特殊群組選擇

元數的集合總共有2ⁿ個不同組合，我們從中挑選出的特殊群組需滿足 一條件：此群組所屬的任意兩個位元組合之間的漢明距離必須不小於 設定的門檻定值，而此定值可由使用者自行定義或設計。其群組選擇 演算法流程如圖(3.1)所示。

圖 3.1 特殊群組選擇流程圖

很明顯的，當定值越高則符合條件的位元組合相對越少，我們也發現 不管定值設為多少，所成群組的組合個數永遠都是二的倍數次，因此

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一定有其特殊的結構隱含其中。基於系統設計的考量，我們初步鎖定 定值為 3 的例子做深入分析，同時擇定 0 的位元組合[000…000]一定 存在此群組之中。若令 a 和 b 為兩個從此群組挑出的位元組合，由於 此群組中任意兩組合的漢明距離一定不小於 3，因此 a 和 b 作二進位 加法所得的 c，其結構中位元 1 的數目 k 必須不小於 3，而位元 0 的 數目則為(n-k)。意即 a 和 b 有 k 個位置是置放不一樣的位元，而其 餘的(n-k)個位置則代表同樣的位元。為了符合群組的特性，a 和 b 再分別和 0 的位元組合估算其漢明距離。茲針對此 k 個位置做分析，

我們分別對四種不同情況做討論。

圖 3.2 證明線性區段碼示意圖

1、 對於 a 其中 k 個位置皆為 0 位元，則 b 在相同的 k 個位置皆為 1 位元，兩者為了達到和 0 位元組合之間也同樣具有漢明距離

不小於 3 的條件，兩者剩餘的(n-k)個位元一定得包含 3 個以上 的 1 位元。再分別將 a、b 和 c 做漢明距離，針對 a 而言其漢 明距離必定大於(k+3)，而對 b 而言其漢明距離必定大於 3。

2、 對於 a 其中(k-1)個位置為 0 位元，只有一個位置為 1 位元，

因此對於 b 而言剛好與 a 顛倒，只有一個位置為 0 位元，(k-1) 個位置為 1 位元。兩者為了達到和 0 位元組合也同樣具有漢明 距離不小於 3 的條件，兩者剩餘的(n-k)個位元一定得包含 2 個以上的 1 位元。再分別將 a、b 和 c 做漢明距離，針對 a 而 言其漢明距離必定大於(k-1+2)=k+1，而對 b 而言其漢明距離必 定大於 1+2=3。

3、 對於 a 其中(k-2)個位置為 0 位元，只有兩個位置為 1 位元，

因此對於 b 而言剛好與 a 顛倒，只有兩個位置為 0 位元，(k-2) 個位置為 1 位元。兩者為了達到和 0 位元組合也同樣具有漢明 距離不小於 3 的條件，兩者剩餘的(n-k)個位元中必定包含 2 個以上的 1 位元。再分別將 a、b 和 c 做漢明距離，針對 a 而 言其漢明距離必定大於(k-2+2)=k，而對 b 而言其漢明距離必定 大於 2+2=4。

4、 對於 a 其中(k-3)個位置為 0 位元，有三個位置為 1 位元，因 此對於 b 而言剛好與 a 顛倒，有三個位置為 0 位元，(k-3)個

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位置為 1 位元。兩者為了達到和 0 位元組合也同樣具有漢明距 離不小於於 3 的條件，因此兩者剩餘的(n-k)個位元中必定包含 3 個以上的 1 位元。再分別將 a、b 和 c 做漢明距離，針對 a 而言其漢明距離必定大於(k-3+3)=k，而對 b 而言其漢明距離必 定大於 3+3=6。

綜合以上 4 種情況的討論，可以發現 a 和 b 做二進位加法所得的 c 和 a、b 的漢明距離皆不小於 3。這代表此群組任意取兩個位元組合具有 加法的封閉性，意即 c 仍然屬於在這群組之中，也說明了這種群組是 一個子空間。再加上 0 位元組合必存在此群組之中，因此我們可以證 明在定值為 3 的情況下，此群組就是某個合法的產生矩陣所製造出的 所有合法碼字。如此也可解釋為什麼經過此演算法找出的群組，其所 屬的位元組合數一直是 2 的倍數次方。我們甚至可以從這所有的合法 碼字，找出其對應的產生矩陣以及查核矩陣。換句話說，經過此演算 法所找出的群組本身就是一群具有位元更正能力的合法碼字。

以上的說明驗證了定值為 3 的情況，此群組為一合法的線性區段 碼，只要定出我們希望合法碼字的位元數，就可以找出對應的產生矩 陣以及查核矩陣。從線性區段碼的角度來看，所謂的定值其實就是在 編碼理論中的最小距離值。依此列出經過證實的(n,k)線性區段碼，

其最小距離皆為 3，即可更正 1 個發生錯誤的位元：(6,3)、(8,4)、

(10,6)、(12,8)、(14,10)，其中(10,6)以及(12,8)兩種線性區段碼 將會運用在我們的實驗系統之中。另外，我們可以推廣到 3 以上的定 值，利用同樣的方法也可證明出亦為線性區段碼的特性。