直線排列可能之循環節個數

國

立 政 治 大 學

‧

N a tio na

l C h engchi U ni ve rs it y

第三章 直線排列可能之循環節個數

上一章已介紹 K-循環節之定義，而 K 之值=

循環節個數

個數 參與直線排列之物品總

， 在參與直線排列之物品總個數已給定為 n 之條件下，K 之值由循環節之個數而決 定，若循環節個數為w₁,w₂,,w_n,則 K-循環節之 K 值依序為

w

n

n w

n w

n

, , ,

2 1

 ，本 章介紹直線排列循環節個數之求法，求出循環節個數之目的是為了得到 K-循環 節之所有 K 值。

定理 3.1：k 類物品，每類依序有x₁,x₂,....,x_k個， (x₁,x₂,...,x_k)[註3.1]d 則 d有正因數w w為直線排列可能之循環節個數。

註 3.1：(x₁,x₂,...,x_k)表x₁,x₂,...,x_k之最大公因數。

證明：

()(x₁,x₂,...,x_k)d，則d|x_t,t 1,2,3,...,k，已知 ，所以 ，令

，則 k 類物品依序有

d w |

hk

xt

w|

h

t

w



x

t  wh wh ,....,w

ak

, ₂

1

w

,..., , ,...,

)

( 



 h_k個 k k

k a a

a

a

1

a

個，此 k 類物品可視為由 個物品複製 次構成，將各類物品依同類相鄰的原則排成一列

依序 ，假設這樣的排法會使循環節具有子

循環節，則這個子循環節的開頭必為 ，結尾必為 ，這會造成下一個子循環 節的開頭 等於 ，產生矛盾( 因為已知

)

2 ... hk

h  

,..., , , ,...,

( 2 2 ) (

1 1 , 1

1 2



 



 h個 h個

a a a a a

a

1 a_k (h₁

)

a2

ak 1 

k k

k

a a

a

, ,...,

k)

h w

)，原假設錯誤，所以

不會有子循環節，



^{個物品由沒有}

子循環節的 個物品複製 次構成，共 個循環節，所以 為直

線排列可能之循環節個數，得證。

a a a

a

, , ,..., ,..., _{1 2 2}

(h₁h₂ 

a

a ,

_{1 1 2},..., ...

 k

t

w

1



h

_t

w w

- 3 -

‧ 國

立 政 治 大 學

‧

N a tio na

l C h engchi U ni ve rs it y

() x_t 

d w w

(

為直線排列可能之循環節個數，

) ,...., 3 , 2 , 1

(t k

h_t 

( ) ,..., , ₂

1 x xk w

x  h₁,wh₂,...,wh_k)w(h₁,h₂,...,h_k)





d有正因數w，得證。

例 3.1：111111111111222222222222 排成一列， 1，2 各有 12 個，

( 12，12 ) = 12 ， 而 12 之正因數有 1，2，3，4，6，12 所以 111111111111222222222222 直線排列可能有

1 個循環節： 111111111111222222222222 2 個循環節： 111111222222 111111222222 3 個循環節： 11112222 11112222 11112222 4 個循環節： 111222 111222 111222 111222 6 個循環節： 1122 1122 1122 1122 1122 1122

12 個循環節： 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12

- 4 -

‧ 國

立 政 治 大 學

‧

N a tio na

l C h engchi U ni ve rs it y

第四章 直線排列循環節的循環排列與環狀排列之對應

第三章得知

K-循環節可寫成

w

n

-循環節(其中 代表參與直線排列之物品

總個數， 代表直線排列產生之循環節個數，本章介紹具有 n

w

w

n

-循環節之每

w n

種

直線排列會對應到同一種環狀排列之對應關係。

定理 4.1：若排列有e個循環節，每一循環節的循環排列複製 次得一新排列， e

則此二種排列對應到同一種環狀排列。

註 4.1：n 個物品排列若有 個w

w

n -循環節，每個

w

n -循環節有

w

n

種相異循環排列，

此 w

n

種循環排列複製 次對應到同一種環狀排列。 w

證明：

環狀排列有e個 K-循環節，指定其中任一物為起點，順時針方向前進， 會經過 環上所有物品，出現順序形成一循環排列，所有情形如下

K 3 2 1a a ...a

a a₁a₂a₃...a_K ………a₁a₂a₃...a_K

1 4 3 2a a ...a

a a₂a₃a₄...a₁ ………a₂a₃a₄...a₁

  

1 K 2 1

Ka a ...a _

a a_Ka₁a₂...a_K1 ………a_Ka₁a₂...a_K1

假設其中有任二者相等，不失一般性，令重複出現的是 ，且 在之

後的第 r 個第一次重複出現

K 1....a

a a₁a₂...a_K

r

r a

a a

a₁.... _K  _1...

 ，又已知 在之後的第 K

個會重複出現，因為 K-循環節沒有子循環節，所以將 K 除以 r 必不能整除，有 餘數 s 0 < s < r 在之後的第 s 個重複出現，這會產生矛盾( 因為這會 導致 在之後第 r 個並非第一次重複出現 ) 原假設錯誤 無任二者相等 才是正確。由以上得知， n 物排列若有w個

aK

a ....₁

 a a ...₁

a ...₁ a_K

K  

w

n

-循環節，每個

w

n

-循環節有

w

n

種

相異循環排列，此

w

n

種循環排列複製 次對應到同一種環狀排列。 w

‧ 國

立 政 治 大 學

‧

N a tio na

l C h engchi U ni ve rs it y

例 4.1：12331233 1233 由 4-循環節複製 3 次構成，每一循環節內有 4 個物品，

則 1233 1233 1233 2331 2331 2331

3312 3312 3312 3123 3123 3123

上述 4 種直線排列對應到同一種環狀排列且每一種直線排列由一 4-循 環節的循環排列複製 3 次構成。

例 4.2：112233 由 6-循環節複製 1 次構成，每一循環節內有 6 個物品，

則 112233 122331 223311 233112 331122 311223

上述 6 種直線排列對應到同一種環狀排列且每一種直線排列由一 6- 循環節的循環排列複製 1 次構成。

- 6 -

‧ 國

立 政 治 大 學

‧

N a tio na

l C h engchi U ni ve rs it y

第五章 直線排列循環節的子循環節之個數

第三章我們得知 K-循環節之所有 K 值，第四章我們也了解具有 K-循環節 之每 K 種直線排列對應到同一種環狀排列，如果我們可以得知具有 K-循環節之 所有直線排列情形數 T，將 T 除以 K 即為環狀排列數。我們計算 T 值時是將 K-循環節內之物品做直線排列再複製

K

n

次而得到具有 K-循環節之直線排列，但困

難的是：K-循環節內之物品做直線排列時有可能結果會產生子循環節，這會瓦解 原本的 K-循環節，換句話說，此時的直線排列已不具有 K-循環節，所以要將產 生子循環節之情形數扣除掉，才可得到真正的 T 值，本章將子循環節之個數依 質數之倍數作分類，這並不能算是分割，因為子循環節之個數有可能同時是兩個 (含)以上質數之倍數(以 abababababab 為例,有 6 個子循環節 ab，子循環節個數 6 可以是質數 2 之倍數，子循環節個數 6 同時也是質數 3 之倍數)，子循環節個數 6 在子循環節個數是質數 2 之倍數時被算了一次，在子循環節個數是質數 3 之倍數 時又被算了一次，所幸這個重複計算的情形可由排容原理排除，這留待下一章再 談。

定理 5.1：循環節內有 k 類物品，每類依序有x₁,x₂,....,x_k個，(x₁,x₂,...,x_k)d d有質因數 t 循環節內物品作直線排列產生的子循環節個數為質數

之倍數。



t

證明：

()d有質因數 td有正因數

t

 ( 其中

u

u為正整數 )由定理 3.1 知

t



u

為循環節內物品作直線排列可能產生的子循環節個數 此子循環節個 數為質數 t 之倍數。

()循環節內物品作直線排列產生的子循環節個數為質數 之倍數，

t

不失一般性假設此( 之倍數)等於

t t

 ( 其中 u 為正整數 )，

u

由定理 3.1 知(

t



u

)|

d



t

|

d

d 有質因數 t ，得證。

‧

例 5.1：循環節 111111222222

1 有 6 個，2 也有 6 個(6,6)66有質因數 2，3

‧ 國

立 政 治 大 學

‧

N a tio na

l C h engchi U ni ve rs it y

由(1)(2)知

A

_t 

B

_t 

A

_t 

B

_t 







 k

i i k

i i

t x t x

1 1

)!

( )!

(

，得證。

例 5.2：循環節 aaaaaabbbbbbcccccc

a，b，c 各有 6 個 ( 6，6，6 ) = 6 有質因數 2，3 循環節內物品作直線 排列後產生子循環節個數

為 2 的倍數之所有情形數為

2)!

(6 2)!

(6 2)!

(6

2)!

6 2 6 2 (6 

為 3 的倍數之所有情形數為

3)!

(6 3)!

(6 3)!

(6

3)!

6 3 6 3 (6 

例 5.3：循環節 aaaaaaaabbbbbbbbcccccccc

a，b，c 各有 8 個 ( 8，8，8 ) = 8 有質因數 2 循環節內物品作直線排

列後產生子循環節之所有情形數為

2)!

(8 2)!

(8 2)!

(8

2)!

8 2 8 2 (8 

。

-

^{9 -}

‧ 國

立 政 治 大 學

‧

N a tio na

l C h engchi U ni ve rs it y

第六章 具有 K-循環節之直線排列計數

在第五章我們已能知道

K-循環節內物品作直線排列產生之子循環節個數

的所有類別以及其情形數的計數方法，由例 5.2 得知 18-循環節 aaaaaabbbbbbccccc 這 18 個字母排列可能產生子循環節個數可能為質數 2 或質數 3 之倍數，在扣除 子循環個數之過程中，為了避免重複扣除的情形發生，我們以排容原理來計數，

所以我們必須先扣除子循環節個數為質數 2 之倍數之情形數，再扣除子循環節個 數為質數 3 之倍數之情形數，再加上子循環節個數為質數 2 之倍數且為質數 3 之倍數之情形數，問題來了，子循環節個數為質數 2 之倍數且為質數 3 之倍數是 否等同於子循環節個數為這兩個質數相乘，也就是 6 之倍數，這個猜想在引理 6.1 中獲得證明，藉由引理 6.1 成功地解決在使用排容原理時所必須遭遇到子循 環節之個數有可能同時是兩個(含)以上質數之倍數的問題，這也使得我們在定理 6.1 使用排容原理扣除子循環節之情形數時可以通行無阻，一路順暢。

引理 6.1：循環節內物品作直線排列後產生子循環節個數為某整數 k 之倍數所有

情形所成集合為

A_k，若(

i

,

j

)1則

A

_i 

A

_j 

A

_ij。

證明：

x A A

x

 _i  _j 

 內循環節內物品作直線排列後產生子循環節個數 t 為 i 之倍數

且為 j 之倍數 i j t i j t

j t i

j t i

j i,

[ | |

| 1 ) ,

| (

*

]      

  內循環節內物品作

x

直線排列後產生子循環節個數 t 為

i

 之倍數

j

j i

j

A

A

 _

i j

i

A

A

x

 _  

 ( ) ………(1)



x

A

_ij 內循環節內物品作直線排列後產生子循環節個數 為

x t i

 之倍數

j

且

t



i | t j | i





j | t

 x內循環節內物品作直線排列後產生子循環節個數 t

* :

[ j

i

, ]表示

i, 之最小公倍數 j

‧

‧

例 6.1：18-循環節 aaaaaabbbbbbcccccc

a，b，c 各有 6 個 ( 6，6，6 ) = 6 有質因數 2，3 循環節內物品作直線

例 6.2：24-循環節 aaaaaaaabbbbbbbbcccccccc

a，b，c 各有 8 個 ( 8，8，8 ) = 8 有質因數 2 循環節內物品作直線

‧ 國

立 政 治 大 學

‧

N a tio na

l C h engchi U ni ve rs it y

第七章 不盡相異物之環狀排列數

在第六章我們已可算出具有

K-循環節之直線排列數 T，而在第三章提

過，K 之值= ,

w

n

循環節個數

個數 參與直線排列之物品總

只要將 T 除以Ｋ，亦即將 T 除以 ,

w n

也

就是將 T 乘以 ,

n

w

就可得到所對應的環狀排列數，我們依 K-循環節之各個不同Ｋ

值來計算其對應之環狀排列數，再用加法原理將各類之環狀排列數相加即可得完 整之環狀排列數。

定理 7.1：n 個物品排成一列後循環節個數由小而大依序為 ，若循環 節內物品作直線排列後不產生子循環節之情形所成集合依序

，則環狀排列數 =

wk

w w₁, ₂,...,

Sk

S

S₁, ₂,...,







k

i

i i

n S w

1

|

| 。

證明：

k 類物品共n個排成一列後有w_i個循環節(

i

1,2,3,...,

k

)，若循環節內物品作直線

排列後不產生子循環節之情形所成集合為 中每種情形都有 個循環節

每一循環節中有

Si S_i w_i



w

i

n

個物品 由定理三知 中每S_i

w

i

n

種循環排列複製 次對

應到同一種環狀排列 的環狀排列數 =

wi

Si 

w

i



n

i |

S

| n

w S_i | _i

|  所有環狀排

列數 =







k

i

i

w

i

1

n

S |

| 。

關於本篇論文之論證至此已算結束，接下來以五個題目（例 7.1～7.5）舉例 來使用我們導出的環狀排列計數公式

- 13 -

‧

例 7.2：求 aaaabbbbcccccc 之環狀排列數?

解：a，b 各有 4 個，c 有 6 個

(4，4，6 )=2，而 2 的正因數有 1，2

例 7.3：求 aaaabbbbcccccccc 之環狀排列數?

解：a 有 4 個， b 有 4 個， c 有 8 個

‧

例 7.4：求 aaaaaaaaaaaabbbbbbbbbbbb 之環狀排列數?

解：

a 有 12 個， b 有 12 個，

‧

‧ 國

立 政 治 大 學

‧

N a tio na

l C h engchi U ni ve rs it y

第八章 結論

綜合所學及搜集到的文獻顯示，算不盡相異物的環狀排列數已知的有兩種方 式，第一種：用 Polya 定理，第二種：用陳壽愷先生的五個計算公式，不過這兩 種方法都有其弱點所在，如果要讓高中生用這兩種方法來處理不盡相異物的環狀 排列問題，並無法達到普及化。首先談到 Polya 定理的弱點：學 Polya 的理論需 具備大學代數的基礎，高中生並不具備，而我的理論架構只需用到高中基礎數學 的知識。再來談到陳壽愷先生在民國 71 年發表的”論環狀排列與珠狀排列”一書 中的五個環狀排列計算公式，有三個弱點：(1)陳先生理論的分類架構建立在節 排列，但不同節排列倍數的排列所成集合會有非空之交集，嚴格講起來並非良好 之分割;而我的理論分類架構建立在循環節，不同的循環節個數之排列所成集合 彼此之間交集為空集合，故為一良好之分割。(2)理論架構論證方式不完整，在 其書中第 22 頁之定理 2-3 並未加以證明;而我的這篇論文的理論架構論證完整，

每一定義都作詳實敘述，每一定理逐一作嚴謹證明，無一疏漏。(3)陳先生發表 的公式有五個，不同的情況有不同的公式，且公式冗長繁複，使用不易;而我的 公式只有一個，已然含蓋所有情形，不僅簡短有力，而且易於使用。

數學問題的本質很像在找路，它只給您終點前那一段路，然後要您去找到底 被擦掉了那些路，有很多世紀數學難題到現在還找不到路!不過，我終於找到了

通往環狀排列計數的路：



 

 











 n 

j

k

i Y y

i k

i Y y

i

j Y j

y x

y x

0

1 1

|

| ( )!

)!

( ) 1

( 。

今後的展望：珠串排列數 =

2

對稱環個數 環狀排列數

，現在環狀排列數已 得解，若再解出對稱環個數，則珠串排列數可完全解決，對稱環的研究是以後可 以努力的方向。

‧ 國

立 政 治 大 學

‧

N a tio na

l C h engchi U ni ve rs it y

參 考 文 獻

[1]陳壽愷，民國 63 年(1974)，論環狀排列與珠狀排列，科教圖書 [2]陳明哲，民國 48 年(1959)，排列組合，中央書局

[3]王昌銳，民國 61 年(1972) ，組合論，百成書局

[4]王奉民、陳定凱，民國 77 年(1988)，離散數學導論，儒林書局 [5]李雲、林文達，民國 86 年(1997) ，離散數學 ，儒林書局 [6]張子浩，民國 77 年(1988) ，整合離散數學，文笙書局

[7]許振忠，民國 86 年(1997) ，一些排列組合的演算法，政大應數所 碩士論文

- 18 -

在文檔中 不盡相異物的環狀排列公式 - 政大學術集成 (頁 7-0)