有一个颠扑 不 破 的 真 理 ,那就是当我们不能确定什么 是真的时 ,我们就应该去探求什么是最可能的.
———笛卡儿
在现实生活中,我们会遇到许多较为复杂的概率问题.例如:
工厂生产的一批产品共N 件,其中有 M 件不合格品,在随机取 出的n 件产品中,不合格品数 X 的可能值有哪些? 它们的概率各是 多少?
种植n 粒棉花种子,每一粒种子可能出苗,也可能不出苗,其出 苗率为67%.问:出苗数y 的可能值有哪些? 它们的概率各是多少?
● 用怎样的数学模型刻画上述问题?
● 如何运用这些数学模型解决相关的实际问题?
2. 1 随机变量及其概率分布
在一块地里种下10棵树苗,成活的树苗棵数 X 是0,1,…,10 中的某个数;
抛掷一颗骰子,向上的点数Y 是1,2,3,4,5,6中的某一个数;
新生婴儿的性 别,抽查的结果可能是男,也可能是女.如果将男 婴用0表示,女婴用1表示,那么抽查的结果Z 是0和1中的某个数;
……
● 上述现象有哪些共同特点?
上述现象中的X,Y,Z,实际上是把每个随机试验的基本事件都 对应一个确定的 实 数,即在试验结果(样本点)与实数之间建立了一 个映射.
例如,上面的植树问题中成活的树苗棵数 X:
X =0,表示成活0棵;
X =1,表示成活1棵;
“X>7”表示什么
意思? ……
一般地,如果随机试验的结果可以用一个变量来表示,那么这样 的变量叫做随机变量(randomvariable).通常用大写拉丁字母 X,Y, Z(或小写希腊字母ξ,η,ζ)等表示,而用小写拉丁字母x,y,z(加上
适当下标)等表示随机变量取的可能值.
引入随机变量后,随机试验中我们感兴趣的事件就可以通过随 机变量的取值表达出来.
上面新生婴儿的性别Z 是一个随机变量,Z =0,表示新生婴儿 是男婴;Z =1,表示新生婴儿是女婴.
例1 (1)掷一枚质地均匀的硬币1次,若用 X 表示掷得正面的次 数,则随机变量 X 的可能取值有哪些?
(2)一个实验箱中装 有 标 号 为 1,2,3,3,4 的 5 只 白 鼠,若 从 中 任 取1只,记 取 到 的 白 鼠 的 标 号 为Y,则 随 机 变 量Y 的 可 能 取 值 有 哪 些?
解 (1)抛掷硬币是随机试验,结果有两种可能,一种是正面向上,另 一种是反面向上,所以变量 X 的取值可能是1(正面向上),也可能是 0(反面向上),故随机变量 X 的取值构成集合{0,1}.
(2)根据条件可知,随机变量Y 的可能值有4种,它的取值集合 是{1,2,3,4}.
引入了随机变量后,随机事件就可以用随机变量来表示了.
在例1(1)中,随机事件“掷一枚硬币,正面向上”可以用随机变量 表示为{X=1},随机事件“掷一枚硬币,反面向上”可以用随机变量表 示为{X=0}.
在 例1(2)中,也可用 {Y =1},{Y =2},{Y =3},{Y =4}分 别表示取到1号、2号、3号和4号白鼠这4个随机事件.另一方面,在 例1(2)中,可以用{Y ≤3}这样的记号表示“取到1号、2号或3号白 鼠”这件事情.也就 是 说,复 杂 的 事 件 也 可 以 用 随 机 变 量 的 取 值 来 表示.
这 样,我们就可以用随 机 事 件 发 生 的 概 率 来 表 示 随 机 变 量 取 值 的 概 率 了.如 例 1(1)中 {X = 1}的 概 率 可 以 表 示 为 P({X = 1})= P{掷一枚硬币,正面向上}= 12,其中 P({X =1})常简记
为P(X =1).同理,P(X =0)= 12.这 一 结 果 可 用 表2 1 1来 描 述.
表2 1 1
X 0 1
P 1
2 1
2
例1(2)中随机变量Y 所表示的随机事件发生的概率也可用表 2 1 2来描述.
表2 1 2
Y 1 2 3 4
P 1
5 1
5 2
5 1
5
上面的两个表格分别给出了随机变量 X,Y 表示的随机事件的 概率,描述了随机变量的分布规律.
一般地,假定 随 机 变 量 X 有n 个 不 同 的 取 值,它 们 分 别 是 x1, x2,…,xn,且
P(X =xi)=pi,i=1,2,…,n, ① 则称①为随机变量X 的概 率 分 布 列,简称为 X 的分布列.也可以将
①用表2 1 3的形式来表示.
概 率
第2章表2 1 3
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
我们将表2 1 3称为随机变量 X 的概率分布表.它和①都叫 做随机变量X 的概率分布(probabilitydistribution).
显然,这里的pi(i=1,2,…,n)满足条件 pi≥0,
p1+p2+ … +pn =1.
例2 从装有6只白球和4只红球的口袋中任取1只球,用 X 表示
“取到的白球个数”,即
X= 1,当取到白球时, 0,当取到红球时, 求随机变量X 的概率分布.
解 由题意知
P(X =0)= 46+4=2 5, P(X =1)= 66+4=3
5,
故随机变量X 的概率分布列为P(X =0)= 25,P(X =1)= 35,概 率分布表如下.
表2 1 4
X 0 1
P 2
5 3
5
在例2中,随机变量 X 只取两个可能值0和1.像这样的例子还有 很多,如:在射击中,只考虑“命中”与“不命中”;对产品进行检验时,只 关心“合格”与“不合格”.我们把这一类概率分布称为0 1分布或两点 分布,并记为 X~0 1分布或X~两点分布.此处“~”表示“服从”.
例3 同时掷两颗质地均匀的骰子,观察朝上一面出现的点数.求两 颗骰子中出现的较大点数X 的概率分布,并求 X 大于2小于5的概 率P(2<X<5).
解 依题 意 易 知,掷 两 颗 骰 子 出 现 的 点 数 有 36 种 等 可 能 的 情 况:
(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),…,(6,5), (6,6).因而 X 的可能取值为1,2,3,4,5,6,详见表2 1 5.
表2 1 5
X 的值 出 现 的 点 情况数
1 (1,1) 1
2 (2,2)(2,1)(1,2) 3
3 (3,3)(3,2)(3,1)(2,3)(1,3) 5 4 (4,4)(4,3)(4,2)(4,1)(3,4)(2,4)(1,4) 7 5 (5,5)(5,4)(5,3)(5,2)(5,1)(4,5)(3,5)(2,5)(1,5) 9 6 (6,6)(6,5)(6,4)(6,3)(6,2)(6,1)(5,6)(4,6)(3,6)(2,6)(1,6) 11
由古典概型可知 X 的概率分布如表2 1 6所示.
表2 1 6
X 1 2 3 4 5 6
P 1
36 3
36 5
36 7
36 9
36 11 36
从而
P(2< X <5)=P(X =3)+P(X =4)
= 536+7 36=1
3.
思 考
在例3中,求两颗骰子出现较小点数Y 的概率分布.练 习
1.你每次接听电话的时间长度是一个随机变量吗?2.引入随机变量后,( ).
A.随机事件个数与随机变量一一对应 B.随机变量与区间一一对应
C.随机变量的取值是实数 D.随机变量与自然数一一对应 3.已知随机变量X 的概率分布如下:
X -1 -0.5 0 1.8 3
P 0.1 0.2 0.1 0.3 a
求:(1)a; (2)P(X <0);
(3)P(-0.5≤ X <3); (4)P(X <-2);
(5)P(X >1); (6)P(X <5).
2. 2 超几何分布
在产品质量管理 中,常常通过抽样来分析合格品和不合格品的 分布,进而分析产品的质量.
● 假定一批产品共N 件,其中有 M 件不合格品,随机取出的n 件产品中,不合格品数 X 的概率分布如何?
现以N =100,M =5,n=10为例,研究抽取的10件产品中不 合格品数X 的概率分布.
从100 件 产 品 中 随 机 抽 取 10 件 有 C10100种 等 可 能 基 本 事 件. {X =2}表示的随机事件是“取到2件不合格品和8件合格品”,依据 分步计数原理知有C25C895种基本事件,根据古典概型,得
P(X =2)= C25C895
C10100 .
类似地,可以求得 X 取其他值时对应的随机事件的概率,从而得 到不合格品数X 的概率分布如表2 2 1所示.
表2 2 1
X 0 1 2 3 4 5
P C05C1095
C10100
C15C995
C10100
C25C895
C10100
C35C795
C10100
C45C695
C10100
C55C595
C10100
对一般情形,一批产品共 N 件,其中有 M 件不合格品,随机取出 的n 件产品中,不合格品数 X 的概率分布如表2 2 2所示.
表2 2 2
X 0 1 2 … l
P C0MCnN-M
CnN C1MCn-1N-M
CnN C2MCn-2N-M
CnN … ClMCn-lN-M CnN
其中l= min(n,M ).
一般地,若一个随机变量 X 的分布列为 P(X =r)= CrMCn-rN-M
CnN , ①
其中r=0,1,2,3,…,l,l= min(n,M),则称X 服从超几何分布 (hypergeometricdistribution),记为 X~H(n,M,N),并将 P(X = r)= CrMCn-rN-M
CnN 记为H (r;n,M,N).
例1 高三(1)班的联欢会上设计了一项游戏:在一个口袋中装有 10个红球、20个白球,这些球除颜色外完全相同,一次从中摸出5个
球,摸到4个红球1个白球的就获一等奖.求获一等奖的概率.
解 用 随 机 变 量 X 表 示 取 到 的 红 球 数,则 X 服 从 超 几 何 分 布 H (5,10,30).
由公式①得
H(4;5,10,30)= C410C5-420
C530 = 70023751≈0.0295.
答 获一等奖的概率约为2.95%.
本题中X 的概率分布如下.
表2 2 3
X 0 1 2 3 4 5
P 2584
23751 8075
23751 8550
23751 3800
23751 700
23751 42 23751
我们也可以把分布列用图形直观地表示出来(图2 2 1).
图2 2 1
例2 生产方提供50箱的一批产品,其中有2箱不合格产品.采购 方接收该批产品的准则是:从该批产品中任取5箱产品进行检测,若 至多有1箱不合格产品,则接收该批产品.问:该批产品被接收的概 率是多少?
解 用 X 表 示“5 箱 中 不 合 格 产 品 的 箱 数”,则 X 服 从 超 几 何 分 布 H (5,2,50).这批产品被接收的条件是5箱中没有不合格产品或只
有1箱不合格产品,所以被接收的概率为 P(X ≤1),即 P(X ≤1)= C02C548
C550 +C12C448
C550 =243245.
答 该批产品被接收的概率是243245(约为0.99184).
概 率
第2章在 Excel中,可以直接使用超几何分布函数进行计算.例如,按
“插入/函数/统计”选择超几何分布函数“HYPGEOMDIST”,然后依 次 输 入 r,n, M, N 的 值,或 直 接 在 单 元 格 内 输 入 “=
HYPGEOMDIST(4;5,10,30)”,即可得到例1中获一等奖的概率 约为0.029472443.
练 习
1. 一个班级有30名学生,其中有10名女生.现从中任选3名学生当班委,令随 机变量X 表示3名班委中女生的人数,随机变量Y 表示3名班委中男生的 人数,试求 X 与Y 的概率分布.2. 设50件商品中有15件一等品,其余为二等品.现从中随机选购2件,用 X 表示所购2件商品中一等品的件数,写出 X 的概率分布.
习题 2. 2
感受 ·理解
1. 写出下列随机变量的可能取值,并说明随机变量所表示的随机试验的结果.(1)从甲地到乙地有汽车、火车和飞机3种直达交通工具,旅费分别为100 元、80元和400元,某人从甲地去乙地旅游,他的旅费为 X;
(2)盒内装着标有1~4号的大小相同的4个小球,随机抽取2个,所得的号 码之和为Y.
2. 设随机变量X 只能取5,6,7,…,16这12个值,且取每个值的机会是均等 的,试求:
(1)P(X >8);
(2)P(6< X ≤14);
(3)P(X ≥10).
3. 在0 1分布中,设P(X =0)=p,0<p <1,求P(X =1)的值.
4. 设15件同类型的零件中有2件是不合格品,从其中任取3件,以 X 表示取 出的3件中的不合格品的件数,试求 X 的概率分布.
思考·运用
5. 随机变量X 的分布列为P(X =k)= k15,k=1,2,3,4,5,试求:(1)P(X <3);
(2)P 12 < X < 5 2 ; (3)P(2≤ X ≤4).
探究·拓展
6.1000只灯泡中含有n(2≤n ≤992)只不合格品,从中一次任取10只,问:恰含有2只不合格品的概率f(n)是多少? 当n 为何值时,f(n)取得最大值?
2. 3 独立性
抛掷一枚质地均匀的硬币2次.
(1)2次都是正面向上的概率是多少?
(2)在已知有1次出现正面向上的条件下,2次都是正面向上的 概率是多少?
(3)在第1次出现正面向上的条件下,第2次出现正面向上的概 率是多少?
● 上述几个问题有什么区别? 它们之间有什么关系?
2. 3. 1 条件概率
两次抛 掷 硬 币 的 基 本 事 件 构 成 集 合 S={正 正,正 反,反 正,反 反},其中两次都是正面向上的事件记为 A,即A={正正},故
P(A)=14.
两次抛掷硬币,其中至少有1次正面向上的事件记为 B,即 B=
{正正,正反,反正},那么,在B 发生的条件下,A 发生的概率为13.
这说明,在 事 件 B 发 生 的 条 件 下,事 件 A 发 生 的 概 率 产 生 了 变化.
在“|”之 后 的 部 分表示条件.
一般地,对于两个事件 A 和B,在已知事件B 发生的条件下事件 A 发 生 的 概 率,称 为 事 件 B 发 生 的 条 件 下 事 件 A 的条 件 概 率
(conditionalprobability),记为P(A|B).
比如,若记“2次抛掷硬币,其中有1次正面向上”为事件 B,“2次 抛掷硬币都是正面向上”为事件A,则 P(A|B)就表示“已知2次抛掷 硬币试验中有1次正面向上的条件下,2次都是正面向上的概率”.
思 考
若事件A 与B 互斥,则 P(A|B)等于多少?事件AB 表示事件 A 和事件B 同时发生.
在上面的问题中,P(B)=34,P(AB)=14,P(A|B)=13,我们 发现
概 率
第2章P(A|B)= 13 = 14 34
= P(AB) P(B).
一般地,若 P(B)>0,则事件B 发生的条件下A 发生的条件概 率是
P(A|B)= P(AB)P(B).
利用条件概率,我们有 此公式 称 为 乘 法
公式. P(AB)= P(A|B)P(B).
例1 抛掷一颗质地均匀的骰子的基本事件构成集合S={1,2,3, 4,5,6},令 事 件 A= {2,3,5},B= {1,2,4,5,6},求 P(A),
P(B),P(AB),P(A|B).
解 A∩B={2,5},由古典概型可知
P(A)= 36 =1 2, P(B)= 56,
P(AB)= 26 =1 3, 所以
P(A|B)= P(AB)P(B) =2 5.
例2 如图2 3 1所示的正方形被平均分成9个部分,向大正方 形区域随机地投掷一个点(每次都能投中),设投中最左侧3个小正方 形区域的事件记为A,投中最上面3个小正方形或正中间的1个小正 方形区域的事件记为B,求 P(AB),P(A|B).
图2 3 1
解 根据几何概型,得
P(AB)= 19, P(B)= 49,
所以
P(A|B)= P(AB)P(B) =1 4.
例3 在一个盒子中有大小一样的 20 个球,其中有 10 个红球、10 个白球.某人无放回地依次从中摸出1个球,求第1次摸出红球且第 2次摸出白球的概率.
解 记“第1次摸出红球”为事件 A,“第2次摸出白球”为事件 B,由 乘法公式得
P(AB)= P(B|A)P(A)
=1019×10 20
≈0.2632.
答 所求概率约为0.2632.
练 习
1. 从一批含有10件合格品、3件不合格品的产品中随机地逐个抽取,抽出后的 产品不放回,设 X 表示直到取得合格品时的抽取次数,试求:(1)直到第2次才取到合格品的概率P(X =2);
(2)直到第3次才取到合格品的概率P(X =3).
2. 抛掷两颗质地均匀的骰子各1次,
(1)向上的点数之和为7时,其中有1个的点数是2的概率是多少?
(2)向上的点数不相同时,其中有1个的点数为4的概率是多少?