無窮級數的加法交換律與乘法分配律

對有限個數字而言, 加法的交換律以及乘法分配律好像就是天經地義的事, 甚至不太會被看重這些規 律的重要性。 然而, 在無窮級數的情況下, 加法交換律以及乘法分配律的成立就不是那麼顯而易見的 事了。 這裡不妨先舉一個例子告訴大家為什麼這件事情並不顯然。

例 _1. 考慮

X∞ n=1

an= X∞ n=1

(−1)ⁿ⁺¹

n = 1

1 −1 2+1

3−1 4 +1

5 −1 6+ · · · 由單元 8.1 的 例 ₁₀ 知道這個級數收斂。 記部份和為 s_n =

n

P

k=1

a_k, 而級數和記為 s。 注意到由單 元 _8.3的 定理₂ 之證明過程中知道: 部份和之偶數項子數列遞增至級數和 s, 即

1

2 = s₂ ≤ s4≤ · · · ≤ s ⇒ s > 0。 現考慮一種順序互換的方法:

X∞ n=1

a^′_n= 1 1−1

2−1 4+1

3 −1 6− 1

8+ · · · + 1

2k − 1− 1

4k − 2 − 1

4k + · · · ,

這個級數的特色是: 依序列出一個分母是奇數的項之後減去兩個分母是偶數的項。 現討論此級數和。

記部份和s^′_n=

n

P

k=1

a^′_k,現觀察一種部份和子數列:

s^′_3n=

n

X

k=1

 1

2k − 1 − 1

4k − 2 − 1 4k



=

n

X

k=1

 1

4k − 2 − 1 4k



= 1 2

n

X

k=1

 1

2k − 1 − 1 2k



= 1 2s_2n, 得到 lim

n→∞s^′_3n= lim

n→∞

1

2s_2n= ¹₂ lim

n→∞s_2n = ¹₂s。 此外_, 因為 s^′_3n−1 = s^′_3n+ 1

4n ⇒ lim_n

→∞s^′_3n−1 = lim

n→∞



s^′_3n+ 1 4n



= lim

n→∞s^′_3n+ lim

n→∞

1 4n = 1

2s s^′_3n+1 = s^′_3n+ 1

2n + 1 ⇒ lim_n

→∞s^′_3n+1 = lim

n→∞



s^′_3n+ 1 2n + 1



= lim

n→∞s^′_3n+ lim

n→∞

1

2n + 1 = 1 2s, 所以 _lim

n→∞s^′_n= ¹₂s。

所以由上面例子知道: 任給一個收斂的級數,加法交換律不見得成立。 那麼到底什麼樣的級數才有 這些代數上熟悉而常用的規則呢? 為說明此事, 首先引進記號:

a⁺_n == max(a^定義 _n,0) = |aⁿ| + aⁿ

2 ≥ 0

a⁻_n == max(−a^{定義 n},0) = |aⁿ| − aⁿ 2 ≥ 0,

在這樣的註記之下,則有a_n= a⁺_n−a⁻n 以及_{|an| = a}⁺_n+a⁻_n。 於是給定級數 ^P∞

n=1

a_n,則會對應到兩個 正項級數 ^P∞

n=1

a⁺_n 與 ^P∞

n=1

a⁻_n。 為讓各位感受這些記號之意義與關聯, 現以級數 ^P∞

n=1

an = P^∞

n=1

(−1)ⁿ⁺¹ n

為例, 則有

X∞ n=1

a_n= 1 1 −1

2+ 1 3−1

4+1 5 −1

6 + · · · X∞

n=1

a⁺_n = 1

1 + 0 +1

3+ 0 + 1

5+ 0 + · · · X∞

n=1

a⁻_n = 0 + 1

2+ 0 + 1

4 + 0 +1 6+ · · ·。 將級數的一般項分解之目的可由以下定理展現出來:

定理 _2.

(A) 級數 ^P∞

n=1

a_n 絕對收斂若且唯若 ^P∞

n=1

a⁺_n 與 ^P∞

n=1

a⁻_n 都收斂。

(B) 若級數 ^P∞

n=1

an 條件收斂, 則 ^P∞

n=1

a⁺_n 與 ^P∞

n=1

a⁻_n 都發散。 若 ^P∞

n=1

a⁺_n 與 ^P∞

n=1

a⁻_n 至少一個發散, 則級數 ^P∞

n=1|aⁿ|發散,至於 ^P∞

n=1

an 的收斂或發散無法下定論。

證明:

(A) (⇒) 因為對所有_{n∈ N}都有 _{0 ≤ a}⁺_{n ≤ |an|}且_{0 ≤ a}⁻_{n ≤ |an|,} 而級數 ^P∞

n=1

an 絕對收斂, 即 P∞

n=1|aⁿ|收斂_, 由比較判別法(Comparison Test) 得知 ^P∞

n=1

a⁺_n 與 ^P∞

n=1

a⁻_n 皆收斂。

(⇐) 因為 ^P∞

n=1

a⁺_n 與 ^P∞

n=1

a⁻_n 都收斂, 而且 _{|an| = a}⁺_n + a⁻_n, 所以 X∞

n=1

|aⁿ| = X∞ n=1

(a⁺_n + a⁻_n) = X∞ n=1

a⁺_n + X∞ n=1

a⁻_n

收斂_, 因此 ^P∞

n=1

a_n絕對收斂。

(B) 因為級數 ^P∞

n=1

a_n條件收斂, 假設 ^P∞

n=1

a^±_n 收斂_, 則 X∞

n=1

a^∓_n = X∞ n=1

(a^±_n ∓ aⁿ) = X∞ n=1

a^±_n ∓ X∞ n=1

an

收斂_, 於是

X∞ n=1

|aⁿ| = X∞ n=1

(a⁺_n + a⁻_n) = X∞ n=1

a⁺_n + X∞ n=1

a⁻_n

也收斂,這與 ^P∞

n=1

a_n是條件收斂矛盾。 因此 ^P∞

n=1

a^±_n 發散。

若 ^P∞

n=1

a⁺_n 與 ^P∞

n=1

a⁻_n 至少一個發散, 則將發散的級數取出, 透過 _{0 ≤ a}⁺_{n ≤ |an|} 或是 _{0 ≤} a⁻_n ≤ |aⁿ|以及比較判別法 (Comparison Test)得知 ^P∞

n=1|aⁿ|發散。

至於原級數的收斂或發散無法由 ^P∞

n=1

a⁺_n 與 ^P∞

n=1

a⁻_n 的發散決定。 比方說 ^P∞

n=1

(−1)ⁿ⁺¹

n 對應到的

P∞ n=1

a⁺_n 與 ^P∞

n=1

a⁻_n 皆發散_,而 ^P∞

n=1 (−1)ⁿ⁺¹

n 收斂。 又如 ^P∞

n=1(−1)ⁿ⁺¹ 對應到的 ^P∞

n=1

a⁺_n 與 ^P∞

n=1

a⁻_n 皆發散_,而 ^P∞

n=1(−1)ⁿ⁺¹ 發散。

做這樣的級數分解有助於分析加法交換律的問題, 現引進置換的概念以說明一般交換律之意義。

定義 _3. 給定級數 ^P∞

n=1

a_n, 記 σ : N → N 是一種 置換 (permutation), 稱級數 ^P∞

n=1

a_σ(n) 是級數 P∞

n=1

a_n的一種 重排 (rearrangement)或稱為 更序級數。

以下定理表明絕對收斂的級數才有加法交換律, 而條件收斂的級數沒有加法交換律。

定理 _4. 若 ^P∞

n=1

a_n 絕對收斂, 則級數 ^P∞

n=1

a_n 的任何一種重排後的級數 ^P∞

n=1

a_σ(n) 都收斂, 並且 X∞

n=1

a_σ(n)= X∞ n=1

a_n。

證明: 首先證明當 ^P∞

n=1

an 是正項級數的情況。 記更序級數的部份和數列為 _{tm}^∞_m=1, 其中 _{tm =}

m

P

n=1

a_σ(n) 是一個遞增數列, 並且對所有_{m∈ N} 都有tm=

m

P

n=1

a_σ(n)≤ P^∞

n=1

an, 即_{tm}^∞_m=1 有上界, 於是由單調有界定理 (Monotonic Sequence Theorem)得知_: 更序級數 ^P∞

n=1

a_σ(n) 收斂_, 並且 X∞

n=1

a_σ(n)≤ X∞ n=1

an。

另一方面, 我們也可以將 ^P∞

n=1

a_n 看成是 ^P∞

n=1

a_σ(n) 的一種更序級數, 所以有 ^P∞

n=1

a_n ≤ P^∞

n=1

a_σ(n)。 將 兩結果合併則得 ^P∞

n=1

a_σ(n)= P^∞

n=1

a_n。

現考慮 ^P∞

現在考慮兩個無窮級數的相乘。 先從兩個有限項的級數 ^Pn

k=1

a_k 與 ^Pm

k=1

b_k 看起, 此時將兩級數相 乘後則為 _aibj 之和_, 其中 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m。 對於兩個收斂的無窮級數 ^P∞

n=1

an 與 ^P∞

n=1

bn, 所有 形如 a_ib_j, 其中 i, j∈ N 的項有無限多個, 這裡先將它們排列成二維陣列的形式:

a₁b₁ a₁b₂ a₁b₃ a₁b₄ · · · a₂b₁ a₂b₂ a₂b₃ a₂b₄ · · · a₃b₁ a₃b₂ a₃b₃ a₃b₄ · · · a₄b₁ a₄b₂ a₄b₃ a₄b₄ · · · ... ... ... ... . ..

然而, 由前面的討論知道: 級數一般來說並不滿足交換律, 所以若要將上述這些項加相的話也會出現 排列順序的問題, 而且順序的選擇不僅影響級數和, 甚至會影響收斂性。 在兩級數相乘的理論中, 具有 應用價值的排列順序有以下兩種:

(1) 正方形法加總: 考慮 ^P∞

n=1

d_n, 其中 _{d1 = a1b1, d2= a1b2+ a2b2+ a2b1,} 而一般項可記為 d_n= a₁b_n+ a₂b_n+ · · · + an−1b_n+ a_nb_n+ a_nb_n−1+ · · · + anb₂+ a_nb₁, 此時部份和為 ^Pn

k=1

d_k=

 _n P

k=1

a_k

  _n P

k=1

b_k



,正好為兩部份和之相乘。

(2) 對角線法加總: 考慮 柯西乘積 (Cauchy product) P^∞

n=1

c_n, 其中 c_n= P

i+j=n+1

a_ib_j。 針對這兩種情況, 正方形法的加總結果較為單純, 在此先提出來討論。

定理 _6. 若 ^P∞

n=1

a_n 和 ^P∞

n=1

b_n 都收斂, 則 ^P∞

n=1

d_n 收斂_, 且 ^P∞

n=1

d_n=

_∞ P

n=1

a_n

 _∞ P

n=1

b_n



。 證明: 分別記 ^P∞

n=1

a_n 與 ^P∞

n=1

b_n 的部份和數列為 _{sn}^∞_n=1 與_{tn}^∞_n=1, 級數和分別記為 s與t, 而關 於 ^P∞

n=1

d_n 的部份和數列記為 _{un}^∞_n=1。 因為u_n= sn· tⁿ, 而且 lim

n→∞s_n= s, lim

n→∞t_n= t, 所以 X∞

n=1

dn= lim

n→∞un= lim

n→∞(sn· tⁿ) = lim

n→∞sn· lim_n

→∞tn= s · t = X∞ n=1

an

! _∞ X

n=1

bn

!

。

例 _7. 級數 ^P∞

n=1

a_n 與 ^P∞

n=1

b_n 的收斂性不見得可以保證柯西乘積 ^P∞

n=1

c_n 的收斂性。

解_. 考慮 ^P∞

n=1

a_n = P^∞

n=1

b_n = P^∞

n=1

(−1)√nⁿ⁺¹, 首先證明此級數是條件收斂的。 由 ^P∞

n=1

a_n 與 ^P∞

n=1

b_n 所成 的柯西乘積之一般項為

c_n= X

i+j=n+1

(−1)ⁱ⁺¹

√i ·(−1)^j+1

√j = (−1)ⁿ⁺³ X

i+j=n+1

√1

ij = (−1)ⁿ⁺¹ X

i+j=n+1

√1 ij

注意到上面c_n 的表達式當中總共有 n項, 而每一項中, i + j = n + 1。 由算幾不等式 (Arithmetic-Geometric Mean Inequality)得到

pij ≤ i+ j

2 = n+ 1

2 ⇒ 1

√ij ≥ 2 n+ 1, 於是得到

|cⁿ| = X

i+j=n+1

√1ij ≥ 2n n+ 1 ≥ 1,

因為 _lim

n→∞c_n6= 0, 所以 ^P∞

n=1

a_n 與 ^P∞

n=1

b_n的柯西乘積 ^P∞

n=1

c_n 發散。

當 ^P∞

n=1

a_n 與 ^P∞

n=1

b_n 都是絕對收斂時, 則不會有上述的情況發生。

定理 _8. 若級數 ^P∞

n=1

a_n 與 ^P∞

n=1

b_n 都是絕對收斂的, 則將 a_ib_j, i, j ∈ N 按任意方式排列而成的級數 也絕對收斂, 並且級數和等於

 _∞ P

n=1

an

  _∞ P

n=1

bn



。

證明: 假設 a_i1b_j1, a_i2b_j2, . . . , a_ikb_jk, . . . 是所有 a_ib_j, i, j ∈ N 的任意一種排列。 對任意的 n, 取 N = max

1≤k≤n{i^k, j_k},則

n

X

k=1

|aⁱkb_jk| ≤

N

X

i=1

|aⁱ|

!



N

X

j=1

|b^j|



≤ X∞

i=1

|aⁱ|

!

 X∞ j=1

|b^j|



,

得到 ^P∞

k=1|aⁱkb_jk|的部份和是遞增有上界的數列,因此 ^P∞

k=1

a_ikb_jk絕對收斂。 由 定理4得知 ^P∞

k=1

a_ikb_jk 的任意更序級數也絕對收斂, 並且級數和不變。

所以 定理8 表明絕對收斂級數滿足乘法對加法的分配律。

在文檔中 第八章 無窮級數理論 (頁 24-29)