極限，讓每個長方形的寬度趨近到零。對此，我們可以用口語粗略地說，我們將一條一 條線去積出了面積。積分式子便是
∫ b
a f (x) dx
而其中 f (x) 其實是一段長度，是曲線 y = f (x) 到 x 軸的距離，在此我姑且改寫成
A =
∫ b
a L(x) ]dx
藉以強調我們將一條一條線的「線長函數」L(x)，積出了面積來。
那麼同樣道理，一個三維的物體，我們也可以先切割成許多「盤子」，將這些薄盤的 體積加總起來，得到近似的體積。
接著再取極限，讓每個盤子的厚度趨近到零。我們可以粗略地說，我們用一個一個 面，積出了體積。積分式子寫起來長這樣
V =
∫ b
a A(x) dx
因此，若我們能夠分析出一個物體的「截面積函數」A(x)，便可以將體積給積出來了。截 面積函數A(x) 是代表，在 x = 3 處，我們用一個垂直於 x 軸的平面與該物體相交，截出 一個面，其面積就是A(3)。
舉一個具體的例子，我們知道錐體的面積公式，是 Ah
3 ，其中A 是底面積而 h 是高。
所以圓錐的體積便是 πr2h
3 ，那麼底圓半徑為2 而高為 4 的圓錐，體積便是4π
3 ，現在我們 試圖用積分來驗證它。
首先將圓錐的頂點設為原點，並且讓x 軸垂直底面。
如果我們用一個個圓盤的體積來加總，便會有近似的體積。
接著再取極限後，圓盤們的厚度趨近到零，變成是用一片一片的圓，它們面積積 出圓錐體積。所以我們要設法寫出截面積函數A(x)，這截面積函數是我們用垂直於 x 軸的平面與圓錐相交，看看當x 是某值時，所相應截出的截圓面積會是多少。而圓面 積是r2π，所以我們可以先求截圓半徑函數 r(x)：不同的 x 值所對應的截圓半徑，於是 A(x) = r2(x)π。
我們由側面往圓錐看過去，看起來是直角三角形，兩股邊分別為圓錐的底面半徑 4 及高2。
r (x) x
4
2
如上圖所分析，r(x) 與 x 和圓錐側面，形成較小的直角三角形。由於相似關係，我 們可以列式
r(x) x = 2
4
再經過移項處理以後，便可得到r(x) = 12x，於是截面積函數 A(x) = 14x2π。我們便可列
出積分式 ∫ 4
0
1
4πx2dx 這樣便可以積出 4π
3 來。
10.3
請導出球體積公式。
解
設球心為原點，半徑為R。垂直 x 軸的平面所截的截面也是圓，因此仍然先求 r(x)。
R
r(x) x
根據畢氏定理，我們可知
r2(x) = R2− x2 所以A(x) = r2(x)π =(
R2− x2)
π。於是
∫ R
−R
(R2− x2) πdx
= π
∫ R
−RR2dx − π
∫ R
−Rx2dx
= 2πR3−2πR3 3
=4πR3 3
10.4
金字塔高h，底面是邊長 a 的正方形。求此金字塔體積。
解
設頂端為原點，底面垂直x 軸。垂直 x 軸的任意平面，會與金字塔截出正方形。因 此寫A(x) = L2(x)，L(x) 是所截出的正方形邊長。
L (x)
a x
h
若從側面看過去，一樣看起來是三角形。於是與前面的例子類似，利用相似關係列
出 L(x)
x = a h 所以可得到L(x) = ax
h ，於是A(x) = a2x2
h2 。接著便可列出積分式
∫ h
0
a2x2 h2 dx
= a2x3 3h2
h
0
=a2h
3
10.5
若一物體的底面是在xy− 平面上的單位圓，垂直 x 軸的平面與此物體的截面皆為 等腰直角三角形，求此物體的體積。
解
這敘述看來頗為怪異，這個物體事實上是長這樣
不過不知道它長相其實也沒關係，光靠題目敘述就已經有足夠資訊，知道該如何列式 了。在某個x 值處，平面與物體的底面所截長度，設為 L(x)。該處與物體的截面是等腰 直角三角形，所以截面積函數 A(x) = L24(x)。至於L(x) 也不難求出，先寫出單位圓是 y = ±√
1 − x2，馬上就知道L(x) = 2√
1 − x2。所以列出積分式
∫ 1
−1
4(1 − x2) 4 dx =
∫ 1
−11 − x2dx = 4 3