新型貪婪式演算法

在前一章節中我們探討了一些現有 FIR 設計技術中存在的一些缺

點，都是與效能改進方面有所關聯，尤其是在群組的部份浮現出了諸多可以改善的空間。在本章節先提出有效結合 BSD 與 CSD 的混合式(Mix) 表示法，再為 FIR 設計之 MCM 化簡提出新型貪婪演算法，也分別闡述無償反覆式HCSE、有益 HCSE 簡化和最佳解尋找等演算法重點，最後呈現該演算法在不同係數表示法、不同Taps、不同字組長度下的化簡數據，

以申明該演算法的化簡效益。

3-1 新型貪婪式演算法流程

數位FIR 濾波器的設計重點，主要是如何使用最少的位元加法器實現其多重係數乘法器（Multiple Coefficient Multipliers）。

圖 3-1 新型貪婪演算法流程圖

如圖 3-1 所示，本文提出一種新型貪婪式演算法，首先將濾波器的係數乘積項分別表示成BSD、CSD 以及混合式(Mixed Mode)等表示式，然後分別進行第一階段無償反覆式HCSE 化簡，以找出最大可能之化簡。

隨之，進行第二階段有益的(Effective) HCSE 化簡，再進一步找出共用項，

最後階段是從這三種表示法中找出最佳解。

無償反覆式化簡演算法如下：

圖 3-2 無償反覆式 HCSE 化簡演算法

如圖 3-2 中的演算法所示，無償反覆式化簡演過程中，首先在係數表示法的二維陣列中進行無償群組的搜尋，並將群組記錄至列表中，同時標記旗標(fg)來記錄有無搜尋到群組。搜尋完畢後計算列表中各群組的 SG(Selected Gain)值，然後將 SG 值最高的群組作為該次搜尋到的群組，

保留該群組並取代至原陣列中，然後再次進行搜尋直到無群組為止，也就是根據旗標(fg)來決定無償群組搜尋的結束。本文定義選取效益 SG 作為選用群組的準則依據。無償反覆式演算法的時間複雜度可以用下列式 3-1 來表示：

 ² ² ^ ¹ 

 n n

O

_{無償反覆式} 式 3-1 如圖 3-3 的演算法所示，在有益 HCSE 化簡過程中，首先在係數表示法的二維陣列中進行有益HCSE 群組的搜尋。本文定義了一個有益群組

判別值，計算該群組的化簡效益，藉由計算有益群組判別值以區分有益

各的優勢。雖然BSD 在表示式中的非零項無法比 CSD 少的多，但在後續的群組化簡中有時BSD 確實有較多的群組項可尋找出並化簡，因此這兩者之優點可以藉由選擇性結合的方式來達到更有效的化簡效果。因此本文提出一種簡易的選擇法來結合BSD 與 CSD 而成為一種新型的混合式(Mix)表示法。

圖 3-4 位元密集度

本文對不同係數表示法中的每個表示式皆計算其位元密集度。如圖 3-4所示，從左起的最高位元(MSB)找尋第一個非零項做為基準點，並往下尋找下一個非零項，在兩個非零項之間的間距不可超過定值(本文將該定值定為3)，並計算有效深度作為位元密集度。由於圖3-1中的第3個間距達到4 (超過3)，所以僅僅記算前面的兩次搜尋，故此例中的位元密集度為2。本文對每個係數皆運算出BSD和CSD表示式，並且分別計算其位元密集度，把位元密集度較高的表示式作為該係數的表示式，藉此求得一合成的Mix表示式。採用與2-2節相同規格之SRRC濾波器，運算出Mix表示法結果如圖3-5所示：

圖3-5 SRRC之Mix係數表示法

3-3 無償反覆式 HCSE 化簡

本文所用之化簡法為水平共同項簡化法 (Horizontal Common Subexpression Elimination，HCSE)。如同前一章節中對圖2-7所描述，在 coefficient為21、22的係數中，在>>{3、5、7、9}具有相同的群組，將較接近MSB之S21_>>3+S22_>>3作為基本的群組G，而在>>{5、7、9}處可以用移位的方式也就是G_>>{2、4^、6}來取代，減少了{S21_>>5+S22_>>5} 、

{S21_>>5+S22_>>5}和{S21_>>5+S22_>>5}所需使用的加法器，此為本文所用之

HCSE的化簡方式。

圖3-6 無償HCSE與HCSE[9-10]之化簡方法比較

以圖3-6的coef15和coef17為例，橢圓型紅框的部份是HCSE演算法 [9-10]所尋得的群組組合、方型藍框是本文所用之無償HCSE。可從圖中

明顯看出，由於HCSE演算法是採用群組模組{10-1_CSD}、{1001_CSD}等等的模組比對來尋找群組，故其Y=S15×coef15+ S17×coef17的例子中，僅僅只找尋到{-S15>>11, S15>>13}、{-S17>>11, S17>>13}以及{S17>>4, -S17>>6}的 {-101_CSD}組合，因而有G=S15_>>11+S17_>>4+S17_>>11(共使用兩組16位元加法器)及Y=G+G_>>2+S15_>>6 (再使用兩組16位元加法器)，一共使用四組16位元加法器的化簡結果；然而本文所提出之演算法會先以G=S15>>6+S17>>6(共使用一組14位元加法器)做為群組G，然後不再經由加法器(移位的方式) 無償求得-(G_>>5)、G_>>7，便可得到Y=G-G_>>5+G_>>7+ S17_>>4(再使用16位元、

14位元、9位元各一組加法器)，一共使用四組共53位元加法器來將 Y=S15×coef15+ S17×coef17進行化簡，不但有效利用無償群組的本身優勢，且比Vinod [9-10]等人的HCSE化簡的多(就本例而言，可以再減少17%

位元加法器)。也不會因為VCSE中係數延遲所增加的暫存器而抵銷減免，這就是我們所謂的無償HCSE。

圖3-7 無償反覆式群組

前面已簡單的闡述無償與有償的差異，本文在化簡之前會將無償與有償的群組區分出來，使無償群組可以善用其本身的化簡效益。然而，我們在此階段中卻發現到許多群組都具有”再群組”的可能性，故將已化簡之群組更進一步的對其他群組進行配成對，再行化簡的動作，這是目前所有文獻研究中尚未看到的做法。如圖3-7(a)，圖中的方型藍框是新型貪婪演算法所用之群組法，可找到{S15>>6+S17>>6}、{S15>>11+S17>>11}和

{S15_>>13+S17_>>13}等群組，並且G1={S15_>>6+S17_>>6}，分別以G1、G1_>>5、

G1_>>7等群組來表示，將所在位置偏較低位元的G1_>>5和G1_>>7等群組都一一

替代群組代號G1作為新的非零項，其結果如圖3-7(b)。但從圖3-7(b)中 coef15、coef17與coef20的_>>6行與_>>11行，有{S15_>>6+S17_>>6+S20_>>6 }與 {-S15_>>11-S17_>>11-S20_>>11 }類似的組合存在，也就是{G1+S20_>>6}與

{G1>>5+S20>>11}的組合。因此若有G2=G1+S20>>6，G2>>5就等於G1>>5+

S20_>>11。圖3-4(c)便是化簡後的結果，從圖中可看到{coef15、coef17、coef20}

在_>>11的運算，可經由{coef15、coef17、coef20}在_>>6的運算結果直接移位

取得，完全節省了此三個coefficient在>>11的加法器個數。同理coef{15、17}

在_>>13的加法器，也是可以省略的。本文藉由此方法將可群組的項目經由

反覆的搜尋與替代，一再地進行群組來節省加法器個數，此方法所謂的無償反覆式HCSE化簡。

圖3-8 另一個無償反覆式HCSE化簡範例

將無償的群組經由反覆搜尋和簡化後，整個MCM表示式就可以有很大效益地化簡。以圖3-8為例，可以分別得到G1=S21_>>3+ S22_>>3、

G2=S19>>11+S20>>11和G3=-S21>>3- S22>>3+ S19>>3(=-G1+ S19>>3)三個群組，並分別將較低位元的群組一一取代後，其結果為圖3-8(b)。本文訂定了一個化簡增益(Select Gain，SG)值做為群組選用的化簡準則。當我們發現到某個非零位元可以跟另一非零位元形成群組時，就需去計算該群組所能化簡的量。以圖3-5的G1為例，在_>>{5^、₇^、_9}的位置可經由_>>3來獲得，

而假設該濾波器的字組(word)長度為16 bits，則在_>>5的SG值便為 16-5=11，而得到11 bits的化簡效益，故在G1的例子中便可算出其

3-4 有益的(Effective)HCSE 簡化

圖3-9 有益與過償HCSE化簡

在前面的章節中已將coef21、coef22的G1群組以無償的群組演算來取得，然而我們可以在觀察圖3-9中，可以發現：

{-S24>>9-S24>>11}+ {S23>>12+S23>>14}

= -G4 + SB(2)G4>>2 其中G4={-S24_>>9+SB(3)S23_>>12} 式3-4

這種化簡現象如圖3-9所示(n=3)，加法器組由4組減為三組，位元加法器使用也由7+7+4+4 減少為7+7+7，獲益1(4-n)個位元加法器，這就是稱之為有益HCSE化簡。但另外也可以發現：

{S24_>>5+S24_>>7}+ {S23_>>12+S23_>>14}

= -G4 + SB(2)G4>>2 其中G4={-S24_>>5+SB(7)S23_>>12} 式3-5 這種化簡現象就如圖3-9所示(n=7)，加法器組由4組減為三組，但位元加法器使用卻由11+11+4+4 增加為11+11+11 ，獲益-3(4-n)個位元加法器，這就是過償HCSE化簡。其中，位元加法器為了不影響最後加總結果，

{Sa_>>S1+Sa>>(S1+x)}+ {Sb_>>S2+Sb>>(S2+x)}

=G+SB(x)G>>x 其中G={Sa>>S1+SB(n)Sb>>S2} 式3-6

原式 O=(W-S₁)+(W-S₁)+(W-S₂)+(W-S₂)=(W-S₁)×2+(W-S₂) 2 化簡式 S=(W-S₁)+ (W-S₁)+ (W-S₁)=(W-S₁)×3

若O>S則為有效化簡，反之O≤S為過償化簡，所以：

 (O-S)>0

 ((W-S₁)×2+(W-S₂)×2-(W-S₁) ×3)>0

 (W-2S₂+S₁)>0 式3-7 因此在有效益的群組化簡過程中，我們在找到群組配對後，將群組配對套用3-6式所用之架構，若計算出來符合3-7式則該群組為有效益群組並化簡，反之此群組配對則為過償群組，將保持現狀而不將其群組化簡。

圖3-10 本文所提出的HCSE化簡圖說

圖3-10是本文提出的HCSE化簡圖說，配合圖3-9中有益HCSE群組做說明。圖3-10左邊是原本{-S24>>9-S24>>11}+{S23>>12+S23>>14}的加總，我們把它改成{-S24_>>9+S23>>(9+3)}+{ -S24_>>11 +S23>>(11+3)}的方式來表示，並將{-S24>>9+ SB(3)S23>>(9+3)}作為群組項G，若用圖3-10左邊的方式做一般的加總將會需要3個加法器組，倘若採用圖3-10右邊的形式則可變成

G={-S24_>>9+ SB(3)S23>>(9+3)}、SUM=G+G_>>2，可輕易減少1個加法器組的具有{1001_CSD}和{10-1_CSD}兩個群組模組，所以對[10]等人的CSE演算法來說會有群組選用的問題，然而CSE群組的搜尋是屬於地毯式的搜索，在群

3-6 SRRC 設計實例

本節中將以SRRC 濾波器為範例完整示範整個化簡的過程。這個 SRRC 濾波器規格為49 Taps、20bits (Integer 為 5Bits、Float 為 15Bits)字組長度，

函數參數採用2-2 章節中所示之規格。我們從圖 2-4、圖 2-5 及圖 3-2 所

>>5: -S16,-S17, S18, S19,-S21,-S22,-S23, S24

>>6: -S12, S14, S15,-S17, S20

>>7: S6,-S8, S10, S14, S19,-S21,-S22

>>8: S2,-S3,-S4,-S16, S24

>>9: S1,-S4, S5, S12,-S13,-S18, S20,-S22

>>10: S1,-S9, S10, S11,-S13,-S19, S20,-S21, S24

>>11: -S2, S3,-S8,-S15, S16, S18,-S21, S24

>>12: S1,S4,S5,-S6,-S9,S10,S11,S12,S14,-S16,-S17,S18,S19,S20,S23

>>13: S2, S14, S15,-S17, S19, S20,-S22, S24

>>14: S1, S3,-S4, S5,-S7,-S9,-S13, S18, S21, S23

>>5: -S16,-S17,S18,S19,-S21,-S22,-S23,S24 (20-5) ×8+1 121

>>6: -S12,S14,S15,-S17,S20 (20-6) ×5+2 72

>>7: S6,-S8,S10,S14,S19,-S21,-S22 (20-7) ×7+1 92

>>8: S2,-S3,-S4,S16,S24 (20-8) ×5+8 68

>>9: S1,-S4,S5,S12,-S13,-S18,S20,-S22 (20-9) ×8+1 89

>>10: S1,-S9,S10,S11,-S13,-S19,S20,-S21,S24 (20-10) ×9+2 92

>>11: -S2,S3,-S8,-S15,S16,S18,-S21,S24 (20-11) ×8+1 73

>>12: S1,S4,S5,-S6,-S9,S10,S11,S12,S14,-S16,-S 17,S18,S19,S20,S23

(20-12)

×15+4

124

>>13: S2, S14, S15,-S17, S19, S20,-S22, S24 (20-13) ×8+1 57

>>14: S1, S3,-S4, S5,-S7,-S9,-S13, S18, S21, S23 (20-14)×10+2 62

>>15: -S4,-S7,S8,-S9,-S11,-S13,S16,S20,-S22 (20-15)×9+1 46

總位元加法器數 1029

>>1: S24

>>7: S6,-S8,S19,G1_>>4,G9

>>8: -S4, G4_>>3,G6

>>9: -S18,G11, G15

>>10: S10,-S13,-S19,G2_>>1,G7,G12

>>11: -S8,-S15, S16, S18,-G6_>>3, G7_>>1

>>12: S4,-S6,-S16, S23, G8_>>7, G9_>>5, G11_>>3, G12_>>2

>>13: S2,-S22, S24,G3_>>8,G14_>>7

>>14: S1,S3,S5,S18,S21,S23,G5_>>5,G16

>>15: S8, -S11,S16, S20, G15>>6,G16>>1 式 3-9

EG1

S24_>>1+S23_>>2 19 20-2*2+1=17

EG2

S19_>>4+G4 (15)+16=31 20-2*5+4=14

EG3

G8+G14 (30+28)+15=73 20-2*6+5=11

EG4

S6_>>7-S18_>>9 13 20-2*9+7=9

EG5

EG2+G11 (31+33)+16=80 20-2*9+4=6

EG6

-S4_>>8-S8_>>11 12 20-2*11+8=6

EG7

G1_>>2+G12 (10)+15=25 20-2*10+5=5

EG8

G6-S16_>>12 (12)+12=24 20-2*12+8=4

EG9

G7+G16 (10+6)+10=26 20-2*14+10=2

總量 303 74

>>4: EG5 80+(20-4)×1+4 100

>>5: -S23, EG3, EG7 73+25+(20-5)

×3+1

144

>>6: -S12, -S17 (20-6) ×2+2 30

>>7: -S8, G9,EG4, EG5_>>3, EG7_>>2 13+13+(20-7)

×5+1

>>8: EG6, EG8 12+24+(20-8) 68

×2+8

>>9: G15 22+(20-9) ×1+1 34

>>10: S10, -S13, -S19, G2_>>1, EG9 26+(20-10) ×5+2 78

>>11: -S15, S16, S18,-EG8_>>3, EG9_>>1 (20-11) ×5+1 46

>>12: S23,G9>>5,EG3>>7,-EG4>>5,-EG6>>4 (20-12) ×5+4 44

>>13: S2, -S22, G3>>8, EG1>>12 (20-13) ×4+1 29

>>14: S1,S3, S5, S21, G5_>>5 (20-14)×5+2 32

>>15: -S11, S20, G15_>>6 (20-15)×3+1 16

>>2:S23,-S24

>>3: S19,-S21,-S22 (20-3) ×3+1 52

>>4: -S17 (20-4) ×1+4 20

>>5: S14,-S16,S18,-S19,-S21,-S22,-S23,S24 (20-5) ×8+1 121

>>6: -S12,S15,S17,S20 (20-6) ×4+2 58

>>7: -S4,S6,-S8,S10,-S14,S19,-S21,-S22,S24 (20-7) ×9+1 118

>>8: S1,S2,-S3,-S13,-S16,S20 (20-8) ×6+8 80

>>9: S4,S5,-S9,S12,-S21,-S22,-S24 (20-9) ×7+1 78

>>10: -S1,S10,S11,S13,-S18 (20-10) ×5+2 52

>>11: -S2,S3,-S8,S9,S14,-S15,-S17,-S19,-S20,S21,-S24

(20-11) ×11+1 100

>>12: S1,S5,-S6,S10,S11,S12,S16,-S18,S23 (20-12) ×9+4 76

>>13: S2,S4,-S7,S9,-S13,-S14,S15,S17,-S19,-S20,-S 22,S24

(20-13) ×12+1 85

>>14: S1,S3,S5,S18,S21,S23 (20-14)×6+2 38

>>15: S4,S7,S8,S9,-S11,S13,S16,S20,-S22 (20-15)×9+1 46

總位元加法器數 1002

G2

(S14_>>5-S19_>>5) 15 22

>>5: G1_>>2,G2,-G4_>>3,G9

>>6: -S12,G7

>>7: S6,-S8,S10,G1_>>4,-G2_>>2,G5

>>8: -S16,-S20,G6,G8

>>9: -S9, G1_>>6,-G5_>>2, G10

>>10: -S18,-G6_>>2,G11

>>11: -S8,S9,S21,-S24,G2_>>6,-G7_>>5,-G8_>>3

>>12: -S6,-G9>>7,G10>>3,G11>>2,G12

>>13:S2,-S14,-S19,S24,G3_>>7,G15,G16

>>14:S3,S5,S18,S21,G12_>>2

EG2

G7+S6_>>7 (28)+14=42 20-2*7+6=12

EG3

G9-S16_>>8 (15)+15=30 20-2*8+5=9

EG4

-S18_>>10-S8_>>11 10 20-2*11+10=8

EG5

G10+S21_>>11 (11)+11=22 20-2*11+9=7

EG6

G12+G16 (8+14)+8=30 20-2*13+12=6

EG7

G5+G6 (13+12)+13=38 20-2*8+7=11

EG8

G4+G8 (18+12)+18=48 20-2*8+2=6

EG9

-S9_>>9+G15 (14)+11=25 20-2*13+9=3

EG10

EG7-S24_>>11 (38)+13=51 20-2*11+7=5

EG11

G1_>>2+EG6 (30)+15=45 20-2*12+5=1

EG12

EG11+G11 (45+10)+15=70 20-2*10+5=5

總量 460 86

在取得表3-7 有效益群組的同時將有效益群組項取代原本的式 3-11

在文檔中自動化FIR濾波器晶片設計 (頁 37-73)