Chapter 1 緒論
1.2 文獻回顧
沉浸邊界法由 Peskin (1977)為了研究人類心臟中彈性瓣膜周圍血液流動模式 而提出的方法，基本的方法設計是在確定邊界(瓣膜)的位置上標記拉格朗日點，依 據瓣膜隨血液流動變化，給予瓣膜邊界(拉格朗日點)一具有變形和彈性參數的外力 函數，並使用正規化狄拉克脈衝函數(regularized Dirac delta function) 沉浸邊界周圍 2 個網格進行速度和受力內插，將結構體邊界的分佈外力應用於納維爾史托克方程 式(Navier-Stokes equations)上進行計算，用以模擬出瓣膜邊界對於血液流動的影響 [1]，且 Peskin (2002)對沉浸邊界法的進行整理及撰寫完整的推導[2]，其上述過程 將結構固體和流體分別應用尤拉(Eulerian)和拉格朗日(Lagrangian)描述法進行推 導。
Roma et al. (1999)延續 Peskin(1978)的沉浸邊界法應用，且採用適應網格加密 的方式，在固體沉浸邊界周圍局部加密流場網格，進而增加固體邊界條件的計算 精度，並應用二維基本模型模擬問題成功驗證了此方法的可行性，另外提出一沉 浸邊界周圍1.5 個網格正規化狄拉克脈衝函數進行內插速度和受力[3]。
Fadlun et al. (2000)提出直接施力(direct-forcing)沉浸邊界法，將其用以模擬三 維具有複雜結構的流體上，其使用方法為在每個時間步長於邊界點上得到期望速 (no-slip)、無穿透(no-penetration)條件，Kempe & Fröhlich (2012) 發現時間步長會影 響其邊界計算受力的結果，因此其應用一簡易步驟改善其方法，其為沉浸邊界受 力的進行迭代計算，使結構體邊界會被描述的更準確，並對此也運用二維圓柱問 題進行了驗證(如圖 1.3)，並改善 Uhlmann (2005)牛頓-尤拉方程式的數值計算方
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法，應用體積分率的方式將結構體中的流體內能計算出來，讓顆粒質量密度比所 產生數值穩定限制
ρ ρ
p/
f≥ 1.2
[5]的降低為ρ ρ
p/
f≥ 0.3
，使模擬問題的固體密度ρ
p可小於流體密度ρ
f[6]，其後加入了碰撞模型，模擬兩顆球體的碰撞行為。Breugem (2012)同樣提出 Uhlmann (2005)的數值方法所產生的邊界問題，並認 為應用正規化狄拉克脈衝函數會使得球體邊界的擴大，所以用向內收縮和受力迭 代的方式去計算，且應用數值模擬測試，測試出收縮值為0.3 個流場網格時，此數 值方法會達到二階精度 [7]，同時也採用 Kempe & Fröhlich (2009)[13]的牛頓-尤拉 方程式的計算方法，可使質量密度比降低並對其進行了驗證。
Luo et al. (2019)延續直接施力沉浸邊界法進行解析度測試，並應用 Breugem (2012)的固體邊界向內縮方法，但不同的是其應用不同解析度進行模擬測試，經由 外插可得到該雷諾數下的阻力係數值，並與向內縮值構成一函數用以模擬在不同 雷諾數和不同解析度下滿足阻力係數值的向內縮值，並用於模擬球體沉降問題，
成功模擬驗證單顆顆粒沉降達終端速度，且模擬兩顆顆粒上下不同位置自然沉 降，模擬出Drafting-kissing-tumbling 現象(如圖 1.4)並與他人進行比對[8]。
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圖1.2 1000 顆球體沉降瞬時位置圖[5]
圖1.3 (a) 圓柱與流場設置示意圖 (b) 在圓柱不同角度下的速度誤差[6]
圖1.4 Drafting-kissing-tumbling 現象由左到右不同時間位置圖[8]
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