第三章 不完全條件模型之相容性檢驗
3.1. 方法的起源
過去，在探討吉氏取樣（Gibbs sampling，以下簡寫為 GS）的文獻中，多半 都與如何改善收斂速度有關。近年，van Dyk and Park (2008)與 Park and van Dyk (2009)發現將條件模型中部分完全條件 pdf 置換成不完全條件 pdf 時，有助於改 善 GS 的收斂速度。
舉例來說，傳統的 GS 使用𝑀1 = {𝑓{1}|{2,3,4}, 𝑓{2}|{1,3,4}, 𝑓{3}|{1,2,4}, 𝑓{4}|{1,2,3}}透過 疊代的方式獲取近似𝑓{1,2,3,4}的樣本點，若𝑓{2}|{1,3}與𝑓{3}|{1,2}可被計算出且可進行 取樣時，van Dyk and Park (2008)證明𝑀2 = {𝑓{1}|{2,3,4}, 𝑓{2}|{1,3}, 𝑓{3}|{1,2}, 𝑓{4}|{1,2,3}} 亦可進行 GS，van Dyk and Park (2008)稱此取樣方法為 PCGS（partially collapsed Gibbs sampler）。值得注意的一點是，使用𝑀1時無須顧慮取樣順序，但使用𝑀2時，
則取樣順序卻關乎樣本點是否來自𝑓{1,2,3,4}。稍後我們舉一實例進行說明，說明之 前，我們得先了解 PCGS 是如何進行取樣。
van Dyk and Park (2008)提到取樣順序𝑥2 → 𝑥3 → 𝑥4 → 𝑥1對於𝑀2是合適的，
其疊代過程如下：令(𝑥1(0), 𝑥2(0), 𝑥3(0), 𝑥4(0))是任一初始向量，在第𝑡次疊代時，
𝑥2(𝑡)~𝑓{2}|{1,3}(𝑥2|𝑥1(𝑡−1), 𝑥3(𝑡−1)) 𝑥3(𝑡)~𝑓{3}|{1,2}(𝑥3|𝑥1(𝑡−1), 𝑥2(𝑡)) 𝑥4(𝑡)~𝑓{4}|{1,2,3}(𝑥4|𝑥1(𝑡−1), 𝑥2(𝑡), 𝑥3(𝑡))
𝑥1(𝑡)~𝑓{1}|{2,3,4}(𝑥1|𝑥2(𝑡), 𝑥3(𝑡), 𝑥4(𝑡))
5
6
由例 1 可知，有四種取樣順序能進行 PCGS 以獲得目標聯合 pdf 的樣本點，
除 了 van Dyk and Park (2008) 所 提 到 的 取 樣 順 序𝑥2 → 𝑥3 → 𝑥4 → 𝑥1， 還 有 𝑥1 → 𝑥2 → 𝑥3 → 𝑥4、𝑥1 → 𝑥3 → 𝑥2 → 𝑥4、𝑥3 → 𝑥2 → 𝑥4 → 𝑥1，我們可以知道 PCGS 雖然比傳統的 GS 在條件 pdf 的選擇上更富彈性，但先決條件是必須知道哪一個 取樣順序所對應的平穩 pdf 是目標聯合 pdf，因此我們需要有一個理論的方法來 選取適當的取樣順序。
此外，我們也發現並非任何條件 pdf 的組合都可以進行 PCGS，簡例如下：
例2. 設目標聯合 pdf 為
(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) (0,0,0) (1,0,0) (0,1,0) (1,1,0) (0,0,1) (1,0,1) (0,1,1) (1,1,1)
𝑓{1,2,3} 0.05 0.15 0.2 0.1 0.15 0.15 0.15 0.05
考慮一條件模型{𝑓{1}|{2,3}, 𝑓{2}|{1,3}, 𝑓{3}}，由於有 3 個變數，因此共有3! = 6種取樣 順序，每一取樣順序所對應的平穩 pdf 之理論解如下表。
取樣順序 (0,0,0) (1,0,0) (0,1,0) (1,1,0) (0,0,1) (1,0,1) (0,1,1) (1,1,1) 𝑥1 → 𝑥2 → 𝑥3 0.055 0.134 0.221 0.089 0.138 0.168 0.138 0.056 𝑥1 → 𝑥3 → 𝑥2 0.101 0.152 0.169 0.078 0.101 0.152 0.169 0.078 𝑥2 → 𝑥1 → 𝑥3 0.100 0.148 0.176 0.076 0.100 0.148 0.176 0.076 𝑥2 → 𝑥3 → 𝑥1 0.063 0.190 0.165 0.082 0.127 0.127 0.185 0.062 𝑥3 → 𝑥1 → 𝑥2 0.046 0.163 0.182 0.109 0.156 0.141 0.156 0.047 𝑥3 → 𝑥2 → 𝑥1 0.047 0.142 0.207 0.104 0.153 0.153 0.146 0.049
由例 2 可知，沒有一個取樣順序能進行 PCGS 以獲得目標聯合 pdf 的樣本點。綜 合例 1 與例 2 的說明，我們必須有一個定理來幫助我們查核給定的條件 pdf 是否 能進行 PCGS，同時該定理也需提供適當取樣順序的資訊，我們將在 3.2 節中賦 予這個定理。
讀者是否已經察覺本研究的問題與 PCGS 的關聯性呢？當給定一不完全條 件模型{𝑔{𝑖}|𝐶𝑖: 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑑}時，我們可以先使用 3.2 節的定理 3 檢查此條件模型是
7
否能進行 PCGS，若能，則透過適當的取樣順序，我們必能得到一聯合 pdf 𝑓{1,…,𝑑}
的訊息。接著，若{𝑔{𝑖}|𝐶𝑖: 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑑}是相容的，則必須有𝑓{𝑖}|𝐶𝑖 = 𝑔{𝑖}|𝐶𝑖，這就是 本研究的核心思維。然而，我們僅能在離散型的情況下獲得𝑓{1,…,𝑑}的封閉解，在 連續型的情形下，通常無法直接求得𝑓{1,…,𝑑}，幸好我們可以透過 PCGS 取得𝑓{1,…,𝑑}
的樣本點，雖然樣本點可以無止盡地取得，也可利用一些方法建立經驗 pdf
（empirical pdf），但在實務操作上，要檢查𝑓{𝑖}|𝐶𝑖 = 𝑔{𝑖}|𝐶𝑖也並非易事，因此我們 需要一個理論的方法幫助我們檢定這些樣本點可以符合任一個𝑔{𝑖}|𝐶𝑖。就我們所 知，沒有任何文獻提供檢定的方法，文獻中多半的方法是討論檢定樣本點是否來 自某一聯合 pdf，而沒有記載方法可以檢定樣本點是否吻合某一條件 pdf，因此 我們將在 3.3 節提出檢定的理論。