最小集合涵蓋（Minimum Set Cover）

最小集合涵蓋（Minimum Set Cover, MSC）問題為一傳統且重要的最佳化組 合問題。給定一集合 U 內有 n 個元素{u₁,u₂,…,u_n}，另有 k 個集合{S1,S₂,…,S_k}，

每個集合包含部份 U 內的元素。最小集合涵蓋問題是在 k 個集合內找出最少的 集合且可以包含所有 U 內的元素。此問題有被廣泛的應用在許多領域上，例如 生物資訊（Doi and Imai, 1997, 1999; Duitama et al., 2009; Huang et al., 2005;

Jabado et al., 2006; Zhao et al., 2005）與作業研究上（Beasley, 1990; Caprara et al., 1999, 2000; Drezner and Hamacher, 2002; Farahani and Hekmatfar, 2009; Lan et al., 2007）。

在生物資訊方面， Berger-Wolf et al.（2005）提出了以孟德爾遺傳法則為基 礎的物種分群問題即是轉換到利用最小集合涵蓋問題上之後透過MSC 的 Greedy 的演算法解決此問題。引子對的選取問題定義為給定 k 個引子（Sets），n 個目標 序列（Elements），要找出最少的引子可以釣出（Hybridize）所有 n 個目標基因。

這個問題也是可被 Model 到集合涵蓋問題並透過一些集合涵蓋的演算法來解決 並應用在疾病的偵測上（Doi and Imai, 1997, 1999; Duitama et al., 2009; Huang et al., 2005; Jabado et al., 2006）。Zhao et al.（2005）定義了最小化 siRNA 涵蓋問題。

siRNA 為 RNA 內的一子字串可以干擾 RNA 來抑制基因的表現（RNAi）。給定 k 個siRNA（小干擾 RNA），α個目標基因（Target Genes）序列與β個非目標基因

（Off-Target Genes）序列的集合。某個 siRNA 是某個目標基因（或非目標基因）

序列的子字串，則此 siRNA 涵蓋（Cover）這個目標基因（或非目標基因）。此 問題是要找出最少的siRNA （Sets）可以涵蓋（Cover）所有的目標基因（Elements）

但是不能涵蓋任何一個非目標基因。也就是說找出的這些 siRNA 可抑制所有的 目標基因。在不考慮非目標基因的部份，此問題同樣可轉換至最小集合涵蓋問題

上 。Zhao et al.（2005）設計了一個 Exact Branch-and-Bound Algorithm 及 Probabilistic Greedy Algorithm 解決此問題並模擬到兩個基因家族（FREP Genes from Biomphalaria Glabrata and the Olfactory Genes from Caenorhabditiselegans）。

在作業研究方面，在此領域通常是將集合涵蓋問題應用至遞送（Delivery）

和路由（Route）問題上。最有名的問題為空服員排班（Airline Crew Scheduling）

問題。此問題假設本研究有 n 個航線（Elements）及 k 個空服員，每個空服員被 要求要服務某些航線的行程（Sets），為找出最少空服員的行程可以服務所有的 航線。Caprara et al. （1999）將此問題轉到最小集合涵蓋問題上用來解決 Italian Railway Company, Ferrovie Dello Stato SPA 的排班，並提出 Lagrangian-Based Heuristic Algorithm。Caprara et al.（2000）之後提出一篇 Survey 文獻來比較多個 正確（Exact）及啟發式（Heuristic）的演算法。最近 Lan et al.（2007）提出一簡 單的啟發式演算法來解最小集合涵蓋問題並用來測試 OR-Library （Beasley, 1990）。另外，一些作業研究上探討的設備配置問題（Facility Location Problem）

也可以被轉換到最小集合涵蓋問題，並有很多演算法用來設計解決這些問題

（Drezner and Hamacher, 2002; Farahani and Hekmatfar, 2009）。

然而，最小集合涵蓋問題已知為NP-Complete （Garey and Johnson, 1979）。

因此，目前為找到多項式時間的正確演算法（Exact Algorithm）是不可能的，除 非P=NP。因此，許多的近似演算法（Approximation Algorithms） （Cormen et al., 2001; Goldsmidt, 1993; Johnson, 1974; Lan et al., 2007; Lovász, 1975; Slavík, 1997）、隨機演算法（Randomized Algorithms） （Haouari, 2002; Vazirani, 2001）、

啟發式演算法（Heuristic Algorithms） （Beasley, 1990; Caprara et al. 1999, 2000;

Ceria, 1998; Lan, 2007）與適當指數時間的近似演算法（Moderately Exponential

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1996; Beasley and Ornsten, 1992; Björklund, 2009; Caprara et al., 2000; Fomin et al., 2005; Mannino and Sassano, 1995; Rooij and Bodlaender, 2008），上述方法多半是 利用Branch-and-Bound 或 Branch-and-Cut （Balas and Carrera, 1996; Beasley and Ornsten, 1992; Fomin et al., 2005; Mannino and Sassano, 1995; Rooij and Bodlaender, 2008）。在近似演算法方面，Greedy 的演算法可找到近似率為 H(n)（Harmonic number） （Johnson, 1974; Vazirani, 2001），實際的Tight 為 ln n – ln ln n + ln 2 - 1，

也是目前最小集合涵蓋問題最好的近似演算法（Slavík, 1997）。也被證明近似率 不會低於(1- ε) ln n，ε > 0，除非 NP⊂DTIME(n^{log log n}) （Feige, 1998）。