一個基本的模糊邏輯控制系統[24]~[26]可由（圖 2.2）來觀察到，
主要的組成部分有四部分：
一. 模糊化（Fuzzifier）
二. 模糊規則庫（Fuzzy Rule Base）
三. 模糊推論器（Fuzzy Inference Engine）
四. 解模糊化（Defuzzifier）
圖 2.2 模糊邏輯控制器之基本架構
當系統藉由感測器（Sensor）把明確的外界資訊輸入（X），藉 由模糊化將之轉化為模糊資訊，經由控制器的模糊推論器，根據所得 到的模糊資訊，以及在模糊規則庫中預先存放設計者主觀擬定的法
則，模擬人類思考決策的模式，解決其問題。最後解模糊化則將模糊 推論器所推論出的模糊資訊，轉化為外界所能接受的明確資訊（u）。
2.2.1 模糊化模糊化模糊化模糊化
對於受控目標系統而言，由感測器所量測到的資訊通常是一個明 確的數值。然而模糊邏輯控制器則是採用語言化的條件式規則為控制 策略。因此，為了能讓受控系統與語言化的條件式規則資訊相結合，
模糊化處理將是量測資訊進入模糊邏輯控制器所必要的步驟。
為了達到模糊化的功能，首先應根據受控系統輸出／入變數的變 動範圍決定語言變數的確定論域。接著再由設計者依據專家知識自行 決定論域的模糊分割（Fuzzy Partition）數量。確定了模糊分割的數量 後，便能將語言變數的論域適當地切割成數個模糊集合。以控制系統 為例，對於一個控制系統而言，通常是以誤差量（e）作為輸入語言 變數，其論域中模糊集合的標識可定義為： NB（Negative Big）、
NM（Negative Medium）、NS（Negative Small）、ZO（Zero）、PS
（Positive Small）、PM（Positive Medium）、PB（Positive Big）。
而這些模糊集合可以採用的歸屬函數種類很多，如（圖 2.3）所 示 。一般較 常使用 的有三角 形歸屬 函數（ Triangular Membership Function）、高斯歸屬函數（Gaussian Membership Function）和梯形
具有較快的計算速度而且模糊化的效果與高斯函數相當，因此，三角 形的歸屬函數最常被採用。
圖 2.3 歸屬函數圖形
在決定語言變數的歸屬函數時，必須注意以下的因素：
(1) 嚴謹性︰
不同形狀所定義的歸屬函數，所產生的控制效果，會有很大的差 別的。換言之，如果控制者要求較嚴謹，則必須選擇斜率較陡的，以 便於當論域稍微有變動時能作明顯的表現。
(2) 涵蓋性︰
當我們在考慮歸屬函數涵蓋的程度時，原則上是讓論域中的每一 元素，所對應的歸屬值不可太低，如此方能考慮到每一元素。
(3) 重疊性︰
對於歸屬函數之間的重疊程度，一般而言重疊的程度越大時，模 糊控制器對系統的行為變化將有較好的適應性。但原則上仍不可過於 重疊以免兩個歸屬函數的值很難被區分。
2.2.2 模糊規則庫模糊規則庫模糊規則庫模糊規則庫
模糊規則庫是由一群以 IF-THEN 型式，所組成的條件式語句模 糊規則，並以語句之方式來命令受控系統，使其達到所須控制的目 的，而建立模糊規則庫須注意事項如下：
(一) 完全性(Complete)：即每次輸入的語句變數之模糊集合，至少要 觸發一條規則；不可沒有規則可觸發，否則會產生不正常的模 糊關係。
(二) 一致性(Consistent)：即表示如有兩條規則其前件部相同，則其後 件部也要相同，如後件部不相同則表示不符合一致性的要求。
(三) 連續性(Continuous)：每相鄰的兩條規則之後件部，須有重疊的 區域，
則此稱為規則庫的連續性。
將許多的模糊規則組合成一個規則庫，而其中 IF X 1isA 的部分1 稱為前件部，而 THEN YisB 部分則稱為後件部。其模糊規則庫表1 示方式如下：
R1：IF X1 is A1 ，THEN Y is B1
R2：IF X1 is A2，THEN Y is B2
︴
Rn−1：IF X 1 is An−1，THEN Y is Bn−1；
Rn：IF X 1 is An，THEN Y is Bn。
2.2.3 模糊推論器模糊推論器模糊推論器模糊推論器
Fuzzy推論(Fuzzy Inference) [24]~[26]是根據知識庫保存的規則和 給予的事實推導出新的結論。而在模糊邏輯推論最常用的有以下三 種：
[1]前向推論（Forward Reasoning）：
規則：IF X is A THEN Y is B 事實：X is A’
結論：Y is B’
t–基準（T-norms）(R(1) ∩R(2) ∩⋯R(m))：
圖 2.4 Mamdani 模糊模式示意圖
2.
Sugeno 模式模式模式模式模糊推論工場Sugeno 模糊模式是從已知的輸入-輸出資料中，有 系統地求出所需要的IF-THEN 規則之前件部與後件部。即從已知的 輸入-輸出資料中，有系統性地取得模糊規則的一種方法。且Sugeno 模式在前件部IF-THEN規則中，與Mamdani 模式架構相同，在後件 部則是採用函數轉換表示，Sugeno 模糊模式如圖2.5
圖 2.5 Sugeno 模糊模式示意圖 2.2.5 解模糊化解模糊化解模糊化解模糊化
解模糊化[24]~[26]與模糊化恰好相反，解模糊化是將經由模糊推 論工場後的模糊集合轉為明確的數值。而解模糊化則由以下三個準則 決定：
(1) 合理性：明確數值其所代表的模糊集合應是合理的，或其歸屬度 值為較高的。
(2) 計算簡單：便利於模糊控制問題上之使用。
(3) 連續性：模糊推論工場輸出的模糊集合之形狀，即使有稍許變 化，明確值的位置變化也不會太大。
常見的方法有重心法(Center of Area Defuzzification ；COA)、最 大平均法（Mean of maxima Defuzzification；MOD）及中心平均值解
模糊化法(Center Average Defuzzification)。
(2) 最大值之平均值(Middle of Maxima Defuzzification)
因為B y'( )往往是不規則形的，我們從左邊開始沿著B y'( )之山幾向右 攀爬，當爬到第一個最高點時，此點在Y軸上之投影即為y*值，如 圖2.7。
其中h(B)叫做模糊集合B y'( )之高度。
當爬到最後一個最高點時，此點在Y軸上之投影即為y*值，如圖2.7。
{ }
Ly y y h y
y *
Y
* max YB'( ) (B')
∈ ∈ = ∆=
= (2.6)
所謂的最大值之平均解模糊化法即為(2.11)式及(2.12)式之平均值即 可，如圖2.8。
2
*
*
* y F y L
y = + (2.7)
圖2.7 最大值之平均值投影圖 第一個最高點
∗
yF yL∗
最後一個最高點
圖2.8 最大值之平均值示意圖
(3) 中心平均值解模糊化法(Center Average Defuzzification)
此法或稱為高度解模糊化法(Height Defuzzification)，特別針對的形狀
圖2.9 中心平均值示意圖
) ( B
2h )
( B
1h
y*
p1 p2
第 第 第
第3章 章 章. 旋轉式倒單擺系統分析及軟體之 章 旋轉式倒單擺系統分析及軟體之 旋轉式倒單擺系統分析及軟體之 旋轉式倒單擺系統分析及軟體之 架構
架構 架構 架構
3.1. 動態方 動態方 動態方 動態方程式 程式 程式 程式
如圖3-1所示為旋轉式倒單擺數學模型，其中 G為轉動中心或質
心（Mass Center），g 為重力加速度，M 為旋轉臂之重量，m 為倒
單擺桿之重量，L為旋轉臂之一半長度，l為倒單擺桿之ㄧ半長度，IL 為旋轉臂之質量慣性矩（Mass of inertia）及馬達轉動時對旋轉臂所造 成之輸入扭矩（Torque）以 µ 代表。以此系統來分析描述其動能（Kinetic Energy, T）及位能（Potential Energy, VP），再將所求得之動能、位能 代入 Lagrange’s function：La=T-VP後，依序對倒單擺桿之角度 α、旋 轉臂之角度 θ 以Lagrange’s equation 計算之，進而獲得所要的非線性 動態方程式(nonlinear dynamics equation)。
為了進一步分析此系統動態特性，必須先建立系統的數學模式，
根據參考文獻[27]，可得(3.1)、(3.2)滑車倒單擺非線性方程式：
圖 3.1 旋轉式倒單擺系統之力系分析 (Gravitational Acceleration) 。 依 據 Lagrange’s function 可 得
(
θ θ αα α)
α α得
道倒單擺桿角度 α、倒單擺桿角速度 α'和旋轉臂角度 θ、旋轉臂角速 度 θ'是相關的，兩者並不是獨立互不相關，因此本論文將試著從這方 面出發來解決倒單擺系統直立與定位控制的問題。
表 2.1 旋轉式倒單擺系統之參數設定
系統參數 設定數值 單位
旋轉臂之重量 M 0.09 Kg 倒單擺之重量 m 0.15 Kg 旋轉臂長度 L 0.4 m 倒單擺桿之ㄧ半長度 l 0.095 m
旋轉臂之寬度 a 0.07 m
重力 g 9.8 m / sec
第 第 第
第4章 章 章. 粒子群演算法 章 粒子群演算法 粒子群演算法 粒子群演算法
粒子群演算法 (Particle Swarm Optimization) [9]簡稱 PSO，為
Kennedy與 Eberhart於 1995 年所提出，為受到鳥群的覓食行為所啟
發。PSO的概念源自於群體行為理論，每一個體經過特別的傳遞訊息 方式，將所得到的資訊提供給群體並做交流，使整個團體朝同一方向 而去，藉此搜尋到食物。
一群鳥再隨機搜尋食物。這個區域裡只有一塊食物。所有的鳥都 不知道食物再哪裡，但他們知道目前距離食物還有多遠，那麼找到食 物的最佳策略是什麼？最簡單的方法就是找尋距離食物最近的鳥之 周圍區域及根據自己本身飛行的經驗判斷食物的所在。
4.1. 演算法介紹 演算法介紹 演算法介紹 演算法介紹
粒子群演算法與基因演算法類似，為一種基於迭代演算的最
佳化搜尋工具，屬於演化式計算與隨機搜尋法中的一種。PSO演算法 初始化為一群隨機粒子(隨機解)，然後通過迭代找到群體最佳解。在 每一次演化迭代中，粒子透過兩個最佳值-個體最佳值(Pid)與群體最佳
I. 演算法特性
.每個問題解都想像成一隻鳥，稱為“Particle”。
.每個Particle都有一個 fitness function判斷目前位置的好壞。
.每一個Particle能記得所搜尋到最佳位置。
.每一個 Particle還有一個速度以決定飛行的距離與方向。
4.2. 速度更新公式 速度更新公式 速度更新公式 速度更新公式
在 PSO 演化的程序中每個粒子都有一個速度以決定移動的距離 與方向，而每個粒子都能判斷目前位置的好壞，並且能記得所搜尋到 的最佳位置，經過特別的傳遞訊息方式，將所得到的資訊提供給群體 並做交流，藉此搜尋到最佳解。速度的更新公式如下：
(4-1)
(4-2) 其中
V
id ：每一Particle 在第d 維之速度i：Particle之編號 、 d：維度
W：Inertia Weight
c
1、c
2：學習常數Rand( )：一介於0 至1 的亂數
p
id ：每一Particle到目前為止，所求得的最佳解1 () ( ) 2 () ( )
id id id id gd id
V = ×W V + ×c Rand × p −x + ×c Rand × p −x
id id id
x = x + V
p
gd：所有Particle 到目前為止，所求得的最佳解x
id ：每一 Particle目前之所在本論文採用初始族群為10，W為0.9，
c
1、c
2為1.5及 0.5 [29]。0 < (
c
1 +c
2) < 4 (4-3) (c
1 +c
2)/2 - 1 < W < 1 (4-4) 如能滿足公式(4-3)及(4-4)，則PSO演算法將能穩定收歛。4.3. 演算法流程介紹 演算法流程介紹 演算法流程介紹 演算法流程介紹[28]
1. Initial：
將群族做初始化，以隨機的方式求出每一Particle 之初始位置與
速度。
2. Evaluation：
依據fitness function計算出fitness value以作為判斷每Particle之 好壞
x
id 。3. Fine the pid：
找出每一Particle 到目前為止的搜尋過程中最佳解，這個最佳解
我們將之稱為 pid(Pbest)。
4. Fine the pgd：
我們稱之為 pgd(Gbest)。 5. Update the Velocity：
依據(4-1)與(4-2)更新每一個 Particle 之速度與位置。回到步驟 2.
繼續執行，直到獲得一個令人滿意的結果或符合終止條件為止。
圖4.1 PSO 演化流程圖
演算法流程示意：
圖 4.2 搜尋過程－最初狀態
圖 搜尋過程－經過 代
圖4.2 搜尋過程－經過50 代
圖 4.5 搜尋過程－經過 500代
第
圖 5.1 歸屬函數圖
5.2 模糊控制器設計 模糊控制器設計 模糊控制器設計 模糊控制器設計
此控制器會以倒單擺角度為控制的準則，當角度大於90至180 度或小於-90至-180 度時，則使系統變不穩定做甩上的動作;而角度介 於90 度與-90度之間則利用平行分散補償(PDC)做直立定位的動作。
圖5.2 Simulink 模擬圖
圖5.3 控制器模擬圖 Gin3及 Gin4值同為[1 -2 3 4]
圖 5.4 PDC控制器設計圖
圖 5.5 2000代 PSO模擬圖
F1=[-64.839 -6.0179 -14.809 -8.1682]
F2=[-123.49 -5.3274 34.483 5.9411]
F3=[11.575 9.1775 -280.04 211.19]
5.3 模擬 模擬 模擬 模擬結果 結果 結果 結果
X1為角度 α
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
-0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
時 時(sec)
角角(rad)
圖 5.6 45度(0.7854 rad)倒單擺角度X1
X3為角度 θ
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
時 時(sec)
角角(rad)
圖 5.7 45度(0.7854 rad)旋轉盤角度X3
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 -0.8
-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4
時 時(sec)
角角(rad)
圖 5.8 -45度(-0.7854 rad)倒單擺角度X1
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 -1.2
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2
時時(sec)
角角(rad)
圖 5.9 -45度(-0.7854 rad)旋轉盤角度X3
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 -2
0 2 4 6 8 10 12
時 時(sec)
角角(rad)
圖5.10 135度(2.3562 rad)倒單擺角度 X1
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 -20
-15 -10 -5 0 5
時 時(sec)
角角(rad)
圖5.11 135度(2.3562 rad)旋轉盤角度X3
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 -12
-10 -8 -6 -4 -2 0 2
時 時(sec)
角角(rad)
圖5.12 -135度(-2.3562 rad)倒單擺角度 X1
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 -5
0 5 10 15 20
時 時(sec)
角角(rad)
圖5.13 -135度(-2.3562 rad)旋轉盤角度 X3
圖5.13 -135度(-2.3562 rad)旋轉盤角度 X3