第三章 研究方法
第三節 灰階共生矩陣
影像經灰階處理後即進行特徵擷取，擷取出影像的特徵指標。常用特徵萃取方式可 分為擷取空間域特徵與擷取頻率域特徵，以下說明空間域特徵之共生矩陣特徵萃取方 法。一般而言，直方圖（Histogram）所提供的是個別灰階值出現次數之分佈關係，視為 一種一維資訊，而紋理特徵則考量上述概念加上影像灰階值在空間上的分佈關係，提供 一個代表該影像灰階之組成特性。在空間域特徵萃取方面，最具代表性的做法是依據二 維影像中，每個像素點之灰階值與其鄰近區域之灰階值的分佈關係，以計算共同發生矩 陣來代表，使用此方法求得之二階直方圖（Second Order Histogram）來萃取相關特徵，
作為檢測流程中第二階段分類的依據。
相互關係矩陣或共生矩陣通常指的就是灰階共生矩陣。此為基於觀察紋路影像中所 有成對的像素點，其明亮度值（Gray-Level）共同發生的次數。在這個計算過程中還須 考慮到兩個重要條件：一為兩個像素點間距離 d，另一則為兩像素點間角度θ。更精確 地來說，假設有一紋路影像 I，其大小為 N×N，影像中明亮度值的級數為 Ng（Ng = （最 大明亮度值-最小明亮度值） +1）。影像中有兩個像素點其座標值為 I （k, l ） 和 I （m, n），它們的明亮度值分別為 i 及 j，兩個像素點間距離為 d，而這兩個像素點的角度我
們考慮了四種情況：角度θ= 0°、45°、90°與 135°。所以未正規化前之灰階共生矩陣定 義如下：
(
i j d) {
k m l n d I( )
k l i I(
m n)
j}
P , | ,0° =# − =0 |, − |= , , = , , = （3.1）
(
i j d) { (
k m d l n d) (
or k m d l n d) ( )
I k l i I(
m n)
j}
P , | ,45° =# − = , − =− − =− , − = , , = , , = （3.2）
(
i j d) {
k m d l n I( )
k l i I(
m n)
j}
P , | ,90° =# | − |= , − =0, , = , , = （3.3）
(
i j d) { (
k m d l n d) (
or k m d l n d) ( )
I k l i I(
m n)
j}
P , | ,135° =# − = , − = − =− , − =− , , = , , = （3.4）
由上得知 P （i, j | d,θ） 代表影像中之一對像素點 I （k, l ） 和 I （m, n）在距 離值為 d=1、角度為θ，發生各別明亮度值為 i 與 j 的次數。而 P （i, j | d,θ） 的計算 方式。假設有一大小為4×4 的紋路影像 I，如下圖 3.3。在這矩陣中 x 及 y 代表像素點座 標位置，而 I （x, y）則代表像素點在座標位置為（x, y）的明亮度值。若想於此紋路影 像所有像素點中，找出滿足距離 d=1，角度θ=0°，發生兩像素點的明亮度值分別為 i 和 j 的所有次數，就應該根據這些條件去掃描紋路影像中所有的像素點。如圖 3.4 列出 所有應被掃描的像素點座標值。舉例來說，圖3.3 所列的一對像素點 （（1,1）,（1,2））
表示了若我們在掃描像素點時發現 I （1,1） = i，且 I （1,2） = j，則將 P（i, j | d,θ）
的次數加1。重複此步驟，即可獲得所有 P（i, j | d,θ）的最終值。
圖3.3 一 （4×4）的紋路矩陣 資料來源：本研究整理
圖3.4 所有在 d = 1，θ=0° 下所要掃描之點 資料來源：本研究整理
接下來，我們根據上述方法將這張影像所有明亮度值所共同發生的次數計算出來，
便可得到此影像的灰階共生矩陣，如圖3.5 所示。
圖3.5 灰階共生矩陣 資料來源：本研究整理
在圖 3.5 中，橫座標及縱座標為此影像明亮度值級數，x 則代表了整張影像中，在 距離值為 d 與角度方位為θ的條件下，兩個像素點其明亮度值分別為 i 與 j 所共同發生 的次數。最後，我們可以將圖3.6 的灰階明亮度相互關係矩陣予以正規化（Normalizing）， 即將矩陣中每一個元素值除上所有元素值的總和，便可得明亮度值共同發生機率函數。
( ) ( )
N d j i d P
j i
p , | ,θ = , | ,θ （3.5）
其中 N 代表在灰階共生矩陣中所有元素值的總和。在此，我們列出灰階共生矩陣的 一個例子，如下圖3.6：
（a）原始影像 I，灰階度級數 Ng = 4 （b）正規化前矩陣
圖 3.6 的（a）為原始影像 I，大小為 4×4，觀察其所有的明亮度值，最大值為 3，
最小值為0，所以得知影像 I 的灰階度級數 Ng = （3- 0） + 1 = 4。設 i 及 j 為兩像素 點的明亮度值，d 為兩像素點之間的距離，θ為兩個像素點之間的角度，N 分別代表在 四種不同角度下，明亮度值共同發生的總次數。圖3.6 的（b）為正規化前相互關係矩陣 的一般定義，如（b）中的 （0,0） 代表了在距離為 d，角度為θ的情況下，明亮度值 i
= 0 及 j = 0 的兩像素點其共同發生的次數。所以圖 3.7（a）、（b）、（c）、（d）分 別為0°、45°、90°、135°之正規化前的灰階共生矩陣。又以圖 3.7 的（a）為例，兩個像 素點的距離 d = 1，角度θ=0°，我們找出在原始影像中兩像素點其明亮度值為 i = 0 與 j = 0 所共同發生的次數，找尋的方法就如圖 3.7 所示範的內容，可以發現 P（0,0|1, 0° ） = 4；同理，我們也可以找出在其他角度下的所有矩陣值。
在產生未正規化的灰階共生矩陣之後，我們便可以將各別矩陣內的元素值相加總起 來，以得到記錄總次數的 N。我們同樣以圖 3.7 的（a）為例，N 的值就等於矩陣內所有 的元素值相加總，即 N = 4+2+1+…+2 = 24。又我們再將各別矩陣內的元素值，除上各 自的 N，即可得到正規化的灰階共生矩陣，且元素總和為 1。如圖 3.8 所示，其分別為 0°、
45°、90°、135°之正規化的灰階共生矩陣。