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購買低品質𝑢2的消費者剩餘𝐶𝑆2為
𝐶𝑆2 = ∫ {𝑝2(𝐷1, 𝐷2, 𝑢1, 𝑢2) − 𝑝2∗} 𝑑𝐷2
𝐷2∗
0
.
社會福利為購買高品質𝑢1的消費者剩餘，加上購買低品質𝑢2的消費者剩餘，及 兩家廠商的利潤：
𝑆𝑊 = 𝐶𝑆1+ 𝐶𝑆2+ 𝜋1+ 𝜋2. 政府極大化社會福利之一階條件為：
𝜕𝑆𝑊
𝜕𝑐 = 0.
即可解出最適政府管制之輸配電費用𝑐 = 𝑐̂。
3 模型結果
2.2.2 的情況下，兩廠商自由競爭，灰電廠商向綠電廠商收取一輸配電費 用。此時灰電廠商若將低品質𝑢2設得越低，使生產成本下降、𝑝2下降、𝐷2增 加，垂直產品差異增加，讓綠電廠商的售價及銷售量增加，同時提高輸配電費 用，向綠電廠商收取更多的輸配電費用，增加自身的利潤。而綠電廠商選擇品 質時面臨兩股反向的力量：若提升𝑢1，可以拉大產品差異，提升價格和銷售 量，使利潤增加；另一方面，提升品質使生產成本上升，並面對對手提高輸配 電費用，再加上隨著價格上升銷售量減少，造成利潤減少。最適的結果為灰電 廠商選擇最低品質𝑢2𝑐 = 𝑢2；綠電廠商在兩種力量平衡下選擇一最適的𝑢1𝑐。
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圖 1 雙佔市場下，給定𝑢
2= 0.01
、𝑘 = 0.05，𝑢
1與價格、輸配電費用及數量之間的關係
我們發現當選品質的成本𝑘足夠小、甚至為0的時候，在雙佔市場下綠電廠 商會自動選擇生產最高品質的電力，即𝑢1𝑐 = 1。因為提高品質的成本很低，即 使會面臨灰電廠商增加收取的輸配電費用，仍然能為其提高利潤。隨著選擇品 質的成本𝑘增加，提升品質到一定程度後會使產品的單位利潤下降，綠電廠商選 擇的𝑢1𝑐 < 1，為一內部解。根據計算，本文得到如下的結果：
命題 1 當市場為兩廠商雙佔，若選擇品質的成本𝑘 < 𝑘 < 𝑘，綠電廠商的品質 選擇𝑢1𝑐具有內部解。其中，
𝑘 = 1 3𝑢2.
𝑘 = 𝑢2(𝑢24+ 3𝑢23+ 27𝑢22− 22𝑢2+ 18) 𝑢26+ 𝑢25+ 33𝑢24 + 2𝑢22− 12𝑢2+ 56.
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<證明>
使綠電廠商在雙佔市場下選擇最高品質的條件為：
𝜕𝜋1𝑐
𝜕𝑢1 =1 4
(2𝑢12+ 𝑢22)(2𝑘𝑢1+ 𝑘𝑢2− 1) 𝑢12(7𝑢12+ 𝑢22+ 𝑢1𝑢2)3
× (56𝑘𝑢16− 12𝑘𝑢15𝑢2+ 2𝑘𝑢14𝑢22+ 33𝑘𝑢12𝑢24+ 𝑘𝑢22𝑢1+ 𝑘𝑢26 − 18𝑢14𝑢2 + 22𝑢13𝑢22− 27𝑢12𝑢23− 3𝑢12𝑢24− 5𝑢25)
=1 4
(2𝑢12+ 𝑢22)𝜌𝜆
𝑢12(7𝑢12+ 𝑢22+ 𝑢1𝑢2)3 > 0, 𝑢2 < 𝑢1 ≤ 1.
𝜌 = (2𝑘𝑢1 + 𝑘𝑢2− 1).
𝜆 = (56𝑘𝑢16− 12𝑘𝑢15𝑢2+ 2𝑘𝑢14𝑢22 + 33𝑘𝑢12𝑢24+ 𝑘𝑢25𝑢1+ 𝑘𝑢26− 18𝑢14𝑢2 + 22𝑢13𝑢22− 27𝑢12𝑢23− 3𝑢12𝑢24− 𝑢25).
當𝑢1 = 1時，若𝜌 < 0且𝜆 < 0，則𝜕𝜋1𝑐
𝜕𝑢1 > 0，表示在𝑢1 ∈ [𝑢2, 1]，𝑢1越大會使綠 電廠商利潤越高，綠電廠商會擇最高品質。反之，若𝜌 < 0且𝜆 > 0，代表當 𝑢1 = 1時，𝜕𝜋1𝑐
𝜕𝑢1 < 0，此時的𝑢1 = 1已經超過利潤極大化的最適解，故綠電廠商 選擇的最適𝑢1為一小於1的內部解。
令𝑢1 = 1代入𝜌、𝜆
𝜌 = (2𝑘 + 𝑘𝑢2− 1) < 0 ⇒ 𝑘 < 1 2 + 𝑢2.
𝜆 = [56𝑘 − (12𝑘 − 18)𝑢2+ (2𝑘 + 22)𝑢22− 27𝑢23+ (33𝑘 − 3)𝑢24+ (𝑘 − 1)𝑢25 + 𝑘𝑢26] > 0
⇒ 𝑘 > 𝑢2(𝑢24 + 3𝑢23+ 27𝑢22− 22𝑢2+ 18) 𝑢26+ 𝑢25 + 33𝑢24+ 2𝑢22− 12𝑢2+ 56= 𝑘.
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隨著𝑘上升，最適的𝑢1會持續下降，最低可以下降至𝑢1 = 𝑢2。我們限制最大的𝑘 不能使綠電廠商的單位利潤或需求量為負。
(𝑝1− 𝑘𝑢1− 𝑐) = −1 2
(𝑢1− 𝑢2)(2𝑢12+ 𝑢22)(2𝑘𝑢1+ 𝑘𝑢2− 1) 𝑢1(7𝑢12 + 𝑢22+ 𝑢1𝑢2)
= −1 2
(𝑢1− 𝑢2)(2𝑢12+ 𝑢22)𝜌 𝑢1(7𝑢12+ 𝑢22+ 𝑢1𝑢2) ≥ 0.
𝐷1 = −1 2
(2𝑢12+ 𝑢22)(2𝑘𝑢1+ 𝑘𝑢2− 1) 7𝑢12+ 𝑢22+ 𝑢1𝑢2
= −1 2
(2𝑢12+ 𝑢22)𝜌
7𝑢12+ 𝑢22+ 𝑢1𝑢2 ≥ 0.
當𝑢1 = 𝑢2時，若需滿足(𝑝1− 𝑘𝑢1 − 𝑐) ≥ 0且𝐷1 ≥ 0，則需符合𝜌 < 0，即
𝜌 = (2𝑘𝑢1+ 𝑘𝑢2− 1) = (3𝑘𝑢2− 1) < 0 ⇒ 𝑘 < 1
3𝑢2 = 𝑘.
因此得出：
(1) 當𝑘 < 𝑘 < 𝑘時，綠電廠商選擇的最適𝑢1𝑐介於𝑢2至1之間。隨著𝑘越大，
最適的𝑢1𝑐越小。
(2) 當𝑘 ≤ 𝑘，廠商選品質的成本足夠低，綠電廠商會自動生產最高品質 𝑢1𝑐 = 1。
(3) 當𝑘 ≥ 𝑘，廠商選品質的成本太高，造成綠電廠商生產較灰電廠商更高 品質產品的利潤為負，市場上只會存在低品質的產品。
□
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圖 2 雙佔市場下，給定𝑢
2= 0.01
、𝑘 = 0.001，𝑢
1與價格、輸配電費用及數量之間的關係
圖 3 雙佔市場下，給定𝑢
2= 0.01
、𝑘 = 0.1，𝑢
1與價格、輸配電費用及數量之間的關係
圖 4 𝑢
1有內部解的範圍
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在 2.2.3 的情況下，兩廠商競爭，但灰電廠商向綠電廠商收取之輸配電費 用由政府管制。灰電廠商面臨的取捨和 2.2.2 雙佔市場的情況相似：若將品質 降低，則𝑝2下降、𝐷2增加、𝑝1上升、𝐷1上升。灰電廠商雖然無法調整輸配電費 用，但由於綠電廠商銷售量增加，灰電廠商從輸配電服務賺取的利潤增加。綠 電廠商提高品質時同樣面臨兩股相反的力量，一是擴大品質差異，提升價格和 銷售量；二是生產成本上升，且隨著價格上升會銷售量會再減少。此時由於輸 配電費用由政府管制，和雙佔市場的情況相比，不需要面對競爭廠商提高輸配 電費用的壓力，降低利潤的力量較小，可以選擇較高的品質。
三種情境下，灰電廠商都會選擇生產最低品質，即𝑢2𝑚 = 𝑢2𝑐 = 𝑢2𝑔 = 𝑢2。而 當𝑘 < 𝑘 < 𝑘，綠電廠商會選擇一品質介於𝑢2與1之間的高品質，且𝑢2 < 𝑢1𝑐 ≤ 𝑢1𝑔 ≤ 𝑢1𝑚 ≤ 1。
我們發現在政府管制輸配電費用下，可以使綠電廠商提升產品品質。若政 府知道雙佔市場下灰電廠商會將輸配電費用設定在𝑐 = 𝑐∗，此時高品質廠商選 擇品質為𝑢1𝑐。現在改由政府管制輸配電費用，若政府將輸配電費用設在和廠商 自由決定時相同大小𝑐̂ = 𝑐∗，此時高品質廠商選擇品質為𝑢1𝑔。我們得到的結果 為𝑢1𝑔 > 𝑢1𝑐，也就是說輸配電成本交由政府管制，即使政府訂定的價格和廠商自 行訂定的價格相同，也能促使高品質廠商提升品質，增加社會福利。
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要多考慮競爭對手提高輸配電費用而降低利潤的效果；若是輸配電費用交由政 府來管制，則不會有此顧慮。不過因選擇品質有一定的成本，高品質廠商仍然 不會自動生產最高品質，但會比雙佔市場的情況下選擇更高的品質。即使政府 管制的輸配電價格和灰電廠商自行決定的價格相同，綠電廠商還是選擇更高的 品質，此舉會讓整體社會福利提升。
命題 3 若𝑘 < 𝑘 < 𝑘 (即在𝑢1𝑐有內部解時)，假設政府管制的輸配電價格和雙 佔市場時灰電廠商自訂的價格相同。則在政府管制下，綠電廠商選擇一較雙佔 市場時高的品質，可使社會福利提升。
<證明>
當政府管制輸配電成本時，社會福利函數為：
𝑆𝑊(𝑢1, 𝑢2, 𝑘, 𝑐)
= 𝐶𝑆1+ 𝐶𝑆2+ 𝜋1 + 𝜋2
=1
2(15𝑢13−10𝑢12𝑢2+15𝑘2𝑢15−4𝑘2𝑢14𝑢2+2𝑘2𝑢13𝑢22−4𝑘2𝑢12𝑢23+12𝑘𝑢12𝑢22−6𝑘𝑢13𝑢2−18𝑘𝑢14
𝑢1(4𝑢1−𝑢2)2
+−2𝑐𝑢13−2𝑐𝑢12𝑢2+10𝑐𝑢1𝑢22−𝑐2𝑢13−6𝑐2𝑢1𝑢22−2𝑐2𝑢23+14𝑐𝑘𝑢14−4𝑐𝑘𝑢12𝑢22−4𝑐𝑘𝑢13𝑢2−6𝑐𝑘𝑢1𝑢23
𝑢1(4𝑢1−𝑢2)2 ). (28)
我們想要證明當政府選擇和雙佔市場時相同的輸配價格，綠電廠商選擇的品質 從原本的𝑢1𝑐向上提升是否能增加社會福利。因此將𝑆𝑊(𝑢1, 𝑢2, 𝑘, 𝑐)對𝑢1微分，並 將雙佔市場時灰電廠商極大化利潤下選擇的𝑐∗(20)代入，得到𝑆𝑊𝑢1(𝑢1, 𝑢2, 𝑘)，
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以增加社會福利。
𝑐∗ =1
2
10𝑢12+𝑢22−2𝑢1𝑢2−6𝑘𝑢13−𝑘𝑢23−4𝑘𝑢12𝑢2+2𝑘𝑢1𝑢22
7𝑢12+𝑢1𝑢2+𝑢22 . (20) 𝑆𝑊𝑢1(𝑢1, 𝑢2, 𝑘) = 𝜑
4𝑢12(7𝑢12+𝑢1𝑢2+𝑢22)2(4𝑢1−𝑢2) (29)
因為(29)式的分母恆為正，若要判斷𝑆𝑊𝑢1的正負只需判別𝜑之正負號，於是我 們將𝜑拆解成商乘以除式，再加上餘式的形式：𝜑 = 𝑄𝜆 + 𝑅
𝑅 = 4𝑢13𝑢2(7𝑢12+ 𝑢1𝑢2+ 𝑢22)2
(56𝑢16− 12𝑢15𝑢2+ 2𝑢14𝑢22+ 33𝑢12𝑢24 + 𝑢1𝑢25+ 𝑢26)2
× (912𝑢110+ 260𝑢19𝑢2 − 2776𝑢18𝑢22+ 4992𝑢17𝑢23− 4420𝑢16𝑢24
+ 3119𝑢15𝑢25− 1002𝑢14𝑢26+ 173𝑢13𝑢27 + 44𝑢12𝑢28− 87𝑢1𝑢29+ 34𝑢210)
= 4𝑢13𝑢2(7𝑢12+ 𝑢1𝑢2+ 𝑢22)2
(56𝑢16− 12𝑢15𝑢2+ 2𝑢14𝑢22+ 33𝑢12𝑢24+ 𝑢1𝑢25+ 𝑢26)2× γ
其中除式為λ，是 2.2.2 中第(24)式𝜕𝜋1(𝑢1,𝑢2,𝑘)
𝜕𝑢1 中的一項
𝜕𝜋1(𝑢1,𝑢2,𝑘)
𝜕𝑢1 = 1
4
(2𝑢12+𝑢22)𝜌𝜆
𝑢12(7𝑢12+𝑢22+𝑢1𝑢2)3. (24) 雙佔市場下，綠電廠商選擇的最適𝑢1 = 𝑢1𝑐為𝜕𝜋1′′
𝜕𝑢1 = 0的解，由於𝜌 < 0，故當
𝜕𝜋1′′
𝜕𝑢1 = 0時必須是λ=0，因此得出
𝜑(𝑢1𝑐) = 𝑅
接下來我們判斷𝑅的正負號，而𝑅裡面除了γ以外，其他項都恆為正，故直接討 論γ的正負號。
γ = (912𝑢110+ 260𝑢19𝑢2− 2776𝑢18𝑢22 + 4992𝑢17𝑢23− 4420𝑢16𝑢24+ 3119𝑢15𝑢25
− 1002𝑢14𝑢26+ 173𝑢13𝑢27+ 44𝑢12𝑢28− 87𝑢1𝑢29+ 34𝑢210).
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令𝑢1 = 𝑢1𝑐 = 𝑎 + 𝑢2, 𝑎 > 0，代入γ得
γ = 729𝑢210+ 5103𝑎𝑢29+ 122476𝑎6𝑢24+ 82864𝑎7𝑢23+ 35924𝑎8𝑢22+ 8860𝑎9𝑢2 +18225𝑎2𝑢28+ 45819𝑎3𝑢27+ 87453𝑎4𝑢26+ 123039𝑎5𝑢25+ 912𝑎10
> 0.
由γ > 0得知𝑆𝑊𝑢1(𝑢1, 𝑢2, 𝑘) = 𝜑
4𝑢12(7𝑢12+𝑢1𝑢2+𝑢22)2(4𝑢1−𝑢2)> 0故得證。當政府介入 管制輸配電費用，其設定的費用和雙佔市場時灰電廠商訂定的費用相同，但綠 電的品質從雙佔市場時的品質向上提升，會使社會福利增加。
□
政府管制時，由於綠電廠商生產較高品質的電力也緩解了價格競爭，綠電 價格上升，需求量減少，但由於品質提升，高品質的消費者剩餘增加，綠電廠 商也因單位獲利增加而利潤增加。灰電廠商因為失去了控制輸配電價格的優 勢，會降低電力價格保有競爭力，灰電需求量增加，低品質消費者剩餘亦增 加；灰電廠商售電的利潤增加，但輸配電收入隨綠電減少而減少，總利潤會下 降。整體而言，政府管制輸配電價格使綠電品質上升，可以使社會福利提升。
表格 1 到表格 6 說明在給定𝑢2 = 0.01及不同𝑘時，三種市場情境下，綠電 品質、輸配電費用，與社會福利分別如何變化。
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𝑢2 = 0.01 𝑘 = 0
𝑢2 = 0.01 𝑘 = 0.001
𝑢1∗ 𝑐 SW 𝑢1∗ 𝑐 SW 獨佔 1 -- 0.44259 1 -- 0.44215 雙佔市場 1 0.71183 0.40690 1 0.71140 0.40669 政府
管制c
同雙佔市場 1 0.71183 0.40690 1 0.71140 0.40669 Max SW 1 0 0.46796 1 0 0.46739
表格 1 在𝑘足夠小時，綠電廠商自動選擇最高品質，政府管制不影響品質決策
𝑢2 = 0.01 𝑢2 = 0.01 𝑘 = 𝑘 ≅ 0.003182291
𝑢1∗ 𝑐 SW
獨佔 1 -- 0.44118
雙佔市場 1 0.71046 0.40623
政府管制c
同雙佔市場 1 0.71046 0.40623 Max SW 0.89380 0 0.46625
表格 2 給定𝑢
2= 0.01
、𝑘 = 𝑘下的最適選擇
𝑢2 = 0.01 𝑘 = 0.01
𝑢1∗ 𝑐 SW
獨佔 0.57735 -- 0.43868 雙佔市場 0.56195 0.70749 0.40489
政府管制c
同雙佔市場 0.65252 0.70749 0.40489 Max SW 0.50743 0 0.46429
表格 3 給定𝑢
2= 0.01
、𝑘 = 0.01下的最適選擇
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𝑢2 = 0.01 𝑘 = 0.05
𝑢1∗ 𝑐 SW
獨佔 0.25819 -- 0.43161 雙佔市場 0.24861 0.69900 0.40043
政府管制𝑐
同雙佔市場 0.29063 0.69900 0.40078 Max SW 0.23095 0 0.45857
表格 4 給定𝑢
2= 0.01
、𝑘 = 0.05下的最適選擇
𝑢2 = 0.01 𝑘 = 0.5
𝑢1∗ 𝑐 SW
獨佔 0.08164 -- 0.40445 雙佔市場 0.07561 0.66487 0.38277
政府管制c
同雙佔市場 0.09043 0.66487 0.38411 Max SW 0.07777 0 0.43414
表格 5 給定𝑢
2= 0.01
、𝑘 = 0.5下的最適選擇
𝑢2 = 0.01 𝑘 = 0.9
𝑢1∗ 𝑐 SW
獨佔 0.06085 -- 0.39117 雙佔市場 0.05545 0.49119 0.37353
政府管制c
同雙佔市場 0.06502 0.49119 0.38894 Max SW 0.05963 0 0.42087
表格 6 給定𝑢
2= 0.01
、𝑘 = 0.9下的最適選擇
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政府管制政策 政府不管制
𝑢2 = 0.01 𝑘 = 0.05
極大化 社會福利
管制𝑐和雙佔市 場時相同
雙佔市場
𝑐 0.00000 0.69900 0.69900 𝑢1∗ 0.23095 0.29063 0.24861 𝑆𝑊 0.45857 0.40078 0.40043 𝑈1+ 𝑈2 0.15740 0.10026 0.09989 𝜋1+ 𝜋2 0.30117 0.30052 0.30053 𝐷1+ 𝐷2 0.75503 0.56419 0.56349 𝑈1 0.12475 0.00956 0.00959 𝑝1 0.48942 0.84706 0.84438 𝑝1− 𝑘𝑢1− 𝑐 0.47788 0.13352 0.13294 𝐷1 0.49950 0.13828 0.13851 𝜋1 0.23870 0.01846 0.01841 𝑈2 0.03264 0.09070 0.09030 𝑝2 0.24496 0.43580 0.43650 𝑝2− 𝑘𝑢2 0.24446 0.43530 0.43600 𝐷2 0.25552 0.42591 0.42497 𝜋2 0.06246 0.28206 0.28211