波導共振模態效應的性質

波導共振模態效應的性質跟光柵的結構參數息息相關，在本節將會討論光柵的厚度 d、週期Λ、fill factor f 、折射率調制∆ 等對於共振位置、共振線寬的影響。

共振位置

圖2-11為波導共振模態濾波器最一般性的結構，在結構中除了包含光柵波導的部分 還結合了多層膜，其中最簡單的結構為單層光柵波導，光柵具有耦合光波的效果也做為 波導層，其次為雙層的光柵波導，在此結構中光柵與波導層為獨立分開，而對於多層光 柵波導的結構，使用多層膜的目的是修正共振頻譜的邊緣頻帶。如同在2.5.1節所描述的，

藉由求解波導所相對應的本徵方程就可以求得共振位置，如圖2-12為一雙層光柵波導結 構的計算結果，從圖中可以觀察到因為TE和TM mode所滿足的本徵方程不同，故TE和 TM極化的共振位置不同，而且在相同模數(mode number)下，TM mode的共振波長會比 TE mode還短。

在波導共振的結構中可以藉由調變波導的厚度來決定共振峰的數目，如圖2-13(a)為 圖2-11的結構下，只激發基態共振的結果，故在頻譜上只觀察到 及 模態，而若 增加波導層的厚度，也可以產生多模的共振，如圖2-13(b)。

圖 2-11 光柵波導一般性結構[9]

圖 2-12 雙層光柵波導本徵函數曲線[9]

圖 2-13 雙層光柵波導結構計算頻譜(a)厚度 d₂=0.5Λ(b)厚度 d₂=1.5Λ[9]

共振線寬

波導共振模態效應頻譜的線寬主要決定於元件結構的模態侷限(mode confinement) 及光柵的耦合效率(coupling efficiency)。

因為共振的效應是來自於電磁波激發了波導的洩漏模態(leaky mode)，所以只要會 影響光柵耦合的結構參數都會影響到結構的線寬，如圖2-14為一單層波導光柵結構其歸 一化的頻譜線寬對折射率調制做圖，從圖中可以觀察到不論是TE還是TM mode的線寬都 會隨著折射率調制而變化，並且當調制振幅增加時，共振線寬也會隨之增加，理由是在 波導共振的結構當中，光柵提供了電磁波能量的耦合損耗(coupling loss)，故繞射強度越 強的光柵其共振線寬會越寬。舉一個極端的例子來說，若考慮一個未調制的平板波導結 構，其模態是由δ函數來描述，而δ函數其線寬趨近於零，可見當折射率調制趨近於零 時，共振線寬也會趨近於零，與前面所述的趨勢一致。會影響到光柵耦合效率的因素除 了光柵折射率調制外還有光柵的填充因子，從(2.71)式可以觀察到式中第三項

代表光柵的耦合項，而級數和的大小主要由h=1的項決定，故耦合項在

f=0.5時有最大值，所以共振線寬會在f=0.5時有最大值，如圖2-15所示。

圖 2-14 共振線寬對折射率調制作圖[9]

圖 2-15 共振線寬對填充因子作圖[9]

除了光柵的耦合效率會影響到共振線寬外，波導模態的侷限程度也會影響到線寬的 大小，如圖2-16所示當波導層的平均折射率 與環境折射率 差越大時，共振的線寬 越寬，故具有較強侷限的波導結構會有較寬的線寬，舉一個極端的例子來說，若波導的 平均折射率與環境折射率相同，此時雖然仍有光柵的結構存在，但是波導的結構已經消 失，所以無法產生波導共振模態的效應，也可以說共振的線寬趨近於零，故當模態侷限 的強度越強，共振的線寬越寬，與前面所述的趨勢一致。

圖 2-16 共振線寬對模態侷限強度作圖[8]

光柵週期

如同在2.5.1節中所描述的，波導模態共振的位置可以由本徵方程式來決定，而當結 構確定了以後，若共振波長與預設波長有所誤差，則可以藉由調變光柵的週期來調整共 振峰的位置。如圖2-17為一三層波導共振模態濾波器的結構，在圖中可以觀察到當光柵 週期增加，共振波長會往長波長飄移，這是因為當電磁波經由光柵耦合到波導時，必頇 滿足相位匹配的條件

(2.75)

其中 為入射區域折射率， 為光柵等效折射率， 為入射角， 為折射角，λ為波長，

Λ為光柵週期，從上式可以觀察到當週期變大時，為了使等式成立，共振波長必頇變長，

故可以解釋共振波長隨週期的變化。

圖 2-17 三層波導共振模態濾波器共振波長隨週期的變化[4]