第二章 文獻探討
2-1 自然模式的法則與定律
2-1-1 Golden Ratio & Fibonacci sequence 2-1-2 Voronoi Diagram
2-1-3 fractal geometry
2-2 參數式設計
2-2-1 參數式設計興起 2-2-2 參數式設計概述 2-2-3 數位建築設計案例
2-3 產品設計相關作品
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9 表 2-1 本研究整理歸納之自然模式
2-1-1 黃金比例與費布納西數列
(1) 黃金比例 Golden ratio
黃金比例很早就被發現並加以利用，公元前 300 年前後由歐幾里得（Euclid）
所撰寫的《幾何原本》中便已詳細記載了黃金分割的論述。黃金比例被認為具有 嚴格的比例性、藝術性、和諧性，蘊藏著豐富的美學價值，自古至今許多產品、
建築物或藝術品均普遍應用黃金比例，例如著名的希臘帕德嫩神廟（Partheno n） 即是依循黃金比例來建造其主要的結構。
圖 2-1 帕德嫩神廟（Parthenon）黃金比例結構示意圖
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黃金比例（Golden ratio, φ）是一種數學上的比例關係。其定義是將一條線 分割成兩段分別為 a 與 b，那麼總長度 a + b 與長度較長的 a 之比將會等於 a 與長度較短的 b 之比，亦可稱為黃金分割，透過數學式的運算即可得出黃金比 例為 1.618033…，應用時一般取 1.618 或 0.618。
圖 2-2 黃金比例 資料來源: www.wikipedia.org
黃金矩形（Golden rectangle）則是長和寬的比為黃金分割（φ）的矩形。
在黃金矩形中以短邊 a 為邊長劃一正方形，矩形剩下的部份也是一個較小的黃金 矩形，在這個較小的矩形中以同樣短邊再分割出一個正方形，所剩下的矩形也依 然是黃金矩形，理論上黃金矩形可以依此步驟無限的切割下去。接著，將重複分 割數次之黃金矩形中的正方形，以其各自的邊長為半徑，其中一角為圓心，在正 方形內劃出四分之一的圓弧，依照特定的方向與順序將所有正方以同樣的方式畫 弧，再將所有圓弧連結，即可得出一條由內向外逐漸擴張的螺旋線，亦稱為黃金 螺旋（Golden Spiral）。
圖 2-3 黃金分割與黃金螺旋 資料來源: etereaestudios.com
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黃金角（Golden angle）則是將黃金比例應用到 圓周所得到的幾何特性：把長度為ｃ的圓周長依黃金 比例分割成兩段，各部份長度為ａ和ｂ，即是符合ｃ：
ａ＝ａ：ｂ之比例關係，較小弧長ｂ所對應的圓心角 約為 137.51°，亦稱為黃金角。
黃金比例與黃金角度等模式早存在於大自然中，呈現於不少動物和植物外觀 裡，例如人體從肚臍至頭頂之距離和從肚臍至腳底的比例即趨近於黃金比；向日 葵即是自然界中經典的黃金比例案例，向日葵的種子依照黃金角與黃金螺旋由內 向外發散並緊密排列，這是能使種子排列最密實、最有效的排列方式1。
1 三種發散角的堆排配置： (a) 137.3° ；(b) 137.5° ；(b) 137.6° ；其中黃金角 (b) 為最 有效率的堆排。
圖 2-4 黃金角示意圖
圖 2-5 向日葵種子生長模式示意圖 資料來源: etereaestudios.com
圖 2-6 （Ian Stewart, 2000）
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(2) 費布納西數列 Fibonacci sequence
義大利數學家費布納西（Leonardo Pisano , Fibonacci）在他出版於 1202 年的《算盤全書》（Liber Abaci）中提出了一個兔子繁殖的問題：如果一對兔子 的正方形面積也隱含著此數列（圖 2-3）。克卜勒（Johannes Kepler）則發現數 列中前後兩項之比會逐漸接近於黃金比例（φ=1.618033…）：
1/1=1； 2/1=2； 3/2=1.5； 5/3=1.67； 8/5=1.6； 13/8=1.625；
21/13=1.615； 34/21=1.619； 55/34=1.618 …
圖 2-7 費布納西的兔子繁殖問題之樹狀圖 資料來源: www.landlearn.net.au
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再一次以向日葵為例子，在上段得知，當種子以黃金角與黃金螺線排列後能 達到最緊密的排列，如果我們進一步觀察，便能發現排列中的螺線，左旋之螺線 與右旋螺線的數目都是費布納西數列中相鄰的兩項，常見的向日葵的左旋數與右 旋數各為 21, 34 或 34, 55，更大的向日葵則有 89 和 144，甚至 144 和 233 的 排列數。黃金比例、黃金角與費布納西數列的存在並非意外或是偶然，這些數字 是普適的幾何原理的結果，是植物結構的晶體學2，植物沒有辦法避開費布納西 數，就像食鹽晶體不能不是立方體（Ian Stewart, 2000）。
2 晶體學，又稱結晶學，是一門以確定固體中原子（或離子）排列方式為目的的實驗科學。 「晶
體學」（crystallography）一詞原先僅指對各種晶體性質的研究如晶體的對稱性、晶體結構以及 晶體生長過程和晶體的物理性質等，隨著人們對物質在微觀尺度上認識的加深，其詞義所涉及的 領域也逐漸擴充。(Wikipedia)
圖 2-8 向日葵左、右旋螺線的數目 資料來源: momath.org
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2-1-2 范諾圖 Voronoi diagram
Voronoi Diagram 是一種依據距離來劃分區域的圖形，在 1908 年由俄國數 學家 Georgy Fedoseevich Voronoi 命名並把多維度的 Voronoi 區塊圖訂下明 確的數學定義。在一個平面上散布著數個點（site），這些點中任意兩個點皆以 其中垂線來劃分區域（region），即是 Voronoi 圖形；我們可以理解為，該平面 上任何一個位置，各自劃分至最近的點，這些點彼此之間的中垂線，可視為各個 區域的分界線，而 Voronoi Diagram 即是這些分界線組成的集合。
如圖 2-9 所示，由平面上任意數點之間彼此的中垂線所構成的即為 Voronoi diagram。它能將幾何空間上的所有點依據距離物件遠近關係作分隔，每個物件
（圖示中的點）能劃分得到一定區域，在區域內的任意點和該物件的距離皆比其 它物件要來得近（圖ｃ）。在 Voronoi 圖形中，如果將各點以直線連接所形成之 圖形（圖ａ）則形成三角網格剖分圖（Delaunay Triangulation）3，Voronoi 與 Delaunay Triangulation 彼此為對偶圖的關係（圖ｂ）。
圖 2-9 以任兩點之間的中垂線，建構 Voronoi 圖形 資料來源: etereaestudios.com
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3 三角網格剖分（Delaunay triangulation）
Delaunay triangulation 的定義為：平面上存在數點，
點與點之間連線（如圖 2-9 之 a），此平面圖形中的任一
條線的兩端點同時相交的圓內不存在圖形內的任何點。
作為演算法，在 3D 建模軟體中即被應用以產生實體模 型的 Surface mesh。
4 經濟地理學（Economic Geography）
經濟地理學是以人類經濟活動的地域系統為中心內容的一門學科，它是人文地理學的一門重要分 支學科，包括經濟活動的區位、空間組合類型和發展過程等內容。一般認為，經濟地理學具有階 級性、地域性和綜合性的特點。
圖 2-10 長頸鹿的斑紋(左) 與蜻蜓翅膀的 Voronoi 結構(右) 資料來源: etereaestudios.com
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2-1-3 碎形 Fractal geometry
「為什麼幾何學經常被認為生澀無趣？原因之一是它無法用來描述雲朵、山 脈、海岸線、或是樹木的形狀。雲朵並非球狀，山也不是圓錐形，海岸線不是圓 形，樹皮並非光滑的，而閃電也不是走直線。」這段話是 Benoit B. Mandelbrot 在他 1977 年所著作之 《自然的碎形幾何》 （The Fractal Geometry of Nature）
的開場白。他明確地描述了長久以來發展自歐幾里得的幾何學所面臨的問題：歐 氏幾何並無法描述自然界極不規則、錯綜複雜的現象。
Mandelbrot 提出的碎形幾何學即是用來解釋這些「非歐氏幾何結構」的型 態。「碎形」（Fractal）一詞源自於拉丁文 Fractus，原意為“破碎，不規則的碎 片”。碎形是極不規則的幾何形態，恰與歐氏幾何形態相反，並具有自我相似性、
3）碎形代表有限區域的無限結構：例如卡區的雪花曲線（von Koch curve）
是一條無限長，而結構不斷重複的線段，被限制在最初三角形的正圓區域內。
4）碎形隱含一種整體性：我們可以從某一尺度的碎形來推知同個碎形另一 尺度的大致樣子，小細節的傾向可以透露大細節的傾向，大細節的絲毫改變可以 令所有小細節全面改觀，再造成整個碎形圖形的變化。
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5）碎形是非線性動力過程的結果：大自然的外貌及結構是經由非線性動力 過程而產生的結果，我們能在非線性動力現象中發現碎形的蹤跡。比如說，在水 的流動或是在晶體成長的現象中發現碎形。
蕨類、雪花、樹枝等自然生物皆為碎形，碎形幾何學幫助我們了解自然界不 規則及非線性動力的秩序，因此在此概念提出之後，人們藉由碎形在許多以往被 認為是無法解釋的不規則形態中找出某種規則性。現階段，藝術、建築、電腦科 學等等多領域皆有所應用，碎形幾何的建立讓我們得以更加理解與描述許多自然 現象，讓大多數的型態皆能有系統的分析研究。
圖 2-12 卡區的雪花曲線（von Koch curve）
圖 2-13 自然界的碎形結構：羅馬花椰菜（左）、蕨類（右）
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2-2 參數式設計 2-2-1 參數式主義興起
Zaha Hadid 建築事務所的合夥建築師 Patrik Schumacher 於 2008 年的第 十一屆威尼斯建築雙年展中發表了《參數化主義的建築風格─參數化主義者的宣 言》（Parametricism as Style - Parametricist Manifesto），在其論述中認為後 現代主義（Postmodernism）和解構主義（Deconstructivism）是經歷長期發 展與創新的參數式主義（Parametricism）的過渡時期，隨著數位媒材的進步與 成熟，參數式主義已成為現代主義之後的一個全新建築風格，參數式設計概念儼 然成為都市和建築發展中的新趨勢。
建築的數位應用歷經了三個階段：前數位（predigital）、數位（digital）、
後數位（postdigital）。自 80 年代後期從非制式理性貝茲曲線（Non-Uniform Rational B-spline, NURBS）到參數式模型軟體（Parametric Modeling）的相 繼出現，一種以非線性與關聯化的幾何建構方法逐漸成為一些前衛建築師的設計 實驗媒介，電腦開始成為思考與呈現設計意念與施作方式的「媒體」（media），
Frank Gehry 將電腦輔助設計與製造（CAD/CAM）當作強大的設計與製作流程 工具，顛覆現代建築以降為主流的空間語彙與生產方式，Greg Lynn 引入法國哲 學家德勒茲（Gilles Deleuze）的皺褶（Folding）概念奠定其自由與動態形體 的理論基礎，開始進入數位建築時代，數位媒材成熟的應用到建築的構築技術，
為設計思考帶來了完全的解放，大部分的數位技術與數位過程也在建築實務中越 來越標準化。而進入後數位的時代中，3D 建模軟體如 Rhino 之外掛 Grasshopper 等工具的應用、衍生系統與演算法（generative system / algorithm）帶動參數 式設計的深度發展，參數式設計的應用範圍從建築、空間設計擴及到都市規劃，
知名設計師如伊東豐雄、Zaha Hadid 的作品也在近年來陸續問世，建築的數位 構築正逐漸走向普及化。（劉育東, 2009、邱浩修, 2010）
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2-2-2 參數式設計概述
參數式設計（Parametric Design）是以定義參數規則與關連過程作為設計
參數式設計（Parametric Design）是以定義參數規則與關連過程作為設計