步驟 2 利用十字交加檢查一次項係數：
4.3 最大係數的判斷及利用最大係數做因式分解
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4.3 最大係數的判斷及利用最大係數做因式分解
在一般的多項式中，若 f (x) = g(x)，若且唯若，f (x) 和 g(x) 是一模一樣的 多項式。(functionally equivalent)但是在熱帶多項式中，即使多項式的係數並不相 同，但是畫出來的函數圖形卻有可能是一樣的。例如: x2⊕ 2x ⊕ 4 和 x2 ⊕ 1x ⊕ 4 不是一樣的多項式，但是畫出來的圖形卻是一樣的，如圖 4.1。
圖 4.1: f (x) 和 g(x) 是不一樣的多項式，但是畫出來的圖形卻是一樣的
定義 4.3.1. 若熱帶多項式 f (x) 的係數 ai 可以被 b 取代，而且不改變原本熱 帶多項式的圖形，令此熱帶多項式為 g(x)，其中 b > ai，則稱 ai 是熱帶多項 式 f (x) 的最大係數 (largest cofficient)，g(x)是最大係數多項式 (largest coefficient polynomial)。
例如 x2⊕ 2x ⊕ 4 = x2⊕ 1x ⊕ 4 = x2⊕ 0x ⊕ 4，因為畫出來的圖形都是一樣的 (如圖 4.1)。其中 x2⊕ 2x ⊕ 4 即稱為最大係數多項式。
由圖 4.1不難發現：當熱帶多項式 x2⊕ 2x ⊕ 4 中的一次項係數若小於 2 是不會影 響此熱帶多項式的圖形，也就是說不影響此熱帶多項式的最大值。因此接下來我 們將藉由 4.1 和 4.2 節的範例來觀察最大係數多項式的特性。
範例 4.1.2中我們已得到
(1) x2⊕ 2x ⊕ 2 = (x ⊕ 0) ⊙ (x ⊕ 2)
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(2) x2⊕ 1x ⊕ 2 = (x ⊕ 1) ⊙ (x ⊕ 1)
其中 x2 ⊕ 1x ⊕ 2 的圖形 (如圖 4.2)，發現三線有一交點，和圖 4.1的 f(x) = x2⊕ 2x ⊕ 4 一樣，而且在圖 4.2上畫出 x2⊕ 0x ⊕ 2 的圖形 (如圖 4.3)，y = 0x 這條 線是不影響此多項式的最大值的。所以 x2⊕1x⊕2 = x2⊕0x⊕2，而且 x2⊕1x⊕2 是最大係數多項式。
圖 4.2: x2⊕ 1x ⊕ 2 的圖形
圖 4.3: x2⊕ 1x ⊕ 2 和 x2⊕ 0x ⊕ 2 合在一起的圖形
同理，在範例 4.1.3我們得到
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(2) x2⊕ 2x ⊕ 3 = (x ⊕ 1) ⊙ (x ⊕ 2)
而且 x2⊕ 2x ⊕ 3 = x2⊕ 1x ⊕ 3 = x2⊕ 0x ⊕ 3，x2⊕ 2x ⊕ 3 是最大係數多項式。在 範例 4.1.4我們得到
(1) x2⊕ 4x ⊕ 4 = (x ⊕ 0) ⊙ (x ⊕ 4) (2) x2⊕ 3x ⊕ 4 = (x ⊕ 1) ⊙ (x ⊕ 3) (3) x2⊕ 2x ⊕ 4 = (x ⊕ 2) ⊙ (x ⊕ 2)
而且 x2⊕ 2x ⊕ 4 = x2⊕ 1x ⊕ 4 = x2⊕ 0x ⊕ 4，x2⊕ 2x ⊕ 4 是最大係數多項式。在 範例 4.1.5我們得到
(1) x2⊕ 5x ⊕ 5 = (x ⊕ 0) ⊙ (x ⊕ 5) (2) x2⊕ 4x ⊕ 5 = (x ⊕ 1) ⊙ (x ⊕ 4) (3) x2⊕ 3x ⊕ 5 = (x ⊕ 2) ⊙ (x ⊕ 3)
而且 x2⊕ 3x ⊕ 5 = x2⊕ 2x ⊕ 5 = x2⊕ 1x ⊕ 5 = x2⊕ 0x ⊕ 5，x2⊕ 3x ⊕ 5 是最大 係數多項式。在範例 4.1.6我們得到
(1) x2⊕ 6x ⊕ 6 = (x ⊕ 0) ⊙ (x ⊕ 6) (2) x2⊕ 5x ⊕ 6 = (x ⊕ 1) ⊙ (x ⊕ 5) (3) x2⊕ 4x ⊕ 6 = (x ⊕ 2) ⊙ (x ⊕ 4) (4) x2⊕ 3x ⊕ 6 = (x ⊕ 3) ⊙ (x ⊕ 3)
而且 x2⊕ 3x ⊕ 6 = x2⊕ 2x ⊕ 6 = x2⊕ 1x ⊕ 6 = x2⊕ 0x ⊕ 6，x2⊕ 3x ⊕ 6 是最大 係數多項式。
觀察範例 4.1.2到範例 4.1.6，當二次項係數為 0 的熱帶多項式，利用一次項係 數來判斷是否為最大係數多項式；當一次項係數大於等於常數項的一半時，則此 多項式為最大係數多項式，也就和判斷是否可因式分解的方法一樣。這是因為當 我們用十字交加做因式分解時，就已經挑選了較大的係數。
進一步發現，當常數項是偶數時，若一次項係數恰為常數項的一半，則此熱帶多 項式可因式分解成完全平方式。例如：
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圖 4.4: x2⊕ 4x ⊕ 1 = (x ⊕ 4) ⊙ (x ⊕ −3) 的圖形
若一元二次熱帶多項式的二次項係數不是 0，又該如何判斷是否為最大係數 多項式，則該如何因式分解呢？
定理 4.3.4. 一元二次熱帶多項式 ax2⊕ bx ⊕ c，若 b ≥ c− a
2 ，則稱此熱帶多項式 為最大係數多項式。
引理 4.3.5. 若一元二次熱帶多項式 ax2⊕bx⊕c，提出公因式 a，則 ax2⊕bx⊕c = a(x2⊕(b−a)x⊕(c−a))，根據定義 4.3.3，可因式分解為 a(x⊕(b−a))⊙(x⊕(c−b))。
有了定義 4.3.4，就可以判斷所有一元二次的熱帶多項式是否為最大係數多項 式，再利用定義 4.3.5做因式分解，而且因式分解唯一。
利用定義 4.3.5重新再做一次範例 4.2.1的 (1) 2x2 ⊕ 2x ⊕ 1 2x2⊕ 2x ⊕ 1 = 2 ⊙ (x2⊕ (2 − 2)x ⊕ (1 − 2)) = 2 ⊙ (x2 ⊕ x ⊕ −1)
= 2⊙ (x ⊕ (0 − 0)) ⊙ (x ⊕ (−1 − 0)) = 2 ⊙ (x ⊕ 0) ⊙ (x ⊕ −1)�
和範例 4.2.1的 (1)因式分解的結果提出係數 2 後其實是一樣的。
2x2⊕ 2x ⊕ 1 = (0x ⊕ 0) ⊙ (2x ⊕ 1)
= 2⊙ (x2⊕ (2 − 2)x ⊕ (1 − 2)) = 2 ⊙ (x2 ⊕ x ⊕ −1)
= 2⊙ (x ⊕ (0 − 0)) ⊙ (x ⊕ (−1 − 0)) = 2 ⊙ (x ⊕ 0) ⊙ (x ⊕ −1)�
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(4) k = 4，ak =−6；j = 1，aj =−8 b3 = −8 + (−12)
3 = −20 3 所以 b3 =max{7,21
5 ,−5
2 ,−3,−20
3 } = 7，7 是最大係數。
1 次項係數 b1，i = 1：
(1) k = 5，ak = 3；j = 0，aj = 6 b1 = 6× 4 + 3 × 1) 5 = 27
5 (2) k = 4，ak =−6；j = 0，aj = 6 b1 = 6× 3 + (−6) × 1
4 = 3 (3) k = 3，ak = 7；j = 0，aj = 6 b1 = 12 + 7
3 = 19 3
所以 b1 =max{−8,27 5 , 3,19
3 } = 19
3 ，−8 並不是最大係數，因此這條線和根的
圖形不相交。如圖 4.7。
將範例 4.3.3 的熱帶多項式 3x5⊕−6x4⊕7x3⊕−8x⊕6 畫出來圖形如下圖 4.7。
圖 4.7: 3x5⊕ −6x4⊕ 7x3⊕ −8x ⊕ 6 的圖形
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(2) a3+ 2a0 3 (3) a4+ 3a0
4
b3 =max{a2+ a0
2 ,a3+ 2a0
3 ,a4+ 3a0 4 }
由上列可以觀察出分母為分子係數和，分子的變化為由鄰近兩邊的係數開始為 (1, 1)，下一次固定一邊，另一邊退一項，則不動的那邊係數加 1，分母也跟著加 1，再交換，固定另一邊，以此類推。
接下來我們觀察完全缺項的熱帶多項式該如何快速找最大係數?
那麼若是一元三次方的最大係數又該如何判斷呢?
範例 4.3.6. 一元三次的熱帶多項式 2x3⊕ bx2⊕ cx ⊕ 8，則最大係數 b, c 為多少？
假設沒有二次項，那麼 2x3 ⊕ cx ⊕ 8 中一次項的係數 c 最大值應為 (2, 8) 代入 y = x + c，8 = 2 + c，c = 6。
如圖 4.9，可得知一次項的最大係數為 6。
圖 4.9: 2x3⊕ cx ⊕ 8，c 最大值為 6
同理，假設沒有一次項，那麼 2x3 ⊕ bx2 ⊕ 8 中一次項的係數 b 最大值應為 (2, 8)代入 y = 2x + b，8 = 2×2 + b，b = 4。
如圖 4.10，可得知二次項的最大係數為 4。
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圖 4.10: 2x3⊕ bx2⊕ 8，b 最大值為 4
所以求得最大係數多項式為 2x3⊕ 4x2⊕ 6x ⊕ 8，且可因式分解：
2x3 ⊕ 4x2⊕ 6x ⊕ 8 = 2 ⊙ (x3⊕ (4 − 2) ⊙ x2⊕ (6 − 2) ⊙ x ⊕ (8 − 2))
= 2⊙ (x3⊕ 2 ⊙ x2 ⊕ 4 ⊙ x ⊕ 6)
= 2⊙ (x ⊕ (2 − 0)) ⊙ (x ⊕ (4 − 2)) ⊙ (x ⊕ (6 − 4))
= 2⊙ (x ⊕ 2) ⊙ (x ⊕ 2) ⊙ (x ⊕ 2)
= 2⊙ (x ⊕ 2)3� 圖形如圖 4.11
圖 4.11: 最大係數多項式為 2x3⊕ 4x2⊕ 6x ⊕ 8，且可因式分解為 2(x ⊕ 2)3
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並不影響圖形。同理，若是最大係數多項式，則可以快速的因式分解。
範例 4.3.7. 因式分解 2x3⊕ 5x2⊕ 7x ⊕ 8，並畫出其圖形。
由範例 4.3.6，我們已知道 2x3⊕ 5x2⊕ 7x ⊕ 8 為最大係數多項式，因此可因式分 解：
2x3 ⊕ 5x2⊕ 7x ⊕ 8 = 2 ⊙ (x3⊕ (5 − 2) ⊙ x2⊕ (7 − 2) ⊙ x ⊕ (8 − 2))
= 2⊙ (x3⊕ 3 ⊙ x2 ⊕ 5 ⊙ x ⊕ 6)
= 2⊙ (x ⊕ (3 − 0)) ⊙ (x ⊕ (5 − 3)) ⊙ (x ⊕ (6 − 5))
= 2⊙ (x ⊕ 3) ⊙ (x ⊕ 2) ⊙ (x ⊕ 1) 圖形如圖 4.12
圖 4.12: 最大係數多項式為 2x3⊕ 5x2⊕ 7x ⊕ 8 = 2(x ⊕ 3) ⊙ (x ⊕ 2) ⊙ (x ⊕ 1)
我們可以知道，若二次項或一次項的係數小於最大係數，則該項可忽略，並 不影響圖形。同理，若是最大係數多項式，則可以快速的因式分解。
從範例 4.3.5我們可以知道若不是最大係數時，則該項可忽略不計，再來我 們要進一步證明，最大係數只和該項的前後項的最大係數有關，並不需要像定 義 4.3.6比較所有的係數，如定理 4.3.8。
定 理 4.3.8. 熱 帶 多 項 式 akxk ⊕ ... ⊕ alxl ⊕ ... ⊕ aixi ⊕ ... ⊕ ajxj ⊕ ...，其中 k > l > i > j。假設 xi 項的係數 ai 已經是最大係數，所以根據定義 4.3.6,ai ≥ aj(k− i) + ak(i− j)
k− j ，則 xl 項的最大係數 bl= ai(k− l) + ak(l− i)
k− i 。也就是說最 大係數 bl 不受 ajxj 項的影響。