國外淹水模式方面的相關研究，Gustafss. B (1971)利用交替方向隱式法求解淺 水波方程式，比較不同演算時距之模擬結果與演算效率。Xanthopoulos and Koutitas (1976)曾建立二維數值模式以模擬潰壩後河川或洪氾平原區水流之流況。Cunge et al. (1980)曾依地形與地貌將洪氾區劃分網格，配合所發展之理想渠道、堰等概念模 式，再利用一維水流理論求解各網格中心的淹水深度，並將此模式應用於湄公河 三角洲低窪之洪氾平原；後來 Vongvisessomjai et al. (1985)亦將此模式推廣應用於 在曼谷地區。Akanbi and Katopodes (1988)利用有限元素法並搭配非固定計算網格 求解二維淺水波方程式，模擬在初始無水陸地洪水波傳遞之情況。O'Brien et al.
(1988)發展 FLO-2D 模式針對科羅拉多州進行 FEMA 都會區洪災保險的研究，採用 一維變量流與二維漫地流模式，計算溢堤時堤外管道與堤內地表間水流互動機 制。Horritt and Bates (2002)藉由衛星遙測資料進行河域參數修正，提高一維與二維 數值模式模擬該區淹水情況之準確度。Mark et al. (2004)以一維水文模式結合地下 管路與街道之關係模擬淹水，並應用於孟加拉首都，考慮地形及排水系統作為網 格劃分。
近年隨著資料量的增大，考慮各種參數的淹水模式也需要更多的演算時間才 能得到模擬結果，在進行洪水與淹水預報所需之前置時間的考量下，如何提昇模 式理論與數值方法，以縮短模式模擬時間，為目前國際間各種淹水模式發展的一 個趨勢。Bates and De Roo (2000)以二維網格結合一維渠道觀念建立 LISFLOOD-FP 模式，針對模式穩定性及不同演算時距作進一步分析，其以高解析不同大小之三 角型網格探討模式模擬結果。Wilson and Atkinson (2005)應用 LISFLOOD 淹水模式 討論三種不同來源之高程資料對淹水模擬結果之影響。Sanders (2007)評估不同測 量方式所測得之數值地形資料適用於地表淹水模式之分析。Gouldby et al. (2008)
(QPESUMS system)，利用雷達回波資訊推估之雨量整合地面雨量站觀測之雨量， (Erpicum et al., 2010; Tsubaki and Fujita, 2010; Yu and Lane, 2006a)。Alcrudo (2004) 於 IMPACT 計畫中提出在數值模式中如何考慮建物的機制，包括在建物所在網格 修改地表糙度值，增加地表高程或在高解析度網格中以垂直不透水牆的設定來呈 現建物。近年來許多研究使用孔隙率(porosity)的概念，進行次網格模式中主網格 的參數設定，讓二維淹水模式能在較大網格中以高解析度之原始地形反應出網格 間的阻隔效應。Yu and Lane (2006b)在次網格中以細部地形的變化來考慮主網格間 的流量阻隔效應，其結果呈現比傳統單純修改曼寧糙度值的方法更高的精度。
Sanders et al. (2008)以均勻阻力係數來考慮次網格中建物對水流的影響，並以不規 則建物的建物形狀及分佈情形導出兩種孔隙率參數，利用其求解都會地區淹水流 況。Chen et al. (2012a)假設建物外牆可阻隔水流，以建物並探討建物形狀及排列對 都市水流的影響。Chen et al. (2012b)更進一步利用多重網格之理論，探討在建物阻
隔下相鄰兩網格間的水流流況，藉以修正因建物阻隔所導致的水流流向。Velickovic 之依據。Green (2005)將草生植物在水中的阻力反應至曼寧公式中的地表糙度值 上，並依照植物占通水面積比計算成孔隙率的概念以修正地表糙度。Liang et al.
(2007)提出在高度不穩定流況下，可將建物對水流的阻力效應直接反應在地表曼寧 糙度值上。Sanders et al. (2008)進一步確定阻礙物具有阻礙通水效應，因此在模式 中不單需考慮原底床剪力還需加入建物阻力，才能反應實際水流流動情形。Neelz and Pender (2007)調整尺度較大之粗網格曼寧糙度值以反應地表上阻礙物對流況的 影響，再以尺度較小之細網格模擬實際建物在都市地區之淹水情形作為驗證。
Soares-Frazao et al. (2008)製作大型的水工試驗模型，以分析規則與交錯排列的建物 對水流所造成能量損失之影響，並在解析度較低的不規則網格中加入孔隙率以調
Shige-Eda and Akiyama, 2003)。局部細化網格應用於水理演算方面的相關研究中，
Ghia et al. (1982)應用多重網格模擬二維不可壓縮流在高雷諾數條件下之紊流流 況。Mavriplis (1991)利用能適應流場地形特性之非結構化網格模擬二維可壓縮紊流
模式模擬，證明能提高結果之精確度。Spitaleri and Corinaldesi (1997)利用局部細化 網格法模擬封閉集水區內之流況，獲得與實際相同之近似數值解。Li et al. (2000) 運用適應性局部細化網格法模擬三維密度依存流(density-dependent flow)，並討論 地下水傳輸問題。Lamby et al. (2005)運用適當多重尺度有限體積法求解二維淺水 波方程式，進而模擬潰壩、水躍等水理現象，證明能提高數值模式演算效率。Liang et al. (2008)以四分樹網格數值地形解法(quadtree grid based)為基礎，專注於大尺度 區域內重要局部小尺度區域，增進了演算效率及模擬準確性。Wang et al. (2005)以 無網格(meshless)方法，利用加權殘值定理(Weight residual method)，以粗網格之流 況作為邊界條件進行細網格水深之求解。
局部細化網格邊界處理方面，Brandt (1977)提出局部細化網格的基本架構，包 括粗細網格邊界之間的轉換，邊界分配關係可用多項式表示，其中非共通項即為 分配權重，而權重分配參數的次方數不應低於其在數值模式中之次方數，又在殘 值(residual)足夠的情況下權重分配參數可以考慮較高次方數，當權重參數次方數更 高時，會耗費更高之演算資源但不會有顯著之改善。Hemker (1990)討論粗細網格 在不同頻率下之傅立葉轉換時，邊界權重分配參數之次方數與頻率高低之關聯 性。Chan et al. (1999)討論非結構化粗細網格之邊界轉換，需透過邊界處理方可減 少誤差，其中有相近邊緣法與相近距離法，即以接觸邊緣比例與相對距離作為分 配權重之參數。van Brummelen et al. (2008)透過勘誤程序發展一有效之修正參數處 理黏性流通過局部細化網格邊界產生流體結構交互作用產生之影響。
2-4 平行計算
近年來，電腦科技進步快速，擁有多核心多執行緒之個人電腦讓平行計算之 應用性更加廣泛，舉凡硬體設計、程式語言發展、演算法及平行技術的應用，均 有許多相關的研究，有關平行計算的發展及觀念，Codenotti and Leoncini (1992)及 Hillis (1992)曾有詳盡的介紹。而在土木水利工程方面，平行演算法也廣泛應用於 計算流體力學及高計算量之水理模式之中，Dawson et al. (1991)開發有限差分法之
計算網格切割流程，將整個計算平面切割成數個子網格，以有限差分顯式法計算 出子網格交接界面上網格點之數值，將各個子網格可分配於不同處理器、不同之 演算時距同步進行平行演算，大幅提昇演算效率。Rodrigue (1992)則提出以平行電 腦求解不同流力問題時所應採取的問題切割策略。Simon (1991)及 Hsieh et al.
(1997)採用平行子結構法，將原始的有限網格分割成數個子網格，分別交給不同的 處理器負責運算。Paglieri et al. (1997)採用有限元素法，透過網格切割之方式進行 二維淺水波方程式模擬之平行演算。Hervouet (2000)在高解析二維潰壩模式中 (dam-break model)，加入平行計算以增加演算效率。Hluchy et al. (2002)針對二維淹 水模式數值演算資料最繁複計算的部份進行平行化，隨著電腦執行緒數目增加，
模擬效率也隨之增進，大幅減少了演算時間。Pau and Sanders (2006)模擬有限體積 法之二維淺水波方程式，並將模擬網格切割至不同執行緒以進行平行計算，使模 式演算達到最佳化，有效減少計算時間。Kalyanapu et al. (2011) 利用圖形處理器 (Graphic Processing Unit, GPU)的 CUDA (Compute Unified Device Architecture)架 構，進行二維洪水波方程式之求解，並比較不同顯示卡組合下之提昇效率。Neal et al. (2009)使用 openMP 語法於二維漫地流模式進行平行化之修改，將二維 x、y 方 向之演算平行處理，求解流速及淹水深，並探討不同核心數目、不同網格數量之 演算效率。Neal et al. (2010)更進一步探討比較 LISMIN、openMP、MPI 三種平行 演算法於淹水模式之效率。Sanders et al. (2010)結合平行演算法於二維淹水模式 中，以多台多核心電腦串結合高達 512 個執行緒之叢集電腦進行平行演算，以此 演算高解析數值地形(10 公尺)模擬區，有效地提供精密且即時之淹水資訊。