條件常態分配相容性的理論探討

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2. 條件常態分配相容性的理論探討

Arnold and Press (1989) 證明出檢驗兩個條件分配是否滿足相容條件的判 斷方式：

若兩個條件機率密度函數g₁(x| y)和g₂(y|x)是相容的 滿足下列二個條件：

(1)N₁ N₂，其中N1 



⁽x^,y⁾g1⁽x^|y⁾＞0 及



N2 



⁽x^,y⁾g2⁽y^|x⁾＞0 。 …(2.1 )



(2)存在x 的函數

u (x )

和

y

的函數

v ( y )

，使得 ( ) ( ) )

| (

)

| (

2

1 u x v y

x y g

y x

g   ，對所有的

(

x, y

)

 N

 N₁ N₂，且



^u )(x dx＜



或 dy y



^v( )

( 1 ＜



)。…………(2.2)

在前述情形下，可推得聯合機率密度函數



^





dx x u

x x u

y g y x f

) (

) ) (

| ( ) ,

(

₂ ……(2.3)

的條件機率密度函數分別為g₁(x| y)及g₂(y|x)。

問題 2.1 當給定二個條件分配的形式為常態（normal）時，在什麼狀態下會讓這 兩個條件分配是相容的？亦即兩個條件分配的平均數及變異數的形式 為何時，會使得這兩個條件機率分滿足相容性？

當二個條件分配的形式為常態且滿足(2.1)及(2.2)時，我們發現條件分配的 平均數除以條件分配的變異數是一個二次函數，而且條件分配的變異數的倒數是 一個二次函數。此結果可用以下定理[2.1]來表示：

【定理 2.1】 若二個條件常態分配分別為 y

Y

X  ~N(₁(y),₁²(y))，₁²(y)0，

 y  R

， x

X

Y  ~N(₂(x),₂²(x))，₂²(x)0，

 x  R

，且相容，則其充分

‧

‧

‧

‧

‧

‧

兩個條件分配的精確度(變異數的倒數) (precison)若是一次，圖形是一條直線，

則₁^2(y)和₂^2(x)的值會含蓋到負的，就不可能大於 0，所以只有常數和二次的

‧

‧

‧

‧

‧

‧

‧

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問題 3.1 在兩個條件常態分配下所得之兩個樣本，實務上，在何種條件下，可以 判斷這兩個樣本來自不同的聯合常態分配？

若兩個條件分配XY  ~Ny ^{2 3}

1 1

( d e y , 1 )

d d



，Y X  ~Nx ^{4 3}

3 3

( d e x , 1 )

d d



，且

3

0

1 2

3

 d d 

e

，則由引理[2.3]對應之 X，Y 的聯合分配為(2.23)。前述兩個條件 機率的平均數都為一次函數且一次項的係數乘以精確度(變異數的倒數)皆為

e 。但在實務上，即使兩組資料亦即3

( x

₁⁽¹⁾

| y

₁⁽¹⁾

),  ( x

_n⁽¹⁾

| y

_n⁽¹⁾

)

及

)

| ( ),

|

( y

₁⁽²⁾

x

₁⁽²⁾

 y

_m⁽²⁾

x

_m⁽²⁾ 來自相同母體，因為抽樣誤差的因素，從第一組 n 筆資

料中得到的e 的估計值，即₃

e ˆ

₃⁽¹⁾與從第二組 m 筆資料中得到的e 的估計值，即₃

e ˆ

₃⁽²⁾ 通常會有所不同(見附錄 A)。但若兩組資料分別來自兩個條件分配且這兩個條件 分配是相容的，一般而言

e ˆ

₃⁽¹⁾會接近

e ˆ

₃⁽²⁾，反過來，若兩組資料分別來自兩個條件

分配且這兩個條件分配是不相容的，

e ˆ

₃⁽¹⁾與

e ˆ

₃⁽²⁾一般而言會有較大的差距。若兩個 條件隨機變數不相容（此時兩個條件隨機變數分別來自兩個不同母體）時，是否 可由樣本判斷？因此本節將藉由電腦資料的模擬，回答問題 3.1 的問題，討論在 什麼樣的情況下，可以判別此兩個條件隨機變數是不相容的，意即兩組模擬資料 是來自不同的母體。我們的程式設計採用的是Matlab 6.5，方式如下：

在二元常態分配 

















 



 





2 2 2

1 1

2 1 1 2

, 1

0 0















N  下，每次隨機抽取 10000 個樣本，亦

即

( x

₁⁽¹⁾

| y

₁⁽¹⁾

),  ( x

₁₀₀₀₀⁽¹⁾

| y

₁₀₀₀₀⁽¹⁾

)

，利用迴歸方式，在

X | Y  y

條件下產生估計值

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固定 =₁²  =1，₃²  =₂²  =1, 2,…, 10，₄²  =0.1 時，在估計_{1 (1)}

3 ) 2 (

log 3

e

e 的 95%

信賴區間下，觀察 的區間變化，特別是當₂  的值在什麼範圍內，會使得估計₂

) 1 ( 3 ) 2 (

log 3

e

e 的 95%信賴區間值不包含 0。以下亦稱此範圍為可判別的 值區間。₂

同樣的方式，在固定 =₁²  =1，₃²  =₂²  =1, 2,…, 10 的情形下，₄²  的值₁ 分別為 0.3、0.5、0.7、0.9、0.07、0.05、0.04、0.03 時，在估計 ₍₁₎

3 ) 2 (

log 3

e

e 的 95%

信賴區間下，觀察 的區間變化，特別是當₂  的值在什麼範圍內，會使得估計₂

) 1 ( 3 ) 2 (

log 3

e

e 的 95%信賴區間值不包含 0。此範圍亦即為可判別的 值區間。₂

Case B：討論可判別(不相容性)的 值區間₁²

(1)固定 =1, 2,…, 10，₃²  =₂²  =1，₄²  =₁  =0.1 時，在估計_{2 (1)}

3 ) 2 (

log 3

e

e 的 95%

信賴區間下，觀察 的區間變化，特別是當₁²  的值在什麼範圍內，會使得₁² 估計 ₍₁₎

3 ) 2 (

log 3

e

e 的 95%信賴區間值不包含 0。以下亦稱此範圍為可判別的 值區₁²

間。

(2)固定 =1, 2,…, 10，₃²  =₂²  =1，₄²  =₁  =0.2 時，在估計_{2 (1)}

3 ) 2 (

log 3

e

e 的 95%

信賴區間下，觀察 的區間變化，特別是當₁²  的值在什麼範圍內，會使得₁² 估計 ₍₁₎

3 ) 2 (

log 3

e

e 的 95%信賴區間值不包含 0。此範圍亦即為可判別的 值區間。₁²

(3)固定 =1, 2,…, 10，₃²  =₂²  =1，₄²  =₁  =0.3 時，在估計_{2 (1)}

3 ) 2 (

log 3

e

e 的 95%

信賴區間下，觀察 的區間變化，特別是當₁²  的值在什麼範圍內，會使得₁² 估計 ₍₁₎

3 ) 2 (

log 3

e

e 的 95%信賴區間值不包含 0。此範圍亦即為可判別的 值區間。₁²

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以上模擬的結果將以圖表方式呈現，圖表中 縱軸：表示

(2) 3

(1) 3

logˆ ˆ e

e 的值；

橫軸：在CaseA 的情形中表示 的值，在 CaseB 的情形中表示₂



₁²的值，

MEAN：表示 x；

U：表示 x＋1.96s；

L：表示 x－1.96s；

TE：表示 ₍₁₎

3 ) 2 (

log 3

e

e 的實際值。

模擬討論如下：

Case A：討論可判別(不相容性)的 值區間₂ 模擬結果發現：

當 =0.1，₁  =₁²  =1，₃²  =₂²  且₄²  值變動，亦即₂²  =1, 2,…, 10，得₂² 到能判別兩組樣本來自不同母體的 區間均相同。₂

當 =0.3，₁  =₁²  =1，₃²  =₂²  且₄²  值變動，亦即₂²  =1, 2,…, 10，得₂² 到能判別兩組樣本來自不同母體的 區間均相同。₂



當 =0.003，₁  =₁²  =1，₃²  =₂²  且₄²  值變動，亦即₂²  =1, 2,…, 10，₂² 得到能判別兩組樣本來自不同母體的 區間均相同。₂

因此以下只呈現 =₁²  =1，₃²  =₂²  =1，₄²

 =0.1,0.3,0.5,0.7,0.9,0.07,0.05,0.04,0.03 時，分別得到能判別兩組樣本1

來自不同母體的 區間。其餘情形請詳見附錄 C。₂ 模擬結果如下：

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2^的值

2的值

(₁²



₃²

 1

，₂²



₄²

 1

，₁ 0.1，₂ 0~0.2)

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15 0.16 0.17 0.18 0.19 0.2 MEAN U L TE

在 95%的信心水準下，發現 的值在 0.07~0.13 這個區間外時，信賴區間的₂ 值不包含 0。

圖 3-2：不相容性的變化圖

(₁²



₃²

 1

，₂²



₄²

 1

，₁0.3，₂ 0.01~0.4)

-4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1

0.01 0.02

0.03 0.04

0.05 0.06

0.07 0.08

0.09 0.10.11 0.12

0.13 0.14

0.15 0.16

0.17 0.18

0.19 0.20.21 0.22

0.23 0.24

0.25 0.26

0.27 0.28

0.29 0.30.31 0.32

0.33 0.34

0.35 0.36

0.37 0.38

0.39 0.4

MEAN U L TE

在 95%的信心水準下，發現 的值在 0.27~0.33 這個區間外時，信賴區間的₂ 值不包含 0。

) 1 ( 3 ) 2 ( 3

ˆ log ˆ

e e

) 1 ( 3 ) 2 ( 3

ˆ log ˆ

e

e

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2^的值

2^的值

圖 3-3：不相容性的變化圖

(₁²



₃²

 1

，₂²



₄²

 1

，₁ 0.5，₂ 0.4~0.6)

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

0.4 0.41 0.42 0.43 0.44 0.45 0.46 0.47 0.48 0.49 0.5 0.51 0.52 0.53 0.54 0.55 0.56 0.57 0.58 0.59 0.6

MEAN U L TE

在 95%的信心水準下，發現 的值在 0.48~0.52 這個區間外時，信賴區間的₂ 值不包含 0。

圖 3-4：不相容性的變化圖

(₁²



₃²

 1

，₂²



₄²

 1

^，₁ 0.7^，₂ 0.6~0.8)

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6

0.6 0.61 0.62 0.63 0.64 0.65 0.66 0.67 0.68 0.69 0.7 0.71 0.72 0.73 0.74 0.75 0.76 0.77 0.78 0.79 0.8

MEAN U L TE

在 95%的信心水準下，發現 的值在 0.69~0.71 這個區間外時，信賴區間的₂ 值不包含 0。

) 1 ( 3 ) 2 ( 3

ˆ log ˆ

e e

) 1 ( 3 ) 2 ( 3

ˆ log ˆ

e

e

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2^的值

2^的值

(₁²



₃²

 1

，₂²



₄²

 1

，₁ 0.9，₂ 0.89~0.91)

-0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2

0.89 0.891 0.892 0.893 0.894 0.895 0.896 0.897 0.898 0.899 0.9 0.901 0.902 0.903 0.904 0.905 0.906 0.907 0.908 0.909 0.91

MEAN U L TE

在 95%的信心水準下，發現 的值在 0.896~0.904 這個區間外時，信賴區間₂ 的值不包含 0。

圖 3-6：不相容性的變化圖

(₁²



₃²

 1

，₂²



₄²

 1

，₁ 0.07， =0.035~0.1)₂

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1

0.035 0.037

0.039 0.041

0.043 0.045

0.047 0.049

0.051 0.053

0.055 0.057

0.059 0.061

0.063 0.065

0.067 0.069

0.071 0.073

0.075 0.077

0.079 0.081

0.083 0.085

0.087 0.089

0.091 0.093

0.095 0.097

0.099

1 MEAN 1 U 1 L 1 TE

在 95%的信心水準下，發現 的值在 0.036~0.099 這個區間外時，信賴區間₂ 的值不包含 0。

) 1 ( 3 ) 2 ( 3

ˆ log ˆ

e e

) 1 ( 3 ) 2 ( 3

ˆ log ˆ

e

e

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2^的值

2的值

圖 3-7：不相容性的變化圖

(₁²



₃²

 1

，₂²



₄²

 1

，₁ 0.05，₂ 0.03~0.084)

-2.00000 -1.50000 -1.00000 -0.50000 0.00000 0.50000 1.00000 1.50000

0.03 0.032

0.034 0.036

0.038 0.04 0.042

0.044 0.046

0.048 0.05 0.052

0.054 0.056

0.058 0.06 0.062

0.064 0.066

0.068 0.07 0.072

0.074 0.076

0.078 0.08 0.082

0.084 MEAN U L TE

在 95%的信心水準下，發現 的值在 0.03~0.08 這個區間外時，信賴區間的₂ 值不包含 0。

圖 3-8：不相容性的變化圖

(₁²



₃²

 1

，₂²



₄²

 1

，₁ 0.04，₂ 0.03~0.084)

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

0.03 0.032

0.034 0.036

0.038 0.04

0.042 0.044

0.046 0.048

0.05 0.052

0.054 0.056

0.058 0.06

0.062 0.064

0.066 0.068

0.07 0.072

0.074 0.076

0.078 0.08

0.082 0.084

MEAN U L TE

在 95%的信心水準下，發現 的值在 0.031~0.075 這個區間外時，信賴區間₂ 的值不包含 0。

) 1 ( 3 ) 2 ( 3

ˆ log ˆ

e e

) 1 ( 3 ) 2 ( 3

ˆ log ˆ

e

e

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2^的值

(₁²



₃²

 1

，₂²



₄²

 1

，₁ 0.03，₂ 0~0.1)

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1

MEAN U L TE

當 很小(如：0.03)時，部份的_{1 (1)}

3 ) 2 (

log 3

e

e 值不存在（因為₁ 0.03相關性小，

導致e 的估計產生負的(註：ˆ₃ e =ˆ_{3 2}

 ˆ 1

 

^ˆ

，

^ˆ

為迴歸線的斜率)），因此，此時無法 找到 95%的信賴區間，也就無法判斷兩組樣本是否來自不同母體。

) 1 ( 3 ) 2 ( 3

ˆ log ˆ

e

e

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將模擬資料的結果圖 3-1~圖 3-9 進一步整理可得下表(3-1)：

表 3-1：假設₁² ₃² 1，₂² ₄² 1 (或 2, 3,…, 10)， 值變動下，₁ 對應的不可判別及可判別的 值區間₂

由表 3-1 可得知，當₁² ₃² 1以及₂² ₄² 1 (或 2, 3,…, 10)，但 值₁ 變動，不可判別的 值區間也跟隨著變動，但可簡化(亦即在最差的情況下)為₂ 不可判別的 值區間全都落在 (₂  -0.04,₁  +0.04) 區間內。利用₁  及₁  (或₂

 及3  )的對稱性，可得以下結論：當₄  ₁² ₃²及 ₂² ₄²，且變異數值介於 1 到 10 之間，則當  0.04 時，不可判別的₁  值包含於 (₂  -0.04,₁  +0.04)，₁ 此即為簡化的(或最差的)區間。

 值1 不可判別的 值區間₂ 可判別的 值區間₂ ¹ 0.04 0.031 ~ 0.075 (包含於 0.04 0.04) ( 0.075 , 1) 0.05 0.03 ~ 0.08 (包含於 0.05 0.03) ( 0.08 , 1) 0.07 0.036 ~ 0.099 (包含於 0.07 0.04) ( 0.099 , 1)

0.1 0.07 ~ 0.13 (亦即 0.1 0.03) ( 0.04 , 0.07)



( 0.13 , 1) 0.3 0.27 ~ 0.33 (亦即 0.3 0.03) ( 0.04 , 0.27)



( 0.33 , 1) 0.5 0.48 ~ 0.52 (亦即 0.5 0.02) ( 0.04 , 0.48)



( 0.52 , 1) 0.7 0.69 ~ 0.71 (亦即 0.7 0.01) ( 0.04 , 0.69)



( 0.71 , 1) 0.9 0.896 ~ 0.904 (亦即 0.9 0.004) ( 0.04 , 0.896)



( 0.904 , 1)

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Case B-(1)：

固定 =1, 2,…, 10，₃²  =₂²  =1，₄²  =₁  =0.1 時，在估計_{2 (1)}

3 ) 2 (

log 3

e

e 的 95%

信賴區間下，觀察 的區間變化，特別是當₁²  的值在什麼範圍內，會使得估計₁²

) 1 ( 3 ) 2 (

log 3

e

e 的 95%信賴區間值不包含 0。以下亦稱此範圍為可判別的 值區間。₁²

模擬結果如下：

圖 3-10：不相容性的變化圖

(₃²

 1

，₂²



₄²

 1

， = 0.1，₁  = 0.1，₂ ₁²



0.1, 0.2,… , 3)

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3

MEAN U L TE

在 95%的信心水準下，發現 的值在 0.5~1.9 這個區間外時，信賴區間的₁² 值不包含 0。

2

1

^的值

)

1 ( 3 ) 2 ( 3

ˆ log ˆ

e

e

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圖 3-11：不相容性的變化圖

( =2，₃² ₂²



₄²

 1

， =0.1，₁  =0.1，₂ ₁²



0.1, 0.2,… , 4)

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 4 MEAN U L TE

在 95%的信心水準下，發現 的值在 1.1~3.7 這個區間外時，信賴區間的₁² 值不包含 0。

圖 3-12：不相容性的變化圖

( =3，₃² ₂²



₄²

 1

， =0.1，₁  =0.1，₂ ₁²



0.1, 0.2,… , 7)

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1

0.1 0.4 0.7 1 1.3 1.6 1.9 2.2 2.5 2.8 3.1 3.4 3.7 4 4.3 4.6 4.9 5.2 5.5 5.8 6.1 6.4 6.7 7

MEAN U L TE

在 95%的信心水準下，發現 的值在 1.6~5.4 這個區間外時，信賴區間的₁²

2

1

的值

) 1 ( 3 ) 2 ( 3

ˆ log ˆ

e e

2

1

的值

) 1 ( 3 ) 2 ( 3

ˆ log ˆ

e

e

‧ 國

立 政 治 大 學

‧

N a tio na

l C h engchi U ni ve rs it y

( =4，₃² ₂²



₄²

 1

， =0.1，₁  =0.1，₂ ₁²



1, 1.1,… , 9)

-1.2 -1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8

1 1.4 1.8 2.2 2.6 3

3.4 3.8 4.2 4.6 5

5.4 5.8 6.2 6.6 7

7.4 7.8 8.2 8.6 9

MEAN U L TE

在 95%的信心水準下，發現 的值在 2.2~7.2 這個區間外時，信賴區間的值₁² 不包含 0。

圖 3-14：不相容性的變化圖

( =5，₃² ₂²



₄²

 1

， =0.1，₁  =0.1，₂ ₁²



2, 2.1,… , 11)

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8

2 2.4 2.8 3.2 3.6 4 4.4 4.8 5.2 5.6 6 6.4 6.8 7.2 7.6 8 8.4 8.8 9.2 9.6 10 10.4 10.8

MEAN U L TE

在 95%的信心水準下，發現 的值在 2.8~9.4 這個區間外時，信賴區間的₁²

2

1

的值

) 1 ( 3 ) 2 ( 3

ˆ log ˆ

e e

2

1

^的值

)

1 ( 3 ) 2 ( 3

ˆ log ˆ

e

e

‧ 國

立 政 治 大 學

‧

N a tio na

l C h engchi U ni ve rs it y

圖 3-15：不相容性的變化圖

( =6，₃² ₂²



₄²

 1

， =0.1，₁  =0.1，₂ ₁²



3, 3.1,… ,12)

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8

3 3.4 3.8 4.2 4.6 5

5.4 5.8 6.2 6.6 7

7.4 7.8 8.2 8.6 9

9.4 9.8 10.2

10.6 11 11.4 11.8

MEAN U L TE

在 95%的信心水準下，發現 的值在 3.3~11.1 這個區間外時，信賴區間的₁² 值不包含 0。

圖 3-16：不相容性的變化圖

( =7，₃² ₂²



₄²

 1

， =0.1，₁  =0.1，₂ ₁²



3, 3.1,… ,14)

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8

3 3.8 4.6 5.4 6.2 7 7.8 8.6 9.4

10.2 11 11.8

12.6 13.4

MEAN U L TE 2

1

的值

) 1 ( 3 ) 2 ( 3

ˆ log ˆ

e e

2

1

的值

) 1 ( 3 ) 2 ( 3

ˆ log ˆ

e

e

‧ 國

立 政 治 大 學

‧

N a tio na

l C h engchi U ni ve rs it y

( =8，₃² ₂²



₄²

 1

， =0.1，₁  =0.1，₂ ₁²



3, 3.1,… , 17)

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8

3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 1010.5 11 11.5 12 12.5 1313.5 1414.5 15 15.5 16 16.5 17

MEAN U L TE

在 95%的信心水準下，發現 的值在 4.2~14.3 這個區間外時，信賴區間的₁² 值不包含 0。

圖 3-18：不相容性的變化圖

( =9，₃² ₂²



₄²

 1

， =0.1，₁  =0.1，₂ ₁²



4, 4.1,… , 19)

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8

4 4.6 5.2 5.8 6.4 7 7.6 8.2 8.8 9.4 10 10.6 11.2 11.8 12.4 13 13.6 14.2 14.8 15.4 16 16.6 17.2 17.8 18.4 19

MEAN U L TE

在 95%的信心水準下，發現 的值在 5.2~16.3 這個區間外時，信賴區間的₁²

2

1

的值

) 1 ( 3 ) 2 ( 3

ˆ log ˆ

e e

2

1

的值

) 1 ( 3 ) 2 ( 3

ˆ log ˆ

e

e

‧ 國

立 政 治 大 學

‧

N a tio na

l C h engchi U ni ve rs it y

圖 3-19：不相容性的變化圖

( =10，₃² ₂²



₄²

 1

， =0.1，₁  =0.1，₂ ₁²



4, 4.1,… , 20)

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8

4 4.6 5.2 5.8 6.4 7 7.6 8.2 8.8 9.4 10 10.6 11.211.8 12.4 13 13.6 14.2 14.8 15.4 16 16.6 17.217.8 18.4 1919.6

MEAN U L TE

在 95%的信心水準下，發現 的值在 5.6~17.9 個區間外時，信賴區間的值₁² 不包含 0。

圖 3-20：不相容性的變化圖

( =20，₃² ₂²



₄²

 1

， = 0.1，₁  = 0.1，₂ ₁²



10, 10.1,… , 40)

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8

10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40

MEAN U L TE

在 95%的信心水準下，發現 的值在 11~36 這個區間外時，信賴區間的值₁²

2

1

的值

) 1 ( 3 ) 2 ( 3

ˆ log ˆ

e e

2

1

^的值

)

1 ( 3 ) 2 ( 3

ˆ log ˆ

e

e

‧ 國

立 政 治 大 學

‧

N a tio na

l C h engchi U ni ve rs it y

固定 =1, 2,…, 10，₃²  =₂²  =1，₄²  =₁  =0.2 時，在估計_{2 (1)}

3 ) 2 (

log 3

e

e 的 95%

信賴區間下，觀察 的區間變化，特別是當₁²  的值在什麼範圍內，會使得估計₁²

) 1 ( 3 ) 2 (

log 3

e

e 的 95%信賴區間值不包含 0。此範圍亦即為可判別的 值區間。₁²

模擬結果如下：

圖 3-21：不相容性的變化圖

(₃²

 1

，₂²



₄²

 1

， = 0.2，₁  = 0.2，₂ ₁²



0.1, 0.2,… , 2)

-1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2

MEAN U L TE

在 95%的信心水準下，發現 的值在 0.7~1.4 這個區間外時，信賴區間的₁² 值不包含 0。

2

1

的值

) 1 ( 3 ) 2 ( 3

ˆ log ˆ

e

e

‧ 國

立 政 治 大 學

‧

N a tio na

l C h engchi U ni ve rs it y

圖 3-22：不相容性的變化圖

( =2，₃² ₂²



₄²

 1

， =0.2，₁  =0.2，₂ ₁²



0.1, 0.2,… , 4)

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1

0.1 0.3 0.5 0.7 0.9 1.1 1.3 1.5 1.7 1.9 2.1 2.3 2.5 2.7 2.9 3.1 3.3 3.5 3.7 3.9

MEAN U L TE

在 95%的信心水準下，發現 的值在 1.4~2.7 這個區間外時，信賴區間的₁² 值不包含 0。

圖 3-23：不相容性的變化圖

( =3，₃² ₂²



₄²

 1

， =0.2，₁  =0.2，₂ ₁²



0.1, 0.2,… , 6)

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1

0.1 0.4 0.7 1

1.3 1.6 1.9 2.2 2.5 2.8 3.1 3.4 3.7 4

4.3 4.6 4.9 5.2 5.5 5.8 MEAN

U L TE

在 95%的信心水準下，發現 的值在 2.2~4.1 這個區間外時，信賴區間的₁²

2

1

的值

) 1 ( 3 ) 2 ( 3

ˆ log ˆ

e e

2

1

^的值

)

1 ( 3 ) 2 ( 3

ˆ log ˆ

e

e

‧ 國

立 政 治 大 學

‧

N a tio na

l C h engchi U ni ve rs it y

( =4，₃² ₂²



₄²

 1

， =0.2，₁  =0.2，₂ ₁²



1, 1.1,… , 7)

-1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6

1 1.3 1.6 1.9 2.2 2.5 2.8 3.1 3.4 3.7 4 4.3 4.6 4.9 5.2 5.5 5.8 6.1 6.4 6.7 7

MEAN U L TE

在 95%的信心水準下，發現 的值在 2.9~5.4 這個區間外時，信賴區間的值₁² 不包含 0。

圖 3-25：不相容性的變化圖

( =5，₃² ₂²



₄²

 1

， =0.2，₁  =0.2，₂ ₁²



2, 2.1,… , 8)

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6

2 2.3 2.6 2.9 3.2 3.5 3.8 4.1 4.4 4.7 5 5.3 5.6 5.9 6.2 6.5 6.8 7.1 7.4 7.7 8

MEAN U L TE

在 95%的信心水準下，發現 的值在 3.7~6.8 這個區間外時，信賴區間的₁²

2

1

的值

) 1 ( 3 ) 2 ( 3

ˆ log ˆ

e e

2

1

^的值

)

1 ( 3 ) 2 ( 3

ˆ log ˆ

e

e

‧ 國

立 政 治 大 學

‧

N a tio na

l C h engchi U ni ve rs it y

圖 3-26：不相容性的變化圖

( =6，₃² ₂²



₄²

 1

， =0.2，₁  =0.2，₂ ₁²



3, 3.1,… ,10)

-0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

3 3.3 3.6 3.9 4.2 4.5 4.8 5.1 5.4 5.7 6

6.3 6.6 6.9 7.2 7.5 7.8 8.1 8.4 8.7 9

9.3 9.6 9.9

MEAN U L TE

在 95%的信心水準下，發現 的值在 4.4~8.1 這個區間外時，信賴區間的₁² 值不包含 0。

圖 3-27：不相容性的變化圖

( =7，₃² ₂²



₄²

 1

， =0.2，₁  =0.2，₂ ₁²



4, 4.1,… ,11)

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

4 4.3 4.6 4.9 5.2 5.5 5.8 6.1 6.4 6.7 7 7.3 7.6 7.9 8.2 8.5 8.8 9.1 9.4 9.7 10 10.3

10.6 10.9

MEAN U L TE 2

1

^的值

)

1 ( 3 ) 2 ( 3

ˆ log ˆ

e e

2

1

的值

) 1 ( 3 ) 2 ( 3

ˆ log ˆ

e

e

‧ 國

立 政 治 大 學

‧

N a tio na

l C h engchi U ni ve rs it y

( =8，₃² ₂²



₄²

 1

， =0.2，₁  =0.2，₂ ₁²



5, 5.1,… , 13)

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

5 5.4 5.8 6.2 6.6 7 7.4 7.8 8.2 8.6 9 9.4 9.8 10.2

10.6 11 11.4

11.8 12.2

12.6 13

MEAN U L TE

在 95%的信心水準下，發現 的值在 6~10.9 這個區間外時，信賴區間的值₁² 不包含 0。

圖 3-29：不相容性的變化圖

( =9，₃² ₂²



₄²

 1

， =0.2，₁  =0.2，₂ ₁²



5, 5.1,… , 13)

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4

5 5.4 5.8 6.2 6.6 7

7.4 7.8 8.2 8.6 9

9.4 9.8 10.2

10.6 11 11.4 11.8

12.2 12.6 13

MEAN U L TE

在 95%的信心水準下，發現 的值在 6.6~12.2 這個區間外時，信賴區間的₁²

2

1

^的值

)

1 ( 3 ) 2 ( 3

ˆ log ˆ

e e

2

1

^的值

)

1 ( 3 ) 2 ( 3

ˆ log ˆ

e

e

‧ 國

立 政 治 大 學

‧

N a tio na

l C h engchi U ni ve rs it y

圖 3-30：不相容性的變化圖

( =10，₃² ₂²



₄²

 1

， =0.2，₁  =0.2，₂ ₁²



6, 6.1,… , 15)

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4

6 6.4 6.8

7.2 7.6 8

8.4 8.8

9.2

9.6 10 10.4 10.8

11.2

11.6 12 12.4 12.8

13.2

13.6 14 14.4 14.8

MEAN U L TE

在 95%的信心水準下，發現 的值在 7.4~13.4 這個區間外時，信賴區間的₁² 值不包含 0。

圖 3-31：不相容性的變化圖

( =20，₃² ₂²



₄²

 1

， = 0.2，₁  = 0.2，₂ ₁²



13, 13.1,… , 28)

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4

13 13 .9 14 .8

15 .7 16 .6

17 .5 18 .4

19 .3 20 .2

21 .1 22 22 .9

23 .8 24 .7

25 .6 26 .5

27 .4

MEAN U L TE

在 95%的信心水準下，發現 的值在 14.9~27.1 這個區間外時，信賴區間₁²

2

1

的值

) 1 ( 3 ) 2 ( 3

ˆ log ˆ

e e

2

1

^的值

)

1 ( 3 ) 2 ( 3

ˆ log ˆ

e

e

‧ 國

立 政 治 大 學

‧

N a tio na

l C h engchi U ni ve rs it y

固定 =1, 2,…, 10，₃²  =₂²  =1，₄²  =₁  =0.3 時，在估計_{2 (1)}

3 ) 2 (

log 3

e

e 的 95%

信賴區間下，觀察 的區間變化，特別是當₁²  的值在什麼範圍內，會使得估計₁²

) 1 ( 3 ) 2 (

log 3

e

e 的 95%信賴區間值不包含 0。此範圍亦即為可判別的 值區間。₁²

模擬結果如下：

圖 3-32：不相容性的變化圖

(₃²

 1

，₂²



₄²

 1

， = 0.3，₁  = 0.3，₂ ₁²



0.1, 0.2,… , 2)

-1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2 MEAN U L TE

在 95%的信心水準下，發現 的值在 0.8~1.3 這個區間外時，信賴區間的₁² 值不包含 0。

2

1

的值

) 1 ( 3 ) 2 ( 3

ˆ log ˆ

e

e

‧ 國

立 政 治 大 學

‧

N a tio na

l C h engchi U ni ve rs it y

圖 3-33：不相容性的變化圖

( =2，₃² ₂²



₄²

 1

， =0.3，₁  =0.3，₂ ₁²



1，1.1, ,… , 4)

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4 3.6 3.8 4

MEAN U L TE

在 95%的信心水準下，發現 的值在 1.6~2.5 這個區間外時，信賴區間的₁² 值不包含 0。

圖 3-34：不相容性的變化圖

( =3，₃² ₂²



₄²

 1

， =0.3，₁  =0.3，₂ ₁²



2, 2.1,… , 5)

-0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4

2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 4 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5

MEAN U L TE

在 95%的信心水準下，發現 的值在 2.4~3.7 這個區間外時，信賴區間的₁²

2

1

的值

) 1 ( 3 ) 2 ( 3

ˆ log ˆ

e e

2

1

^的值

)

1 ( 3 ) 2 ( 3

ˆ log ˆ

e

e

‧ 國

立 政 治 大 學

‧

N a tio na

l C h engchi U ni ve rs it y

( =4，₃² ₂²



₄²

 1

， =0.3，₁  =0.3，₂ ₁²



2, 2.1,… , 6)

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4

2 2.2 2.4 2.6 2.8 3

3.2 3.4 3.6 3.8 4

4.2 4.4 4.6 4.8 5

5.2 5.4 5.6 5.8 6

MEAN U L TE

在 95%的信心水準下，發現 的值在 3.2~4.9 這個區間外時，信賴區間的值₁² 不包含 0。

圖 3-36：不相容性的變化圖

( =5，₃² ₂²



₄²

 1

， =0.3，₁  =0.3，₂ ₁²



3, 3.1,… , 8)

-0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4

3 3.3 3.6 3.9 4.2 4.5 4.8 5.1 5.4 5.7 6 6.3 6.6 6.9 7.2 7.5 7.8

MEAN U L TE

在 95%的信心水準下，發現 的值在 4.1~6.1 這個區間外時，信賴區間的₁²

2

1

^的值

)

1 ( 3 ) 2 ( 3

ˆ log ˆ

e e

2

1

^的值

)

1 ( 3 ) 2 ( 3

ˆ log ˆ

e

e

‧ 國

立 政 治 大 學

‧

N a tio na

l C h engchi U ni ve rs it y

圖 3-37：不相容性的變化圖

( =6，₃² ₂²



₄²

 1

， =0.3，₁  =0.3，₂ ₁²



3, 3.1,… ,9)

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4

3 3.2 3.4 3.6 3.8 4 4.2 4.4 4.6 4.8 5 5.2 5.4 5.6 5.8 6 6.2 6.4 6.6 6.8 7 7.2 7.4 7.6 7.8 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9

MEAN U L TE

在 95%的信心水準下，發現 的值在 4.9~7.4 這個區間外時，信賴區間的₁² 值不包含 0。

圖 3-38：不相容性的變化圖

( =7，₃² ₂²



₄²

 1

， =0.3，₁  =0.3，₂ ₁²



4, 4.1,… ,10)

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4

4 4.2 4.4 4.6 4.8 5

5.2 5.4 5.6 5.8 6

6.2 6.4 6.6 6.8 7

7.2 7.4 7.6 7.8 8

8.2 8.4 8.6 8.8 9

9.2 9.4 9.6 9.8 10

MEAN U L TE 2

1

^的值

)

1 ( 3 ) 2 ( 3

ˆ log ˆ

e e

2

1

的值

) 1 ( 3 ) 2 ( 3

ˆ log ˆ

e

e

‧ 國

立 政 治 大 學

‧

N a tio na

l C h engchi U ni ve rs it y

( =8，₃² ₂²



₄²

 1

， =0.3，₁  =0.3，₂ ₁²



6, 6.1,… , 12)

-0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3

5 5.4 5.8

6.2

6.6 7

7.4 7.8

8.2

8.6 9

9.4 9.8

10.2

10.6 11

MEAN U L TE

在 95%的信心水準下，發現 的值在 6.5~9.8 這個區間外時，信賴區間的₁² 值不包含 0。

圖 3-40：不相容性的變化圖

( =9，₃² ₂²



₄²

 1

， =0.3，₁  =0.3，₂ ₁²



6,6.1,… , 12)

-0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0.0 0.1 0.2 0.3

6 6.3 6.6 6.9 7.2 7.5 7.8 8.1 8.4 8.7 9 9.3 9.6 9.9

10.2 10.5

10.8 11.1

11.4 11.7 12

MEAN U L TE

在 95%的信心水準下，發現 的值在 7.5~11.1 這個區間外時，信賴區間的₁²

2

1

^的值

)

1 ( 3 ) 2 ( 3

ˆ log ˆ

e e

2

1

^的值

)

1 ( 3 ) 2 ( 3

ˆ log ˆ

e

e

‧ 國

立 政 治 大 學

‧

N a tio na

l C h engchi U ni ve rs it y

圖 3-41：不相容性的變化圖

( =10，₃² ₂²



₄²

 1

， =0.3，₁  =0.3，₂ ₁²



7, 7.1,… , 13)

-0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3

7 7.3 7.6 7.9 8.2 8.5 8.8 9.1 9.4 9.7 10 10.3

10.6 10.9

11.2 11.5

11.8 12.1

12.4 12.7 13

MEAN U L TE

在 95%的信心水準下，發現 的值在 8.2~12.3 個區間外時，信賴區間的值₁² 不包含 0。

圖 3-42：不相容性的變化圖

( =20，₃² ₂²



₄²

 1

， = 0.3，₁  = 0.3，₂ ₁²



15, 15.1,… , 25)

-0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3

15 15.4 15.8

16.2

16.6 17 17.4 17.8

18.2

18.6 19 19.4 19.8

20.2

20.6 21 21.4 21.8

22.2

22.6 23 23.4 23.8

24.2 24.6 25

MEAN U L TE

在 95%的信心水準下，發現 的值在 16.4~24.4 這個區間外時，信賴區間₁²

在 95%的信心水準下，發現 的值在 16.4~24.4 這個區間外時，信賴區間₁²

在文檔中 二維聯合分配下條件常態分配相容性之探討 - 政大學術集成 (頁 8-0)