步驟二

在得到步驟一讀取進的模型三角片資料後，就可以準備建構 BVH-tree 加速 結構，由於在前文的文獻探討已經對 BVH-tree 的內容有所簡介，在這步驟的實作 細節主要放在分類出新節點的方法，本論文實作的 BVH tree 是採用 Top-down 的 方法來建構，建立時是在程式的 Host 端完成，是一般的 C++程式，所以是可以使 用遞迴的(kernel 裡為 device 端無法使用遞迴)，其基本的方法就是將上層的邊界 框(bounding box)中的物件，使用特定的方法分類出兩群，再形成兩個下層的新

bounding box 後，遞迴執行這個步驟直到指定的樹深度，而這裡介紹分類出新節 點的方法，主要來自於 Physically Based Ray Tracer(PBRT) [3]的做法，主要有二種:

(1)

以數量來平分出兩群

圖 4.2.1 以數量來分類的新節點

1000

500 500

250 250 250 250

將上層節點的物件以 bounding box 的最長軸排序後，根據數量平分成兩群，

然後再重新計算出新的 bounding box，形成新的節點，這個過程使用遞迴重複多 次就能完成樹的資料結構，這樣實作的好處有:程式撰寫起來非常的簡單、樹的資 料結構建立起來相當的快、各個葉節點的物件數量很接近;但壞處就是: bounding

box 無法達到最佳，會將一些不必要的區域也劃入，使得節點和光線做交點測試 時，較容易被打到，因此需要做較多的物件交點測試，使得縮短的運算時間變得 有限。

(2)使用表面積啟發式算法(Surface Area Heuristic，SAH)來分類

圖 4.2.2 同個 bounding box 以數量平分與使用 SAH 來分類

由上圖就可以看出以數量平分時的缺點，明顯的劃入了一大片根本沒有三角 形物件，假如光線從圖示上的方向行進，則左圖就會因為較差的劃分法要去檢查

A 節點，就因此增加了運算的成本; 右圖較優良的劃分法則完全不用去檢查任何 節點，當然就能節省更多的運算時間。

A A

B B

RAY RAY

使用 SAH 劃分法的目的，就在於要找出最好的劃分，但在一個 bounding box 中根據物件的數量，有可能會有很多劃分法可以將物件分成兩群，總不可能將每 種劃分法都試過一次後再去分類，更何況這種劃分在每一層的樹狀結構都要實作，

全部加總起來的運算量就會非常龐大，因此根據研究，就提出了這個公式，以用 來評估當下這種劃分法的成本(cost):

cost(A, B) = p(A) × n in A + p(B) × m in B

其中 A、B 各代表左子樹與右子樹的區域，n 為 A 區下的物件個數，m 為 B 區下的物件個數，p(A)為光線擊中 A 區域形成的 bounding box 機率，p(B) 則為光 線擊中 A 區域形成的 bounding box 機率，cost(A,B)除了代表成本外，也代表這光 線打到 A 區與 B 區的 bounding box 機率，一個好的劃分法，避免劃入不必要的區 域進入 bounding box 外，更應該盡量讓光線行進時無法碰撞到 bounding box，以 期望可以做更少交點測試，縮短更多的運算時間，所以 cost(A,B)這個值要越小越 好，但前面有提到不可能把所有劃分法都去嘗試，算成本時也是同樣道理，在 PBRT 中是把物件分成 12 個群再去試其中的劃分點，而本論文則是採用分成數量 接近 100 的群再去測試劃分點。

圖 4.2.3 父節點 C 與劃分出有重疊區域的子節點 A、B

A

B

C

然而 p(A)、p(B)這兩個光線擊中 bounding box 機率要怎麼去推估?這裡先做 出了一個假設:如果物體的表面積越大，那光線擊中物體的機率就越大，是一個呈 現正相關的情況，套用在 BVH tree 的話，則變為 bounding box 的表面積越大，則 越容易被光線擊中，基於前面的假設，此處先令父節點 C 區域的表面積為 S(C)，

子節點 A、B 的表面積分別為 S(A)與 S(B)，所以光線擊中父節點 C 底下的子節點

A 的機率為 S(A)/S(C)，同理，擊中子節點 B 的機率為 S(B)/S(C)，當然實作時，

會期望每次的父節點劃分後，都會讓兩個子節點的總表面積越來越小，讓光線打 到的機率越來越小，但實際上，也可能發生劃分後總表面積反而變大的情況，因 為會出現如示意圖的狀況，A 與 B 的 bounding box 發生了重疊，部分面積就被重 複的計算，這當然不是樂見的情況，當物件數量變的較多、位置又相當相近時就 無法避免，但整體來說還是能得到較佳的劃分。

雖然使用了導入和表面積相關的 SAH 方法後，可以得到較佳的劃分，相對的 就必須要付出額外的成本，這個成本就是在建立樹狀結構時需要花費較久的時間，

因為多了要計算出最佳劃分點的時間，要注意的是:這個評估的工作是使用遞迴方 法實作，所以不能給定太多的劃分點去評估，否則隨著遞迴的時間複雜度增長，

反而使得建樹的時間超過渲染時間許多而適得其反。