本章主旨在說明本論文的數值計算所使用的所有模式。第一節首先要知道所求解的 方程式為 Navier-Stokes 方程式。參考 Fu 和 Li 等人[22]之數值方法，本研究將方程式拆 解為非黏滯項與黏滯項。其中在計算黏滯性項則採用二階精度的中央差分法。第二節介 紹的為黎曼解中的 ROE 法(Roe Scheme)[26]，利用 ROE 法來求出非黏滯項的通量。接 著 第 三 節 介 紹 MUSCL 法 (Monotone Upstream-centered Schemes for Conservation Laws)[27]，此法是為了要解出 ROE 法中使用的網格之間的物理量，然後為了防止在高 階插分時產生震盪現象，在 MUSCL 法插分的結果方程式中加入 Minmod limiter 以確保 程式不會發散。第四節為介紹 Preconditioning 法[28]，因為當計算低速可壓縮流時，因 速度和音速的數量級(order)上差距過大，在數值分析時不好計算，所以為彌補此一缺點 須使用 Preconditioning 法。第五節為 Dual time stepping，因使用 Preconditioning 法時，
加入 Artificial time term 而破壞了完整的統御方程式，為了使計算暫態結果較準確，因此 需使用 Dual time stepping 疊代，使其在 Artificial domain 收斂時才能進入下一個真實時 階，更提高程式的效率。第六節為 LUSGS 法(implicit lower-upper symmetric Gauss-Seidel algorithm)[30]，程式因為在使用 Preconditioning 法，故而在統御方程式中修改了計算時 階，故需要加入 Artificial time term，待時階項收斂時才能達到真實穩態。第七節為完全 非反射邊界之介紹，為了使自然對流之邊界可以更接近真實狀態，在程式的出入口邊界 使用完全非反射邊界。綜合上述，本論文在數值上的計算過程為，利用 MUSCL 法算出 ROE 法 所 需 要 的 網 格 間 物 理 量 ， 求 出 非 黏 滯 的 通 量 ， 並 且 在 計 算 通 量 時 加 入 Preconditioning 法，以拉近與音速的數量級(order)。接下來使用二階中央插分法對黏滯 項做插分進而求出黏滯項；然後再與 ROE 法求出的通量結合得到真正的物理通量。最 後使用 Dual time stepping 及 LUSGS 法疊代以求出正確時階的物理量。
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接著定義特徵變數W〈characteristic variables〉，其定義如下：
( , ) 方程式(3-11)稱為canonical form或characteristic form。
將以上的結果簡單整理如下：
18 皆求解近似黎曼問題〈approximation Riemann problem〉解而不直接求其 exact solution。
在求解近似黎曼問題中最被廣泛應用的方法為 Roe 所提出，亦即為 Roe scheme，其內容 根據 chain rule，可將方程式(3-16)改寫如下：
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Roe 利用常數 Jacobian 矩陣取代原本的 Jacobian 矩陣使方程式由非線性轉變成線性，但 是初始條件並沒有改變，因此可以得到方程式(3-16)的近似解。為了要求得合理的常數 3.則是為了符合守恆定律（conservation law）與 Rankine-Hugoniot 條件。
線性黎曼問題的解析解，可以直接從(3-13)與(3-15)式得到， 1
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21 接著選定 parameter vector Q
1
22 uɶ為 Roe averaged velocity
L L R R
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y
x<0 x=0 x>0 x
圖 3-1 黎曼問題特徵值結構圖
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3-3、、、、Monotonic Upstream-Centered Scheme for Conservation Laws(MUSCL)：：：： 本論文使用的是採用I. Abalakin等[27]中所使用的插分法。其方程式如下： 究在 MUSCL 法插分出來的方程式中加入 minmod limiter，用來確保程式不會發散。
因此(3-44)與(3-45)式需改寫如下：
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表 3-1 精度係數值
β θc θd Order
1/3 1/3 1/3 1/3
0 -1/6 0 -1/10
0 0 -1/6 -1/15
3 4 4 5
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3-4、、、、Preconditioning 法法法法：：：：
為了提高程式的應用範圍，在 Navier-Stokes 方程式中加入 preconditioning 法，讓程式不 論在高速或低速流內計算可壓縮流，皆可獲得精確的結果。
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綜上所述，可以得知只要改變(3-54)式中的ρp項，利用當地流場速度（local velocity）的 倒數取代，即可轉換系統中的特徵值，藉此改變低速情況下流場的聲速，使聲速與流場 的當地擴散速度（local diffusion velocity），因此Ur還需加入下列限制：
max( , )
28 問題的artificial viscosity term 1
2 Aɶ ∆U所組成。加入preconditioning的方程式只需在
artificial viscosity term做改變即可，其推導如下：
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所以 artificial viscosity terms 改寫如下：
1
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圖 3-2 差分示意圖
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3-5、、、、Dual time stepping :
方程式(3-51)中的 Navier-Stokes 方程式在時間項方面遭到修改，因此利用修改後的 方程式來計算暫態結果並不恰當，因此本程式再加入 dual time stepping[29]的模組，不 僅讓程式在計算暫態結果方面較準確，更提高程式的效率，縮短計算時間。
接著在 artificial time term 加入 preconditioning method：
Up U F G H 最後對 artificial time term 採一階的有限差分離散，對 physical time term 採二階的後 項差分離散， F
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∆ ，方程式即會回復到原始的 Navier-Stokes 方程 式，並且包含著時間項，故程式可以計算暫態結果。
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3-6、、、、LUSGS 法法法法:
本研究採用 LUSGS implicit 法計算時間方程式(3-77)，此法的優點除了收斂快速外，
還有不需額外的 Artificial Dissipation 來幫助程式收斂。本文選用收斂速度較快的 LUSGS 法來計算修改後的方程式。
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根據 Poinsot 等人[25]所提出的 LODI(The local one-dimensional invsicid relations)將(3-78) 簡化成在出口邊界的一維 Navier-Stokes 方程式:
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