4-1 波長修正
經由影像傅立葉轉換求得海域的波長及波浪入射角後，由於本研究僅 考慮在水深變化平緩的情況下，波長會隨水深變淺而逐漸遞減，如圖 4-1 所示。因此利用波浪理論中的折射理論進而修正波長，簡述如下:
圖 4-1 相對水深與相對波長對應圖
光波在不同介質因傳遞速度不同而產生前進方向的改變，此現象稱為 折射(diffraction)。光波折射須滿足著名的 Snell 法則，其公式如式(4-1)所示:
const c
c
1 1 0
0 sin
sin
(4-1)
其中
θ 為波浪前進的入射角，c 為波速，而下標 0 代表初始條件。0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
0 0.5 1 1.5 2 2.5
h/L0
L/L0
波浪在前進至近岸時，波速也會因為水深的改變而不同，所以推論波 浪在前進的過程也會發生類似光波的折射現象，且由理論推導出的波浪折 射公式也會滿足式(4-1)的 Snell 法則。如圖 4-2 所示，當波浪有一入射角由 外海傳遞至近岸，因為水深變淺所以波速變慢，原本入射的角度則會逐漸 變小，到達近岸後波速幾乎為零，波浪入射的角度也會趨近於零，因此波 浪到達近岸時幾乎都會垂直於海岸。
圖 4-2 波浪折射示意圖
本研究採用波浪折射理論進行波長修正，由起始點所推算的波浪入射 角當作初始條件，推算至下一格方框時即進行波長修正，我們已知波長為 波速與波浪週期的相乘如式(4-2)所示，將式(4-1)整理後可得式(4-3)，由式 (4-3)知，在波浪週期固定的情況下，可由每一次所推得的入射角進而修正 波長，而原始波長與經折射理論修正後的波長結果如圖 4-3(a)與圖 4-3(b)所 示:
T c
L
(4-2)1 0 0
1 sin
sin
c
c (4-3)
其中 L 為波長，T 為波浪週期，c 為波速，而下標 0 代表初始條件。
X
Y
wavelength
500 700 900 1100 1300
200
400
600
800
1000
1200 50
60
500 700 900 1100 1300
200
500 700 900 1100 1300
200
400
600
800
1000
1200 50
60
4-2 水深估算
假設水深的差異及為因影像的解析度造成推算水深的額外誤差，若此誤差 值與假設水深的百分比則為相對誤差，如表 4-1 中括弧內數字。
表 4-1 影像解析度對推算水深造成的誤差
週期 (sec)
影像解析度 2m
假設水深(m)
5 10 15
4 + 2.97(59.4%) 4.85(48.5%) 4.73(31.5%) - -1.39(27.8%) -4.53(45.3%) -4.22(28.1%) 6 + 0.7(14%) 1.68(16.8%) 5.1(34%)
- -0.62(12.4%) -1.33(13.3%) -2.65(17.6%) 8 + 0.44(8.8%) 0.76(7.6%) 1.22(8.1%)
- -0.41(8.2%) -0.71(7.1%) -1.11(7.4%)
由表 4-1 可知，當水深在 10 至 15 米之間影像解析度造成的推算誤差值 較小，而水深小於 10 米時則較大，接著本文將原始波長推估的水深、利用 折射理論修正波長後推估的水深及實測水深繪製成二維等值線圖，如圖 4-5 及圖 4-6 所示。
由上節知，波浪傳遞至近岸時波長會逐漸遞減，故水深也會逐漸變淺，
圖 4-5(a)中此現象並不明顯。圖 4-5(b)為經折射理論修正波長後推算的水深，
水深呈現均勻分佈且逐漸遞減，最深處約為-14m，而最淺處約為-4m，與實 測水深相近，但由於本模式無法推得近岸波長，若使用外插來推算-4m 以上 的水深結果並不佳，故本文僅列出-4m 以下的水深。
X
Y
watedt rdepth(m)
500 700 900 1100 1300
200
water depth
450 650 850 1050 1250
300
4-3 精確度驗證
為評估推算水深的精確度，本研究選用民國 99 年 7 月枋寮海域的水深 實測地形與估算水深的均方根誤差。
本研究推算民國 96 年 8 月 5 日屏東縣枋寮漁港外側海域的水深，先取 1 個剖面來進行 RMSE 評估，剖面位置如圖 4-7 所示。
圖 4-7 選擇 1 個剖面的位置圖
在修正波長後所推算水深的 RMSE 值為 4.08m，其深度皆比實測水深 淺，而波長修正前所推算水深的 RMSE 值為 2.51m，其深度皆比實測水深 深，如圖 4-8 所示，圖中藍色線為經折射理論修正波長所推算的水深 (estimation-1)，綠色線為實測水深(measurement)，紅色線為原始波長推算的 水深(estimation-2)。
100 300 500 700 900 1100 -14
-12 -10 -8 -6 -4 -2
distance(m)
water depth(m)
PROFILE1
measurement estimation 1 estimation 2
圖 4-8 未修正水深、修正水深及實測水深剖面
4-4 水深探討
由於波長修正的方法會造成推算水深低估，如圖 4-8 藍色線所示，而若 由原始波長直接推算水深則會造成水深高估，如圖 4-8 紅色線所示，故本節 將這兩部分加以探討。
4-4-1 水深低估
雖然使用折射理論修正波長後達到水深平緩遞減的效果，如圖 4-8 藍色 線所示，但因波浪傳遞至近岸時波速下降造成波長遞減太快以至於推算出 的水深偏淺，且快速傅立葉轉換是以平均值概念進行計算，故當波浪傳遞 至近岸時計算出的角度會比實際的入射角還低，如圖 4-9 所示，快速傅立葉 轉換計算出的較深處及較淺處兩個位置的波向角分別為1與2，而 為1與
2的平均值。
因為比2大，因此由圖 4-9 可知sin()大於sin2，再由式(4-3)低估波 速，故進行波長修正時會因波速低估而造成波長低估，此乃造成修正水深
0 π/8 π/4 3π/8 π/2 0
0.2 0.4 0.6 0.8 1
sin
sine wave
1
2
值比實測水深淺的原因。
圖 4-9 波浪傳遞入射角位置示意圖
4-4-2 水深高估
由 3-2 節所使用的 Butter Worth 濾波器雖能濾除衛星影像中波浪反射或 交疊所產生的細紋，僅留下主要波峰及波谷，而濾波結果的好壞則是藉由 調整濾波器中的階數以及截止頻率，經測試後階數為 4、截止頻率為 1 濾波 效果最佳，但也因使用濾波器造成計算出的波數下降，波數下降使得波長 增加，推算水深時則會造成水深高估。
4-5 水深修正
水深修正方式採用修正與未修正水深的平均值，經修正後 RMSE 值下 降為 0.39m，本文再沿海岸切 8 個水深剖面，選擇的剖面位置如圖 4-9 所示，
並將剖各剖面的 RMSE 值整理後如圖 4-10 所示。結果顯示 9 個剖面的 RMSE 值平均約為 0.49m，其中剖面 4 至 6 的 RMSE 值皆大於 0.8，取此範圍的影 像圖觀察後發現，此處波紋較為凌亂，故分析時會造成波長判斷誤差。
由 9 個剖面可觀察出水深越深處推估結果越好，水深越淺推估結果則 越差，估算水深於-4m 至-10m 之間較實測水深高，-10m 至-12m 之間較為
0 2 4 6 8 10 0
0.2 0.4 0.6 0.8 1
profile
RMSE(m)
吻合，最後-12m 以下的水深值略低於實測水深。9 個水深剖面圖如圖 4-11 至圖 4-19 所示。
圖 4-9 選擇 9 個剖面的位置圖
圖 4-10 各剖面對應之 RMSE 值
100 300 500 700 900 1100 -14
-12 -10 -8 -6 -4 -2
distance(m)
water depth(m)
PROFILE1
measurement estimation
100 300 500 700 900 1100
-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2
distance(m)
water depth(m)
PROFILE2
measurement estimation
圖 4-11 實測水深(綠色線)與估算水深(黑色線)的水深比較(剖面 1)
圖 4-12 如圖 4-11 的圖說明(剖面 2)
100 300 500 700 900 1100 -2
-4
-6
-8
-10
-12
-14
distance(m)
water depth(m)
PROFILE4
measurement estimation
圖 4-13 如圖 4-11 的圖說明(剖面 3)
圖 4-14 如圖 4-11 的圖說明(剖面 4)
100 300 500 700 900 1100
-4
-6
-8
-10
-12
-14
distance(m)
water depth(m)
PROFILE3
measurement estimation
100 300 500 700 900 1100
water depth(m)
PROFILE5
measurement estimation
100 300 500 700 900 1100
2
water depth(m)
PROFILE6
measurement estimation
圖 4-15 如圖 4-11 的圖說明(剖面 5)
圖 4-16 如圖 4-11 的圖說明(剖面 6)
100 300 500 700 900 1100 -6
-8
-10
-12
-14
distance(m)
water depth(m)
PROFILE7
measurement estimation
100 300 500 700 900 1100
-2
-4
-6
-8
-10
-12
-14
distance(m)
water depth(m)
PROFILE8
measurement estimation
圖 4-17 如圖 4-11 的圖說明(剖面 7)
圖 4-18 如圖 4-11 的圖說明(剖面 8)
圖 4-19 如圖 4-11 的圖說明(剖面 9)
100 300 500 700 900 1100
-4
-6
-8
-10
-12
distance(m)
water depth(m)
PROFILE9
measurement estimation