第一章 緒論
1.4 本論文架構
本文共分為五個章節，第一章為緒論，介紹陀螺儀的發展，以及相關文獻回顧，並 說明對此方向的研究動機。第二章介紹振動陀螺儀運作原理以及傳統陀螺儀的各種操作 方法，同時提出了更完整的振動陀螺儀模型。在第三章中，本篇論文提出擴增型卡曼濾 波器作為估測陀螺儀系統之方法，以往陀螺儀被視為線性系統作為估測和控制，在本文 中，我們將陀螺儀參數視為狀態變數，新的系統為非線性系統，以非線性系統的方式探 討其觀察性，進行估測和控制。第四章則對本論文的方法進行電腦模擬，驗證此方法之 可行性。第五章對本論文做出相關討論及總結，並探討未來在此方向必須改良或更進一 步發展分析的方向。
第二章
因在振動式陀螺儀中， ， ， ， ，
&& & &
&& & &
對於理想的振動式陀螺儀系統而言，常將阻尼忽略不計，方程式可改寫成
2.1.2 非理想振動陀螺儀動態方程式
圖 2.2 彈簧主軸偏離
&& & & &
&& & & &
其中k 、x ky、kxy、kyx如(2.15)式所表示；d 、x dy、dxy、dyx如(2.16)式所表示。(2.17) 式中k yxy 、k xyx 、d xxy&、d yyx&為干擾能量傳遞的耦合力。
2.2 傳統操作方式
&& & & (2.18)
假設ωx =ωy =ωn，求解常微分方程(2.18)式，可得
(2.20)
&& & &
&& & & (2.21)
假設d 、x dy、 k 、x ky均為已知常數，由適應性控制法則選定F 、x Fy
& & & &
& & & &
)
&& && & & &
&& && & & &
y (2.23)
圖 2.5 閉路控制法流程圖
y→ ym時，Ω → Ω ，其中收斂速度由ˆ
x→xm、 λ1、
由(2.23)式知，當 λ2所決定。
另一方面，我們同樣也可以利用 Lyapunov 穩定定理(Lyapunov stability theorem)來驗證其 收斂性。
選取 Lyapunov function V >0為正定函數 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 1
2 x 2 x 2 y 2 y 2
V = λe + e& + λ e + e& + γ−Ω%2 (2.24)
將V 對時間作微分
&& && & & &
&& && & & & N (2.30) 其中
2.3 完整振動陀螺儀動態方程式(單軸－三個自由度)
在(2.1)節中我們推導了振動陀螺儀的動態模型，並在(2.2)節中介紹了傳統陀螺儀的 操作方式，而傳統陀螺儀所使用的數學動態模型都是以(2.8)式為基礎，即質量塊只有兩 個自由度。實際上，以往陀螺儀相關研究之文獻，往往忽略振動陀螺儀所存在之一個動 態－陀螺儀本體(即包含感測器之部分)與質量塊是以彈簧作為連結，除了 x 方向、 方 向存在彈簧常數
y
k 、x ky，在旋轉方向也應存在彈簧常數 kθ，只有在 kθ趨近於無窮大的 時候，我們才可以將此動態忽略，本節即對此動態做深入推導分析，並討論在何種設計 下此動態不可忽略，又何種情況下可忽略。
2.3.1 振動陀螺儀之完整動態模型
圖 2.6 質量塊沿 方向旋轉之動態 z
考慮一理想振動陀螺儀，當陀螺儀旋轉時，在此暫態時刻，陀螺儀本體與質量塊存 在一角度差(圖 2.6)，因此，質量塊除了以Ω的角速度沿 軸旋轉之外，也將額外產生與 陀螺儀本體之相對旋轉。由(2.8)式所得之沿
z
x 方向平移、沿 方向平移之動態方程式，
並考慮沿 方向旋轉之動態，新的系統動態方程式可寫成 y z
(2.31)
&& & &
&& & &
&& & &
&
考慮其中一組感測電容，可量測到四個位置的電容(圖 2.8)，利用平行電容板公式 C A
d
=ε (2.32)
(2.32)式中ε為介電係數，A為兩電容板之重疊面積，d 為兩電容板之距離，故質量 塊在無任何位移之前，四個位置的電容為
1 2 3 4
(Wl)
C C C C
n
= = = =ε (2.33)
其中W 為電容板之寬度。
(a)
(b)
(c)
經整理後可得
其中r為質量塊沿 軸旋轉之迴轉半徑。根據(2.38)式可知，z
rank Q rank CA rank
CA ωθ ωθ
其中 u 為已知輸入， 為未知輸入，比較(2.39)式、 (2.40)式 v
rank CD rank rank D rank
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
若s=0，則 sI A11 A12 3
rank CN CD
⎡ − − ⎤
⎢ ⎥≠
⎣ ⎦
由於系統無法符合未知輸入觀察器的設計條件，則無法利用此種觀察器找出未知輸 入Ω。目前觀察器之文獻研究雖然非常多，但並未找到適用於本系統動態上之觀察器，
雖然我們深入研究加入旋轉動態之完整陀螺儀模型，但是最終目的所要達成角速度以及 角度的估測並未成功，因此，重新探討對振動陀螺儀角速度量測的更佳方法。在下一個 章節，我們提出另一個新方法－擴增型卡曼濾波器，做為振動陀螺儀的估測方法。
第三章
振動陀螺儀之擴增型卡曼濾波器估測法
本章首先簡單介紹卡曼濾波器的原理，接下來討論幾種不同情況下，使用擴增型卡 曼濾波器前所需建立的狀態矩陣，包括單純之角速度估測、結合角速度估測與參數鑑 別、不理想系統之角速度量測與參數鑑別(忽略阻尼)、不理想系統之角速度量測與參數 鑑別(考慮阻尼)，並針對不同情況進行觀察性之檢驗，驗證此方法用於振動陀螺儀估測 之可行性。
3.1 擴增型卡曼濾波器(extended Kalman filter)
在上一章我們介紹了傳統陀螺儀最常見的估測方法，本節介紹本論文所使用的方法
－擴增型卡曼濾波器，此方法的特色為收斂快、抗雜訊能力高，亦可做系統參數鑑別。
3.1.1 卡曼濾波器簡介
卡曼濾波器最初由 Rudolf Emil Kalman 所開發設計，在 1960 年，他發表一篇論文－
利用遞迴方法解決離散線性濾波問題，因這篇論文比其他人的研究成果更通用也更完 整，因此被命名為卡曼濾波器。
卡曼濾波算法的起源可以追朔到 1795 年由年僅 18 歲的高斯(Carl Friedrich Gauss)提 出的最小二乘理論，卡曼濾波算法與許多新技術一樣，也是致力於解決特定問題。之後，
因為數位計算技術的進步，卡曼濾波器被廣泛的應用在許多領域上，如導航系統、控制 系統、核電站設備、人口統計建模、製造業、地層放射性探測等等[11][12]。
3.1.2 卡曼濾波器理論和原理
卡曼濾波器是一種利用最佳化回歸數據演算法(optimal recursive data processing algorithm)的估測器，它可以間接從不準確及不確定的量測值來獲得系統的狀態變數，尤
其對於雜訊來源為高斯白雜訊(White Gaussian Noise)時，即這些偏差跟前後時間沒有關係 且符合高斯分佈(Gaussian Distribution)，卡曼濾波器可以得到最小化的均方誤差。
考慮一線性系統
其中 為系統雜訊(plant noise)， 為量測雜訊(measurement noise)，卡曼濾波器 之估測主要根據兩項準則： equation)，其中 ˆx 為狀態估測值； 稱為狀態估測協方差矩陣(state covariance matrix)，定
義 ；Q為系統雜訊協方差矩陣，定義 ；
大，此時卡曼增益K較小，因此在計算下一時間之狀態估測值時，將不會太過信賴感測 器所量到的值；反之，當雜訊較小時，R也小，此時卡曼增益K較大，在計算下一個狀 態估測值時，便會較相信感測器所得到的值來修正新的狀態值。
圖 3.1 卡曼濾波器流程圖
3.1.3 擴增型卡曼濾波器
卡曼濾波器是用於線性系統的狀態估測，但事實上，工程上大部分的系統都是非線 性系統，對於這個問題，之後的相關研究對卡曼濾波器有了新的修改，出現了擴增型卡 曼濾波器。這個方法即是將卡曼濾波器的應用從線性系統推廣到非線性系統。
考慮一非線性系統
( 1) [ , ( ), ( )] ( ( ) [ , ( )] ( )
) x k f k x k u k w y k h k x k v k
+ = +
= +
k (3.4)
擴增型卡曼濾波器的設計方法與卡曼濾波器相同，同樣分為兩個步驟：
(1)狀態的設計
ˆ( 1 ) [ , (ˆ ), ( )]
3.2 理想振動式陀螺儀之角速度估測
3.2.2 系統觀察性(observability)
建立狀態方程式之後，接下來進行的工作則是驗證系統是否為可觀察，由非線性系
其中x 為狀態變數，i ( 1)
rank O rank rank
z
rank z rank
z
輸出方程式為：
3.3.2 系統觀察性(observability)
由(3.11)式之定理，我們可求得系統之觀察性矩陣：
3.4 非理想振動陀螺儀之角速度估測與參數鑑別
& & &
&
3.4.2 系統觀察性(observability)
22
&& & & && &&
&& & & && &&
&&& && && &&& &&&
&&& && && &&& &&&
&&& &&&
&& & (3.25)
由於系統過於複雜，因此僅以忽略阻尼的情況下做討論，利用 mathematica 軟體可 解得
3.5 振動陀螺儀之角位移估測
傳統振動陀螺儀對於角位移的量測，一般都是利用角速度對時間進行積分來獲得，
然而，在微機電系統中，積分所得到之訊號，容易因電壓漂移(drift)而產生很大的誤差，
因此，一般我們在感測器中，都盡可能地不使用積分的方法來獲得所要量測的物理量。
在相關文獻中，Friendland 和 Hutton 最早利用動態方程式以能量的概念推導數學式，並 以數學的方式計算出角位移[13]，考慮理想振動陀螺儀之動態方程式
&& &x (3.27)
假設ωx =ωy =ω ，求解(3.30)式可得
角度θ可經由以下表示
&& & & &
&& & & y & y
第四章
&& & & &
&& & & & y
(4.1)
&& & &
m (4.2)
化
收斂於實際系統狀態之情形。圖 4.4 為角速度之即時估測。透過模擬我們可以知道，擴 增型卡曼濾波觀察器可以很快將雜訊濾除，取得系統在 x 方向的位移、速度以及 方向 的位移、速度，精確的估測出角速度的值。表 4.2 為觀察器系統的估測誤差。
y
表 4.1 模擬參數
圖 4.1 陀螺儀的質量塊於旋轉座標x−y平面上之運動軌跡
圖 4.2 感測器輸出與觀察器輸出：感測器位移輸出帶有標準差2.857 10× −3μm 之隨機雜訊；速度輸出帶有標準差53.85 10× −3μm s/ 之隨機雜訊
圖 4.3 觀察器狀態收斂於實際系統狀態之情形
圖 4.4 角速度之即時估測
圖 4.8 為觀察器狀態收斂於實際系統狀態之情形。圖 4.9 為角速度之即時估測。圖 4.10 為參數之即時鑑別。透過模擬我們可以知道，擴增型卡曼濾波觀察器可以很快將雜訊濾 除，取得系統在 x 方向的位移、速度以及 方向的位移、速度，精確的估測出角速度的 值，並且鑑別出參數
y
k 、x ky。表 4.4 為觀察器系統的估測誤差。
表 4.3 模擬參數
圖 4.6 陀螺儀的質量塊於旋轉座標x−y平面上之運動軌跡
圖 4.7 感測器輸出與觀察器輸出：感測器位移輸出帶有標準差2.857 10× −3μm 之隨機雜訊；速度輸出帶有標準差53.85 10× −3μm s/ 之隨機雜訊
圖 4.8 觀察器狀態收斂於實際系統狀態之情形
圖 4.9 角速度之即時估測
圖 4.10 即時參數鑑別
表 4.4 估測誤差
4.3.2 理想振動陀螺儀之角位移估測模擬二
4.4 非理想振動陀螺儀模擬一(Ω、k 、x ky、kxy未知)
圖 4.12 陀螺儀的質量塊於旋轉座標x−y平面上之運動軌跡
圖 4.13 感測器輸出與觀察器輸出：感測器位移輸出帶有標準差2.857 10× −3μm 之隨機雜訊；速度輸出帶有標準差53.85 10× −3μm s/ 之隨機雜訊
圖 4.14 觀察器狀態收斂於實際系統狀態之情形
圖 4.15 角速度之即時估測
圖 4.16 即時參數鑑別
表 4.6 估測誤差
4.4.2 非理想振動陀螺儀之角位移估測模擬一
由(3.30)式，
由(3.30)式，