3-1 物理模型
當熔膠在模具內流動時，流場的流動模式將受到模具幾何、黏度、
壓力…等因素的影響，系統非常繁雜，本研究將探討射出成型常見的 四種主要幾何流動(如下示意圖)：
1. 圓管和兩平板間的一維流動，見圖 3-1(上)。
2. 兩平板間的二維流動(徑向流動)，見圖 3-1(下)。
3. 流動幾何邊界，見圖3-2。
4. 有明顯方向性的幾何變化，見圖 3-3。
圖 3-1 圓管流動平板流動徑向流動示意圖
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圖 3-2 薄件幾何邊界示意圖
圖 3-3 明顯方向性的幾何變化示意圖
3-1-1 模型假設
本研究的理論計算和數值模擬皆以以下的假設作為邊界條件的設 定：
1. 射出進膠量為定值。
2. 模具邊界速度為零(邊界不滑動效應)。
3. 在流動時設定為穩定的層流，沒有紊流。
4. 忽略波前噴泉效應的影響，即未充填的模具幾何不影響其流動，且 空模穴壓力為零。
5. 重力影響不考慮。
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3-1-2 黏度模型
本研究使用的黏度模型為擬塑性流體(Pseudoplastic Fluid)：
以塑膠聚苯乙烯polystyrene(PS)為做為模擬的填充物，表3-1顯示塑 膠聚苯乙烯在不同溫度下的 和 值，其黏度示意圖則見圖3-4 (以下的 圖形皆設定溫度為225℃)：
表3-1 聚苯乙烯黏度係數表
溫度℃ k n
190 4.47×104 0.22
210 2.38×104 0.25
225 1.56×104 0.28
圖 3-4 擬塑性流體黏度示意圖
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黏度模型由於是指數函數，在剪應變為零時黏度趨近於無限大，
在剪應變極大時黏度則趨近於無限小，但如此並不能確切描述塑膠材 料的特性，故通常會在模型內設定剪應變範圍，並設定最大值和最小 值(如圖3-5及圖3-6)，避免在小剪應變或過大剪應變範圍內失真，而此 模型的剪應變範圍為100 ~ 5000(s-1)。修正後如下：
*
+
圖 3-5 低剪應變黏度修正(最大值)
圖 3-6 高剪應變黏度修正(最小值)
，模型的剪應力修正後如下，由圖3-7、圖3-8可以發現修正
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後的模型依然同樣為不連續函數：
*
+
圖 3-7 塑性流體應力和應變關係圖
圖 3-8 塑性流體應力和應變關係圖
3-2 理論計算
在理論計算的部分，因為射出成型機以螺桿推動，進膠量和進膠 速度為可控制項。本研究著重在模穴幾何對流動的影響，及不同幾何 的壓力分佈。
46 1. 參考附錄一，圓柱座標的Navier-Stokes Equation：
由上假設可化簡剩下z分量:
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圖 3-9 圓管穩定流動情況
2. 殼層分析：
參考圖3-10在殼層體積內力平衡為：
共除 ：
( * 同上方程式。
圖 3-10 圓管流動殼層分析法
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1. 參考附錄一笛卡爾座標Navier-Stokes Equation：
由上假設可化簡剩下x分量:
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Navier-Stokes Equation在此並不適用，如圖3-13所示，應改用流動微分
分析法：圖 3-13 平板穩態流動剪應力關係圖
圖3-14和圖3-15顯示在考慮塑性流體時，剪應力和剪應變的關係是 三段不連續的函數。在Ⅰ、Ⅲ區域內黏度為定值，剪應力和剪應變呈 現線性的關係。
圖 3-14 剪應力和剪應變關係圖
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圖 3-15 剪應力和剪應變關係圖
因此，此時的計算完全取決於 落在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ中的哪個區域，
但可以預測的是，速度分布 不一定仍是拋物線，壓力梯度 和平 均速度 也不是正比關係，此外，若黏度沒有做修正，當剪應變過小 和過大時將會有嚴重的錯誤。所以此處將 剪應變改寫成
，即可算出。
∫
∫ ( *
解開以上的微分方程後，即可求得 ，這裡的積分範圍需要知 道 的實際值，但 取決於 和平板的厚度 ，且函數不連續，
使計算十分繁瑣複雜，在此只呈現計算成果(詳細計算的過程請見附錄 二)。
圖3-16、3-17、3-18為當 時， 分別在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三段 不連續函數內的速度分布 ， 分別為：
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圖 3-16 在Ⅰ區域速度分布圖
圖 3-17 在Ⅱ區域速度分布圖
圖 3-18 在Ⅲ區域速度分布圖
從上面三張圖可以發現，當 在Ⅰ區域內，所有剪應力則在範 圍Ⅰ內。由於黏度為定值，所以速度分布 仍呈現與牛頓流體相同
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的拋物線分布。而當 越來越大時，大部分的剪應力都將落在範圍
Ⅲ內，此時速度分布 會漸漸變成拋物線分布。當 分別落在Ⅰ、
Ⅲ兩段區域時，未修正黏度所得的速度分布和牛頓流體的速度分布有 明顯的不同；而當 在Ⅱ區域內時，兩者則大致相同。
因此，只要把速度分布 積分起來求取平均速度就能得到壓力 梯度 和平均速度 的關係：
∫
圖3-19、3-20為當 時， 與 的關係圖：
圖 3-19 平均速度和壓力梯度關係圖
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圖 3-20 平均速度和壓力梯度關係圖
經由最後的結果(圖3-19、3-20)可以發現，擬塑性流體的壓力梯度 和流動速度的關係為一個不連續的多項式描述。模擬流動時需要視情 況而定，之後的數值模擬將會驗證這個理論的正確性。
圓管的流動情況與此證明雷同，詳細的計算過程請參見附錄三。
而二維的流動則可參考牛頓流體的情況，將二維流動定義與此一維的 流動相同。
3-2-3 流動幾何邊界
在幾何邊界的流動如圖3-21所示。若將速度分成兩軸 和 ， 軸方 向只受到上下兩邊模壁A和C的邊界不滑動條件影響，邊界模壁B則為 移動限制邊界。
但 軸方向的流動不只受到上下兩邊模壁的邊界A和C不滑動條件 影響，還受到邊界模壁B的影響，要描述這種情況，本研究導入非圓形 管流常使用的因次：水力直徑 和范寧摩擦係數 ，並將之定義為：
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其中 為流動截面積。 為潤濕周長(接觸周長)。Re為雷諾數。c 則因管徑形狀而定，可由查表得知，表3-2附上一些簡單幾何的范寧摩 擦係數。此情況可由流動水力直徑 和范寧摩擦係數 來描述：
合理假設
同樣的壓差方程式可以寫為：
查表為
圖 3-21 邊界流動示意圖
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而一維平板流動的情況如圖3-22所示，水力直徑 表示於：
圖 3-22 邊界流動示意圖
而牛頓流體在 軸方向的壓差方程式仍只受到厚度的影響(同牛頓 流體一維平版流動)，故可表示為：
查表為
比較後可以發現：在同樣的傳動速度下， 和 兩軸所需的壓力差 比例為17.5:12，比值大約是1.5，同樣假設在塑性流體(非牛頓流體)時 壓力也有相同的比值，如圖3-23所示， 。再利用數值模擬來 比較是否假設妥當可行。
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圖 3-23 邊界兩軸平均速度和壓力梯度關係比較圖
3-2-4 有明顯方向性的幾何變化
在有明顯方向性的幾何變化情況中，大致同樣可把速度分成兩軸 方向，此模型如圖3-24所示， 軸方向的流動類似於邊界流動(在凸字形 管中流動)，因此可利用水力直徑和范寧摩擦係數來描述，但並非所有 幾何形狀的管道都有公認的范寧摩擦係數，故仍需數值模擬的輔助。
圖 3-24 方向性的幾何變化情況示意圖
軸方向的流動雖然只是不同厚度的變化，但是厚度變化迅速，不
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能利用單純不同厚度的板子流動來假設，但由於有規則性，所以同樣 需要利用數值模擬來輔助計算觀察趨勢。
理論的計算大致上到此結束，第四章會以數值模擬來比對理論的 正確性和輔助理論不能敘述流動情況。
表3-2 簡單幾何的范寧摩擦係數
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