检错与纠错

3.1.1 考点分析

历年网络工程师考试试题涉及本部分的相关知识点有：基本概念、海明码、CRC 编码。

3.1.2 知识点精讲  1．基本概念

通信链路都不是完全理想的。比特在传输的过程中可能会产生比特差错，即 1 可能会变成 0， 

0 也可能变成 1。

一帧包含 m 个数据位（即报文）和 r 个冗余位（校验位）。假设帧的总长度为 n，则有 n=m+r。

包含数据和校验位的 n 位单元通常称为 n 位码字（codeword）。

海明码距（码距）是两个码字中不相同的二进制位的个数；两个码字的码距是一个编码系统 中任意两个合法编码（码字）之间不同的二进数位数；编码系统的码距是整个编码系统中任意两 个码字的码距的最小值。误码率是传输错误的比特占所传输比特总数的比率。

例 1：如图 3­2 所示给出了一个编码系统，用两个比特位表示 4 个不同信息。任意两个码字之 间不同的比特位数从 1 到 2 不等，但最小值为 1，故该编码系统的码距为 1。

二进码字 

a2  a1 

0  0  0 

1  0  1 

2  1  0 

3  1  1 

图 3­2  码距为 1 的编码系统

第1天

如果任何码字中的一位或多位被颠倒或出错了，结果中的码字仍然是合法码字。例如，如果 传送信息 10，而被误收为 11，因 11 是合法码字，所以接收方仍然认为 11 是正确的信息。

然而，如果用 3 个二进位来编 4 个码字，那么码字间的最小距离可以增加到 2，如图 3­3 所示。

二进码字 

a3  a2  a1 

0  0  0  0 

1  0  0  1 

2  1  1  0 

3  1  1  1 

图 3­3  改进后码距为 2 的编码系统

这里任意两个码字相互间最少有两个比特位的差异。 因此， 如果任何信息中的一个比特位出错，

那么将成为一个不用的码字，接收方能检查出来。例如信息是 001，因出错成为了 101，101 不是 合法码字，这样接收方就能发现出错了。

海明研究发现， 检测 d 个错误，则编码系统码距≥d+1； 纠正 d 个错误，则编码系统码距>2d。 

2．海明码

海明码是一种多重奇偶检错系统， 它具有检错和纠错的功能。 海明码中的全部传输码字是由原 来的信息和附加的奇偶校验位组成的。 每一个这种奇偶校验位和信息位被编在传输码字的特定位置 上。这种系统组合方式能找出错误出现的位置，无论是原有信息位，还是附加校验位。

设海明码校验位为 k，信息位为 m，则它们之间的关系应满足 m+k+1≤2 ^k 。 下面以原始信息 101101 为例，讲解海明码的推导与校验的过程。

（1）确定海明码校验位长。 

m 是信息位长，则 m=6。根据关系式 m+k+1≤2 ^k ，得到 7+k≤2 ^k 。解不等式得到最小 k 为 4，

即校验位为 4。信息位加校验的总长度为 10 位。

（2）推导海明码。 

1）填写原始信息。

从理论上讲，海明码校验位可以放在任何位置，但习惯上校验位被从左至右安排在  1、2、4、 

8、…的位置上。原始信息则从左至右填入剩下的位置。如图 3­4 所示，校验位处于 B1、B2、B4、 

B8 位，剩下位为信息位，信息位依从左至右的顺序先行填写完毕。

图 3­4  填入原始信息位

第1天 

2）计算校验位。

依据公式得到校验位： 

P1=B3ÅB5ÅB7ÅB9=1Å0Å1Å0=0  P2=B3ÅB6ÅB7ÅB10=1Å1Å1Å1=0  P3=B5ÅB6ÅB7=0Å1Å1=0 

P4=B9ÅB10=0Å1=1  （3­1）

注：Å 表示异或运算。

这个公式常用，但是直接死记硬背比较困难，只能换个方式进行理解记忆。

把除去 1、2、4、8（校验位位置值编号）之外的 3、5、6、7、9、10 值转换为二进制位，如 表 3­1 所示。

表 3­1  二进制与十进制转换表

信息位 信息位编号的十进制 信息位编号的二进制

第 4 位 第 3 位 第 2 位 第 1 位 

B3  3  0  0  1  1 

B5  5  0  1  0  1 

B6  6  0  1  1  0 

B7  7  0  1  1  1 

B9  9  1  0  0  1 

B10  10  1  0  1  0 

将所有信息编号的二进制的第 1 位为 1 的 Bi 进行“异或”操作，结果填入 P1。即上面讲的  P1=B3ÅB5ÅB7ÅB9=1Å0Å1Å0=0；

所有信息编号的二进制的第  2  位为  1  的  Bi  进行“异或”操作，结果填入  P2。即上面讲的  P2=B3ÅB6ÅB7ÅB10=1Å1Å1Å1=0；

依此类推，将所有信息编号的二进制的第 3 位为 1 的 Bi 进行“异或”操作，结果填入 P3；将 所有信息编号的二进制的第 4 位为 1 的 Bi 进行“异或”操作，结果填入 P4。

填入校验位后得到图 3­5。

图 3­5  加入校验码后的信息

第1天

（3）校验。

将所有信息位位置编号 1～10 的值转换为二进制位，如表 3­2 所示。

表 3­2  二进制与十进制转换表

信息位 信息位编号的十进制 信息位编号的二进制

第 4 位 第 3 位 第 2 位 第 1 位 

B1  1  0  0  0  1 

B2  2  0  0  1  0 

B3  3  0  0  1  1 

B4  4  0  1  0  0 

B5  5  0  1  0  1 

B6  6  0  1  1  0 

B7  7  0  1  1  1 

B8  8  1  0  0  0 

B9  9  1  0  0  1 

B10  10  1  0  1  0 

将所有信息编号的二进制的第 1 位为 1 的 Bi 进行“异或”操作，得到 X1；

将所有信息编号的二进制的第 2 位为 1 的 Bi 进行“异或”操作，得到 X2；

将所有信息编号的二进制的第 3 位为 1 的 Bi 进行“异或”操作，得到 X4；

将所有信息编号的二进制的第 4 位为 1 的 Bi 进行“异或”操作，得到 X8。

即公式： 

X1=B1ÅB3ÅB5ÅB7ÅB9  X2=B2ÅB3ÅB6ÅB7ÅB10  X4=B4ÅB5ÅB6ÅB7 

X8=B8ÅB9ÅB10  （3­2）

得到一个形式为 X8X4X2X1 的二进制，转换为十进制时，结果为 0，则无错；结果非 0（假设 为 Y），则错误发生在第 Y 位。

假设起始端发送加了上述校验码信息之后，目的端收到的信息为 0010111101，如图 3­6 所示。

图 3­6  接收信息为 0010111101

第1天 校验码 （Cyclical Redundancy Check， CRC） 进行错误检测。 CRC 编码又称为多项式编码 （polynomial  code）。CRC 的基本思想是把位串看成系数为 0 或 1 的多项式，一个 k 位的帧看成是一个 k­1 次多 项式的系数列表，该多项式有 k 项，从 x ^k­1 到 x ⁰ 。这样的多项式就是 k­1 阶多项式，该多项式形为  A1x ^k­1 +A2x ^k­2 +⋯+An­2x ¹ +An­1x ⁰ ：。例如，1101 有 4 位，可以代表一个 3 阶多项式，系数为 1、1、0、 

1，即 x ³ +x ² +1。

使用 CRC 编码，需要先商定一个生成多项式（generator polynomial）G(x)。生成多项式的最 高位和最低位必须是 1。假设原始信息有 m 位，则对应多项式 M(x)。生成校验码思想就是在原始

10011  101100000  10011 

第1天

得到余数 1111。注意：余数不足 r，则余数左边用若干个 0 补齐。如求得余数为 11，r=4，则 补两个 0 得到 0011。 

3）将余数添加到原始信息后。

上例中，原始信息为 10110，添加余数 1111 后，结果为 10110 1111。

（2）CRC 校验。 

CRC 校验过程与生成过程类似，接收方接收了带校验和的帧后，用多项式 G(x)来除。余数为  0，则表示信息无错；否则要求发送方进行重传。

注意：收发信息双方需使用相同的生成多项式。

（3）常见的 CRC 生成多项式。 

CRC–16=x ¹⁶ +x ¹⁵ +x ² +1。该多项式用于 FR、X.25、HDLC、PPP 中，用于校验除帧标志位外的 全帧。

CRC–32=x ³² +x ²⁶ +x ²³ +x ²² +x ¹⁶ +x ¹² +x ¹¹ +x ¹⁰ +x ⁸ +x ⁷ +x ⁵ +x ⁴ +x ² +x+1 。 该 多 项 式 用 于 校 验 以 太 网

（802.3） 帧 （不含前导和帧起始符）、 令牌总线 （802.4） 帧 （不含前导和帧起始符）、 令牌环 （802.5）

帧（从帧控制字段到 LLC 层数据）、FDDI 帧（从帧控制字段到 INFO）和 ATM 全帧和 PPP 除帧标 志位外的全帧。