，利用當地流場速度（local velocity）
的倒數取代，即可轉換系統中的特徵值，藉此改變低速情況下流場的聲速，使聲速與流 計算時所造成的奇異點（singular point）現象。對於黏制性流體而言，U 必頇大於流體r 的當地擴散速度（local diffusion velocity），因此U 還需加入下列限制： r
max( , )
27 的中央差分法加上為了解決不連續面問題的 artificial viscosity term 1
2 A U 所組成。加 入 preconditioning 的方程式只需在 artificial viscosity term 做改變即可，其推導如下：
1 1
所以 artificial viscosity terms 改寫如下：
1
29
圖 3-2：差分示意圖
31
方程式(3-69)中的 Navier-Stokes 方程式在時間項方面遭到修改，利用修改後的方程 式來計算暫態結果並不恰當，因此本程式再加入 dual time stepping，不僅讓程式在計算 暫態結果方面較準確，更提高程式的效率，縮短計算時間。首先，先在原始 Navier-Stokes 接著在 artificial time term 加入 preconditioning method：
Up U F G H
其中
p
M U U
， p
p
A F U
、 p
p
B G U
與 p
p
C H U
為 flux Jacobian。
k為 artificial time 中的疊帶次數，n為 physical time 的計算階數。上述方程式，當 artificial time term 收斂時， Ukp1 Upk 0
，方程式即會回復到原始的 Navier-Stokes 方程 式，並且包含著時間項，故程式可以計算暫態結果。本研究採用 LUSGS implicit 法計算 時間方程式(3-82)，此法的優點除了收斂快速外，還有不需額外的 Artificial Dissipation 來幫助程式收斂。
33
3-5、LUSGS implicit method：
由 Yoon 等人提出 LUSGS implicit method
1 k
上式可以用以下的步驟解出：
1.(LD)U*p 1Rk
其中U*p D1(D U )Ukp
2. (D U )Ukp D Up*
* 1
k k
p p p
U U D U U
3. k1 k
p p p
U U U
4.重複步驟一至三，直到
1
0
k k
p p
U U
則下一個物理時間項可求得。
35
再高速可壓縮流的情形下，Poinsot 與 Lele [26]發展的 LODI(local one-dimensional inviscid relations)法使非反射邊界適用於管道的進出口兩端。但因未使用 preocnditioning
考慮一維 Navier-Stokes 方程式：
p 0
將方程式(3-93)帶入方程式(3-91)，便可得到 primitive form
1 0
1 1
37
(a)