比較人工材料與空氣中的相位關係

為了了解波數在人工材料與空氣中的關係，我們把金屬柱從原本的單晶胞結 構中去除，其餘的邊界條件不變，求出空氣中kx及ky的相位關係，修改的模擬 結構如圖2-5 所示。

圖2-5 空氣中的特徵模態模擬結構圖

綜合以上結構的模擬數據，分別做出不同頻率的相位關係圖，如圖 2-6 與 2-7。見圖 2-6，內圈實線為 7 GHz 時人工材料的波數關係，外圈虛線則為空氣中 的模擬結果，座標皆以各頻率在空氣中的波數ko作正交化。圖2-7 則為 7.5 GHz 的正交化相位關係圖。

圖2-6 7.0 GHz 的正交化相位關係圖 圖 2-7 7.5 GHz 的正交化相位關係圖

由圖 2-6 及圖 2-7 得知，在人工材料中激發的電磁波其相位關係為一個小 圓，此小圓會遠小於電磁波在空氣中相位關係產生的圓，我們把相位關係繪出示 意圖2-8 來解釋。當電磁波從人工材料入射到空氣中時，因為介質交界面切線波 數連續的關係，所以人工材料內的切線波數k 會等於空氣中的切線波數_1// k ，_{2 //}

1// 2 //

k k 。假設在人工材料中激發一電磁波，其x 方向的波數為k ，當電磁波入_x1 射到空氣中時，對應到y 方向的波數為k ，折射波傳遞的方向如圖 2-8 虛線箭頭_y1 方向所示。所以電磁波傳遞的方向會與equi-energy surface(相位關係的等頻率線) 垂直，而與折射波群速(Group Velocity)(_g  _k( )k )的方向平行。但若激發x 方 向的波數為k ，就無法在人工材料的波數關係內找到相對應的_x2 k ，電磁波不存_y2 在於此結構中。

圖2-8 相位關係示意圖

有了以上的分析，就可以解釋人工材料產生波束聚集的現象(Beam Sharpening Effect)，以應用於天線系統中。

在這裡，我們再把 3D 相位關係圖 2-2 取_y  的截面，因為假設0 _y ，所0 以k_y  ，0   。縱座標為頻率，並畫出空氣中的色散關係作比較，做成圖 2-9 k_x

的色散關係圖。在_y  時，人工材料的頻率為 6.90 GHz，為本論文結構的截止0 頻率。除此之外，我們也可以改變不同的ψy，在結構上相當於增加了y 方向的 斜向入射，在此任意選擇一個ψy作圖，圖2-10 為入射角等於 80°,_y  的 3D80 相位關係圖，比較圖2-9 與 2-10，發現入射角從 0°變化到 80°，截止頻率會從 6.92 GHz 變化到 7.80 GHz，因此入射角變大，截止頻率升高。因為此人工材料 有這樣截止頻率的現象，類似電漿的特性(Plasma-like property)，所以其 3D 相位 關係圖形狀就會是一個開口朝上的碗公，如圖2-2 所示。

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0

2 4 6 8 10 12

 d/2 

fr eq ue nc y

metamaterial vacuum

圖2-9 色散關係圖 (_y   ) 0

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0

2 4 6 8 10 12

 d/2 

fr eq ue nc y

metamaterial vacuum

圖2-10 色散關係圖 (_y  ) 80

作出圖 2-9 0_y  截面的色散關係圖還有另外一個涵義存在，當 y 方向的相 位差等於0，即可視為有一平面波傳播方向與y 軸垂直，所以此平面波可於ψ=0 的平面入射，如圖2-11 所示。在此，我們再把x 方向的相位差視為由不同頻率 的電磁波經過x 方向距離所產生，就可以把圖 2-9 解釋為一 x 方向垂直入射平面 波的色散關係圖，圖2-12 為垂直入射平面波示意圖。這個解釋方式，與第三章 的激發方式相同，延續章節的連貫性。

圖 2-11 平面波入射側視圖 圖 2-12 平面波入射示意圖

最後，因為天線的製作是用鋁板一體成形，所以再此把人工材料從原本的理

想導體改成鋁，比較其等效常數，如表2-1。畫出相位關係圖及色散關係圖，得

知截止頻率為6.92 GHz。

表 2-1 金屬等效常數表 Relative

Permittivity

Relative Permeability

Conductivity (siemens/m)

Dielectric Loss Tangent

Aluminum 1 1.000021 3.8E7 0

PEC 1 1 1E30 0

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

Normalized Frequency (d/)

light line

但在不同的模態，對稱面可能會是Perfect E Symmetry Boundary 或是 Perfect H Symmetry Boundary，所以為了避免困擾，就直接使用週期性邊界條件。