文獻回顧

由過去經驗或理論上可知於一般彈性材料中奇異點總為應力集中處，並常為破壞 之起始點。當進行電磁彈性材料分析時於奇異點除了應力集中外亦有可能造成電力或 磁力集中，而使得較彈性材料更佳容易產生破壞。所以本研究將建立奇異點處之漸近 解，探討不同幾何形狀以及極化方向對電磁彈性材料之奇異性階數之影響，藉此了解 可能產生之電磁彈奇異行為。一般來說，電磁彈性元件安裝於儀器中時，元件間總會 造成材料以及幾何形狀之不連續 (圖 1.1)；或者材料本身具有類似裂縫或凹口之缺陷 (圖 1.2)，均可能造成材料或器材之使用壽命縮短。其奇異行為與楔形體及迴轉體相同，

故本研究將以這兩種幾何形態作為分析之模型。

1.3.1 彈性楔形體之應力奇異性

至目前為止已有相當多的文獻對於彈性楔形體之應力奇異性進行探討。許多學者 將彈性楔形體分析簡化為二維之問題，對於楔形體面內 (in-plane) 與面外 (anti-plane) 行為進行討論。有關於楔形體面內奇異性行為之研究，由 Williams[5] 首先對於各向等 向性 (isotropic) 之彈性扇形板由於邊界條件所引致之應力奇異性行為探討，其研究結 果顯示於不同邊界條件以及扇形角變化時均會呈現不同之應力奇異性階數。因為探討 的問題以板作為出發點，故後續許多研究均以平面應變或應力作為假設，忽略了板厚度

方向應變或應力分量對於奇異性行為的影響，如 Williams[6] 分析不同邊界條件於 180 度以下之扇形板面內 (in-plane) 尖端奇異性，由結果可知道在混合的邊界條件 (一側為 clamped，另一側為 free) 下之應力奇異性較兩側邊界條件一致的情況下強烈。除了單 一材料之楔形體，亦有學者對於複合材料楔形體進行討論，因為複合材料楔形體為兩 種材料以上所組成，因此在兩材料之連結處為一材料不連續面，亦有可能於材料不連 續面之尖端點造成應力集中而產生奇異性行為。Hartranft 與 Sih[7] 利用特徵函數展開 法探討三維之裂縫問題，另外提出該方法可利用於楔形體問題。Bogy 與 Wang[8] 分析 於雙等向性彈性材料楔形體，指出應力奇異性階數與材料性質及楔形體角度息息相關；

Bogy[9] 提出當雙彈性材料楔形體於兩邊界受到表面 tractions 作用時，於楔形體尖端之 應力異性階數與材料性質以及楔形體之幾何形狀有關，與 Bogy 與 Wang[8] 提出之結果 一致。Dempsey 與 Sinclair[10] 延續 Dempsey 與 Sinclair[11] 之方法，根據 Airy stress function，使用變數分離法推導出當 r→0 時奇異性形態 O (r^−λln r)，其中 r 為與奇異點 之距離，另指出奇異性階數是根據於材料種類數量而定。之後專家學者 [12–21] 亦針對 楔形體應力奇異性進行相關之探討，所得結果如同 Bogy 與 Wang[8] 所提出之楔形體材 料種類與幾何形狀均對於應力奇異性有顯著之影響。

亦有學者對於彈性楔形體面外奇異性行為進行研究。Ma 與 Hour[22] 分析雙異向性 (anisotropic) 材料之面外應變之問題，根據結果發現面外奇異性階數總為實數，該結論 與面內問題有相當大的不同。Kargarnovin 等 [23] 與 Shahani[24] 分別討論有限之等向 性與異向性材料楔形體面外奇異性行為。Xie 與 Chaudhuri[25] 亦配合特徵函數展開法 探討雙材料板承受面外 (antiplane) 剪力或彎矩時於界面間之奇異性問題。此外，各家 學者基於各種板理論 [26–31]，例如古典板理論、Reissner 理論、三階薄板、一階剪力 變形板理論以及 Midlin 理論等，對於單一或多材料彈性楔形體之應力奇異性做進一步 之探討。

若以彈性材料之性質分類，可分為等向性材料與異向性材料。於已發表的文獻中對 於各向等向性材料楔形體奇異性行為研究 [5–14, 25–31] 已有相當深入之探討。Ting 與

Chou[16] 於極座標系統下分析異向性材料楔形體之奇異性，亦推導出當 r→0 時，奇異 性擁有 r^−ξF (r, θ) 之形態，其中 ξ 為一複數 (complex)，也證明了於異向性材料裂縫尖 端之奇異性階數為 0.5 與一般等向性材料一致; [17–22, 32–34] 亦針對異向性楔形體進行 分析，結論類似於各向等向性材料楔形體，奇異性階數會根據幾何形狀與材料種類性質 而變化，此外材料之纖維方向亦會造成影響。

1.3.2 壓電楔形體之電彈奇異性

一般來說壓電材料被假設為側向等向性材料 (transversely isotropic material)，其 極化方向被定義為垂直於材料等向性平面，側向等且在通常假設平行某幾何之主軸。

因此，奇異性分析通常建構於廣義平面應變或變位之假設上，Xu 與 Rajapakse[35] 利 用 extended Lekhnitskii’s formulation 分析任意極化方向之單一或多材料壓電楔形體之 壓電奇異性為一平面問題，提出極化方不影響考量裂縫時的奇異性，另外根據數值結 果顯示楔形體角度、極化方向、材料種類以及邊界或是界面條件均會導致壓電奇異性 的變化；Chen 等人 [36] 亦利用 extended Lekhnitskii’s formulation 進行極化方向為徑 向、環向與軸向之壓電楔形體奇異性分析，得到與 Xu 與 Rajapakse[35] 相同的結論。

Hwu 與 Ikeda[37] 延伸對於異向性材料分析時採用之 Stroh formulation 分析於不同邊 界條件下含尖角或裂縫壓電材料之奇異性行為。Chue 與 Chen[38] 基於廣義平面變位 (generlized plane deformation) 之假設分析雙壓電材料與壓電材料/彈性材料楔形體奇異 性問題，同樣的也提出了楔形體角度、極化方向、材料種類以及雙材料界面間的連續條 件，均會影響於尖端附近之電彈奇異性階數。Sosa 與 Pack[39] 利用特徵函數展開法分 析極化方向為面外方向之壓電材料三維之半無限裂縫之問題，其結果證明了於裂縫尖 端附近會產生 1/√

r 之奇異性行為，其中 r 為距離尖端之半徑長度。Chue 與 Chen[40]

使用 Mellin 轉換分析雙壓電材料楔形體面外之奇異性問題，發現雙材料壓電楔形體 之面外電彈奇異性階數可能為複數，該結論與雙彈性材料楔形體面外應力奇異性階 數總為實數的結論相反；另外也提出在單一壓電楔形體之電彈奇異性階數總為實數，

除非該單一壓電楔形體之邊界條件為 C-D 則可能產生複數之電彈奇異性階數 (Chue 與 Chen[40] 中定義 C 為 traction free 與 electrically open；D 為 clamped 與 electrically open)。Scherzer 與 Kuna[41] 結合特徵函數展開法與有限元素法分析裂縫相關問題，說 明了若利用標準之有限元素法分析壓電材料裂縫問題時，在材料裂縫尖端是無法得到正 確之解。Chen 等人 [42] 利用 ad hoc 一維有限元素法 (或稱 hypoparametric 有限元素 法) 分析極化方向為任意方向之壓電/彈性材料楔形體之奇異性行為，提出影響電彈奇 異性階數可能的原因有彈性材料之纖維方向、壓電材料之極化方向以及楔型板之幾何 角度。Shang 與 Kitamura[43] 根據 Wang 與 Zheng[44] 所提出對於壓電材料之 modified general solution，探討壓電薄片黏結於一彈性基材 (幾何形狀參考圖 1.1) 時其交界處可 能產生之奇異性行為，提出強烈的奇異性為材料的差異以及幾何形狀所引致的。歸納上 述學者之分析結果可知壓電楔形體可能因楔形體角度、極化方向、材料種類以及邊界或 是界面條件導致電彈奇異性的變化。

1.3.3 電磁彈性楔形體之應力奇異性

相較於彈性或壓電楔形體已有大量研究，目前僅有少數的文獻對於電磁彈性材料 楔形體尖端之電磁彈奇異性行為進行探討。Liu 與 Chue[45] 根據 Chue 與 Chen[38] 廣 義平面變位之假設分析雙電磁彈性材料楔形體，利用 Mellin 轉換推導出特徵方程式以 求得奇異性階數，顯示電磁彈性奇異性階數與由彈性、壓電楔形體求得之奇異性階數迥 異。Sue 等人 [46] 利用 complex potential function 與特徵函數展開法，考量於面內電場 與磁場以及面外變位之情況下，討論雙電磁彈性複合楔形體尖端之電磁彈性奇異性行 為，根據數值結果分析得到由於電磁彈性效應可能造成其奇異性階數為複數，該情況 類似於壓電材料，不如彈性材料之奇異性階數總為實數。Liu [47] 更進一步延伸 Liu 與 Chue[45] 所得之結果，考量於空氣中之電場與磁場對於多材料楔形體尖端應力奇異性 之影響，其中電磁彈性材料的極化方向均被假設平行於幾何形狀的某主軸。

1.3.4 彈性迴轉體之應力奇異性

對於彈性迴轉體可假設軸對稱進行分析。Zak[48] 分析迴轉體於不連續處之奇異 性，根據數值結果可知道奇異性階數落於 0 與 1 之間；Ting 等人 [49] 推導出含裂縫或 缺口之側向等向性材料承受軸對稱變形時特徵方程式。另外，在不考慮軸對稱之假設 下，Huang 與 Leissa[50] 對於迴轉體之鄰近 V 型凹口處進行漸近分析，直接求解於三 維力平衡方程式，將問題簡化為特徵值問題，並配合邊界條件以建立 3-D sharp corner displacement functions；Huang 與 Leissa[51] 延續 Huang 與 Leissa[50] 之方法，拓展至 分析雙彈性材料迴轉體之應力奇異性，透過特徵方程式求得應力奇異性階數，亦建立了 於雙材料交界處尖角附近之漸近位移及應力場。

1.3.5 壓電迴轉體之應力奇異性

Li 等人 [52] 仍基於軸對稱之假設，延伸 Ting 等人 [49] 之方法建構軸對稱壓電材 料迴轉體之解以探討雙壓電材料界面之電彈奇異性，其結果顯示若忽略壓電效應則奇 異性階數會有明顯不同；Xu 與 Mutoh[53] 亦根據軸對稱假設分析雙壓電材料迴轉體，

以特徵方程式求得奇異性階數，其發現當承受扭矩作用時，壓電與介電常數均對奇異性 沒有任何影響。目前尚未有關於電磁彈性迴轉體電磁彈性材料奇異性行為之研究文獻。