最佳化方法為找出問題最好的解決方法。此法已被廣泛運用在解決工 程、生物科技、商業和管理等領域的最佳化問題上，例如在工程上，考量 產品尺寸選用材料組合、成本、強度等因素；在商業和管理上，有關排班 表、投資組合、人員與物流管理等，都是最佳化的問題。另外，在有些領 域上的問題是沒有解析解的，或是問題同時有太多的考量因素與條件時，
都可以將這些棘手的問題轉換變成數學模式的最佳化問題，再藉由電腦的 計算和模擬，而獲得解答，文章將簡明地敘述這個方法及最佳化演算法的 基本概念。
傳統有關求解最佳化模型的數值方法，可以沒有限制條件和有限制條 件來區分。首先考慮「沒有限制條件」：（一）單變數函數最小值搜尋，這 是多變數目標函數最小值演算法的基礎，而其方法有解析解方法求函數一 次微分為零的解；若一次微分很難求得、不存在或不連續時，應用數值迭 代方式直接求解的零次方法，如二分法的「費邦那西搜尋」（Fibonacci Search）、「黃金分割搜尋」（Golden Section Search）和割線法（Secant Method）；或使用二次方法的多項式近似法之「牛頓法」等。（二）多變數 函數最小值搜尋，其方法有「零次方法」的隨機搜尋法、前面提到的「費 邦那西搜尋」、「黃金分割搜尋」；或使用一次、二次之直線搜尋（Line Search）
法，如「準牛頓法」（Qusi-Netwoon Method）、「牛頓法」（Netwoon Method）。
接下來則是考慮「有限制條件」：（一）單變數函數最小值搜尋，其方法有 直接搜尋法（多項式近似法、費邦那西搜尋法與黃金分割搜尋法）；或懲罰 函數（Penalty Function）法配合循序無限制（Sequential Unconstrained ）條 件最小化技巧，將問題轉換為無限制條件最佳化問題。（二）多變數函數最 小值搜尋，其方法有「直接搜尋法」的可行方向法、梯度投影法；應用「懲 罰函數法配合循序無限制條件最小化技巧」將原先的有限制條件的非線性 問題，轉換成一系列的無限制條件最佳化問題；線性規劃法（Linear
Programing，LP）；或是循序線性規劃法（Sequential Linear Programing，SLP）
與循序非線性規劃法（SNLP）等。
5-1 最佳化設計
在工程設計上，整個設計的流程包含了迴圈形式的迭代過程。設計者 經由不斷地深入了解問題，思考解決方法、而產生了各種新的方案，再藉 由不斷的試驗評估其可行性，最後在有限的時間和資源條件限制下，找出 一個最好的解決方案，而這其實就正是最佳化設計的流程。最佳化設計乃 是尋找一組變數 x，而x∈ ⊂X Rn，使得在受某些限制條件下或在不受限 制條件的系統模式（目標函數）F(x) 能夠達到最佳性能（目標函數之最大 值或最小值）。最佳化設計的程序，是先經由有系統的整理相關領域知識 後，再將實際問題建立成正確的最佳化數學模型，再以數值方法求解最佳
的解，數值方法概以沿著搜尋軌跡做反覆迭代來改變設計變數的值以達到 目標函數之最佳解。而最佳化設計其數學標準形式描述如下：
Minimize F(x)=F(x1,x2,...xn) s.t. hj(x1,x2,...xn)=0 ; j =1,2,",p
gk( , ,... ) 0 ;x x1 2 xn ≤ k =1,2, ," m (5.1) xil ≤ xi ≤ xiu ; i=1,2,",n
其中n、 p 和 m分別為設計變數、等式限制條件及不等式限制條件之數目，
和 則為設計變數之合理上、下限制容許值（Lower Bound and Upper Bound）。
xil xiu
而本文研究之揚聲板加勁條大小的設計，牽涉到相當多的變數，且目 標函數為非線性，都增加了收斂的困難及不可靠度。因此，文中將應用廣 義拉格蘭吉乘子法（Augmented Lagrange Multiplier Method）將原始受限制 條件問題先轉變成無限制條件的問題，再配合隨機起始點的方法所發展的 演算法進行最佳化設計。此演算法是基於運動質點在保守力場中能量守恆 觀點，在無限制條件下的目標函數F(x)（即位能值），應用起始點搜尋最小 位能（如圖5.1）。
5-2 區域極小化程序
由隨機起始點之方式，找出初始值 x，而x∈ ⊂X Rn，使用搜尋軌跡
方式是基於單位質量的質點在 n 維保守力場中的運動方程式及初始條件 而來，如下所示：
x t( )= −∇F x t( ( )) (0) 0
x =x ； (0) 0x = (5.2) 然後以能量守恆的觀念來計算出目標函數值，其中 為質點位能，
也是計算中的目標函數（如圖5-1 所示），
( ( )) F x t
x、x分別表示質點在 n 維空間 上的速度與加速度。
將（5.2）式乘以 ( )x t ，可以得到 1 2
( ) ( ( )) ( ) 2
d T
x t F x t
dt
⎛ ⎞ = −∇
⎜ ⎟
⎝ ⎠ x t (5.3)
再將（5.3）式對時間 t 做積分，範圍從 0 到 t，便可得到能量守恆關係式。
如下列式子所示：
1 2 1 2 0 ( ) ( ( )) (0) ( (0)) ( )
2 x t +F x t =2 x +F x =F x (5.4) 下列以三個條件來判別質點行進方向或停止搜尋：
(1) 當條件式 −∇F xT >0 成立時：
當質點的加速度與速度分量乘積合為正時，可視為加速度與速度是 同方向，表示質點將沿著搜尋軌跡下降最快的方向移動。此時位能減少，
則動能持續增加，而目標函數值將會降低，質點行進方向以迭代法來改變，
所以 x 值經過 k 次迭代後的改變值如下：
xk+1 = xk + Δx t k
xk+1 = xk − ∇F x( k 1+ )Δt (5.5) 其中；x0，x0 及時間步階Δt皆已給定。所以由上式亦可滿足近似之能量 守恆關係：
2 2 2
1 1 1
1 1 1
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
1( ) ( ) 2
k k k k k
T
k k
x F x x F x F x 2 t
x H x x
+ + + = + + ∇ +
− Δ Δ
Δ
(5.6)
其中；H(~x) 為黑森矩陣（Hessian Matrix）。
x=xk+1 − Δx rk (0≤ ≤r 1) (5.7) (2) 若條件式 −∇F xT<0 成立時：
表示質點的加速度與速度是反方向，此時表示質點位能增加，則動能 減少，所以質點軌跡移動的方向應往相反方向搜尋。
(3) 臨界點的判斷：
若以 當做在此搜尋軌跡中所找到的最低位能，且目標函數滿足下 列兩個條件之一時，就得終止搜尋軌跡，並將此軌跡當做區域最小值的變 數值。其目標函數滿足的兩個條件之一如下：
Ft
( ( )) t ( ( )0 t) F x t −F >α F x −F
2
1 0
1 (1 )( ( ) ) 2 k
T = x + < −α F x −Ft (5.8) 其中α 為給定之參數值，而在本文中 α 值為 0.95。
5-3 廣義拉格蘭吉乘子方法
廣義拉格蘭吉乘子法（Augmented Lagrange Multiplier Method）（簡稱 A. L. M.）主要的目的是要將原始問題中的等式及不等式的限制條件先加上 放鬆變數，再與等式限制條件，各別乘上一個拉格蘭吉乘子，加入原始的 目標函數中，如此原始具限制條件的目標函數 F(x)，將變成無限制條件的 新目標函數ψ
(
x,μ,η,γp)
。本文研究將其運用在揚聲板加勁條的設計。第六章
揚聲板加勁之最佳設計揚聲器在第一個自然頻率 之後，因為振動板的振動模態變形，造成 振動板推動的空氣有正有負互相抵消，使得聲壓會有某一段突然下降，稱 之為中音谷。傳統對振動板的加勁方式是在整面巴沙木板上下各加一片碳 纖板，但是由於加勁的面積造成質量增加太大，進而影響整個揚聲器的效 率。故本文採用部份加勁的方法，先利用ANSYS 模擬分析軟體，找出音谷 落差較大的模態，在模態變型較大的位置上，加上玻纖加勁條，以抑制揚 聲板的變形，本章即要探討揚聲器加勁的最佳設計，使得揚聲器有平滑的 聲壓曲線及高感度的表現。
f0
6-1 彈性支承對聲壓曲線影響
本節討論不同彈性支承對聲壓曲線的影響。本文先嘗試以複合材料來 製作彈性支承，使用玻璃纖維預浸材料，配合在纖維上下兩面加上 PC 薄 膜，再依所需的形狀製作模具壓製成型，將其裁成 22mm 寬度的大小，並 組裝在揚聲器上，如圖(4-9)所示。此做法雖然可以降低系統 Fo，但是由於 在製作過程中，可能因為玻璃纖維的纖維方向在壓製或是裁切的過程中，
造成纖維方向的不等向，使得揚聲器在受較大瓦數的情況下，會有受力不 均勻的問題，造成揚聲器在作動時會有不穩定的聲音產生。為了改善此種 不穩定的情況，本文改製作出一 L 型的碳纖維彈性支承，如圖(6-1)所示，
將其裁切成 20mm 寬度的大小並黏貼於揚聲板後，在利用泡棉條連結黏貼 於外框上，如圖(6-2)所示為一實品揚聲器圖。此種做法不會有前述所提的 不等向性問題，使得揚聲器在較大瓦數下，仍然穩定的作動。
本文接著將此兩種不同彈性支承的揚聲器，使用同樣的碳纖三明治板 做聲壓曲線的測量，所得聲壓曲線如圖(6-3)所示，由圖中可以發現使用不
同的彈性支承，在聲壓曲線上並沒有太大的變化。故本文所既定尺寸的揚 聲板，在改用不同彈性支承情況下，對聲壓曲線並不會有太大的影響。故 本文改善的重點在於揚聲板的加勁，利用最佳化程式求出最佳的加勁條長 寬大小，以改善揚聲板在作動時所造成不良模態對聲壓曲線的影響。
6-2 加勁條之最佳化設計
揚聲器之所以能夠發出聲音是由於激振器產生不同頻率之推力帶動揚 聲板產生振動，透過揚聲板之運動而擠壓空氣產生聲音，一般而言，平板 結構剛性愈弱則由變形所產生的位移量將高於剛體運動所產生的位移量愈 多，因而振動板之變形對於振幅的影響也愈顯著，若振動板在正、負方向 均有產生變形時，因為兩個方向之變形位移所產生的聲壓在振動板附近將 有互相抵銷的現象，所以實際傳遞出去之聲壓也將比只產生單一方向變形 的情況還低。
本文針對既定尺寸76.4×26.4mm 之揚聲板，先利用 ANSYS 有限元素分 析軟體，驗證純巴沙木做成之揚聲器的聲壓曲線，由圖3-7 可以看出，純巴 沙木揚聲器的聲壓曲線在 1230Hz 與 1860Hz 聲壓會有明顯的落差，利用 ANSYS 軟體，將此兩個頻率下的振動模態抓出(如圖 6-4、6-5)，由圖示可 知，頻率在1230Hz 時的振動模態為板子兩側有彎曲的變形產生，而頻率在 1860Hz 時的振動模態為板子的彎曲模態(Bending mode)，為了改善這兩個 頻率的聲壓落差，本文選擇部份加勁設計來增加平板結構之剛性、抑制振 動板之變形，進而使激振器之推力能夠更有效地作用到整個振動板，以提 高平板剛體運動在振動板受激振運動時的效應，甚至因為平板結構的變化 而改變原本系統之自然頻率分佈，使系統於激振頻率範圍內的共振頻率點 之間距縮小來避免聲壓值嚴重低落而得到較平緩之聲壓曲線。