相異項與奇項分割

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第四節 相異項與奇項分割

定義 1.7

設(a₁, a₂, a₃,· · · , a_k)為 n 的一個分割且∀i , 1≤i≤k , 滿足

1≤a₁< a₂< a₃<· · · < a_k ≤n , 則稱(a₁, a₂, a₃,· · · , a_k)為 n 的一個相異項分割_◦ 我們用符號(a₁, a₂, a₃,· · · , a_k)表示為整數 n 的一個相異項分割_◦

例 :

(1, 2, 3, 5)為整數 11 的一個相異項分割_◦

定義 1.8

設(a₁, a₂, a₃,· · · , a_k)為 n 的一個分割且∀i , 1≤i≤k , 滿足 a_i為奇數且

1≤a₁≤ a₂≤ a₃≤ · · · ≤ a_k ≤n , 則稱(a₁, a₂, a₃,· · · , a_k)為 n 的一個奇項分割_◦

我們常用符號[e₁, e₂, e₃,· · · , e_n ]表示為整數 n 的一個奇項分割 , 其中 e_i代表 i 使用的次 數_◦

例 :

(1, 1, 1, 1, 1, 3, 3)為整數 11 的一個奇項分割_◦

我們常用符號[5, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]表示為整數 11 的一個奇項分割_◦

定義 1.9

設 D_n為整數 n , n ≥1 的所有相異項分割所成之集合 , d_n為整數 n , n ≥1 的所有相異 項分割之個數_◦

設On 為整數 n , n ≥1 的所有奇項分割所成之集合 ,ϑn為整數 n , n ≥1 的所有奇項分 割之個數_◦

例 :

D₅ ={(⁵),(1, 4),(2, 3)}^{且 d}5 =3_◦

O5 ={(5),(1, 1, 3),(1, 1, 1, 1, 1)}^且ϑ5 =3_◦

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定理 1.10

給定整數 n , n ≥1 , d_n =_{ϑn ◦} 證 :

d_n 的生成函數為∏k≥1 (1+x^k) ϑn 的生成函數為∏k≥1 1

1−x^2k−1

　∏k≥1(1+x^k)

=_∏k≥1(1+x^k)_∏k≥1 ^1−xk

1−x^k

= ^∏_∏^k≥11−x2k

k≥11−x^k

=_∏k≥1 ¹

1−x^2k−1 

由定理 1.10 , 從生成函數的觀點 , 我們知道對於整數 n ≥1 , n 的相異項分割個數和 n 的 奇項分割個數會相等 , 因為從生成函數的觀點較繁瑣 , 而且對於沒學過生成函數的同 學 , 較為不易了解 , 因此我們要找一個函數對應的方式 , 能夠直接說明 n 的相異項分割

集合和 n 的奇項分割集合的個元素個數會一樣_◦

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第 二 章

( ₁ − ^x ) _g ^∗ ( _x ) = _{1 的對射證明}

第一節 2 的冪分割的對射證明

定義 2.1

設(a₁, a₂, a₃,· · · , a_k)是整數 n 的分割 , n≥1 , 若(a₁, a₂,· · · , a_k)中最大項的個數為 α , 寫成 maxnum(a₁, a₂,· · · , a_k) =_{α ◦}

註 :α≥1_◦ 例 :

α =maxnum(1, 1, 1, 3, 3, 5, 5, 5) =3_◦

定義 2.2

∀n≥2 ,

(1)設 S⁽_n¹⁾ 為整數 n 的所有 2 的奇冪分割之集合 , 其中α =1_◦ (2)設 S⁽_n²⁾ 為整數 n 的所有 2 的奇冪分割之集合 , 其中α ≥2_◦ (3)設 T_n⁽¹⁾ 為整數 n 的所有 2 的偶冪分割之集合 , 其中α =1_◦ (4)設 T_n⁽²⁾ 為整數 n 的所有 2 的偶冪分割之集合 , 其中α ≥²◦

註 : S_n =S⁽_n¹⁾ ∪ ^S(n²⁾ , T_n =T_n⁽¹⁾ ∪ ^Tn⁽²⁾ ◦

S⁽_n¹⁾ ∩ S⁽_n²⁾ =_{∅ , Tn}⁽¹⁾ ∩ T_n⁽²⁾ =_{∅ ◦}

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[函數 g 為單射函數]

給定 g(x₁, x₂,· · · , x_k−1, x_k) = g(y₁, y₂,· · · , yℓ−1, yℓ) claim : k= ℓ

證 :

假設 k̸= ℓ

⇒ (^x1, x₂, x₃,· · · ^{, x}k−2, x_k−1+x_k) ̸= (^y1, y₂, y₃,· · · ^{, y}ℓ−2, yℓ−1+yℓ)

⇒ g(x₁, x₂,· · · , x_k) ̸= g(y₁, y₂,· · · , yℓ)矛盾

g(x₁, x₂,· · · , x_k−1, x_k) = g(y₁, y₂,· · · , yℓ−1, yℓ)

⇒ (x₁, x₂,· · · , x_k−2, x_k−1+x_k) = (y₁, y₂,· · · , yℓ−2, yℓ−1+yℓ)

⇒^x1 =y₁, x₂ =y₂,· · · ^,xk−2 =yℓ−2, x_k−1+x_k =yℓ−1+yℓ

(x₁, x₂,· · · ^{, x}k−1, x_k),(y₁, y₂,· · · ^{, y}ℓ−1, yℓ)∈ ^Sn⁽²⁾ ,x_k−1 =x_k,yℓ−1=yℓ

⇒^x1 =y₁, x₂ =y₂,· · · ^,xk−2 =yℓ−2,2x_k =2yℓ

⇒x₁ =y₁, x₂ =y₂,· · · ^,x_k−1 =yℓ−1, x_k =yℓ

⇒ (x₁, x₂,· · · , x_k) = (y₁, y₂,· · · , yℓ)_ [函數 g 為蓋射函數]

∀ (z₁, z₂,· · · , zℓ)∈T_n⁽¹⁾ 設 zℓ−1 =2^t ,zℓ =2^u ,t <u

⇒^t ≤^u−¹

⇒^zℓ−1 ≤ ^z₂^ℓ =2^u−1

∃ (z₁, z₂, z₃,· · · , zℓ−1,^z₂^ℓ,^z₂^ℓ)∈S_n⁽²⁾ 使得

g(z₁, z₂, z₃,· · · , zℓ−1, ^z₂^ℓ, ^z₂^ℓ) = (z₁, z₂,· · · , zℓ−1,^z₂^ℓ +^z₂^ℓ)

⇒ g(z₁, z₂, z₃,· · · , zℓ−1, ^z₂^ℓ, ^z₂^ℓ) = (z₁, z₂,· · · , zℓ−1, zℓ)_

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第 三 章

∏ _{k ≥} 1 ( ₁ + _x ^k ) = _{∏ k ≥ 1} ¹

1 − ^{x 2k − 1} 的對射證 明

第一節 相異項與奇項分割的對射證明

定義 3.1

給定 r ∈ N , 則 r =2^a×b , a ∈N∪ {0}^{, 其中}b 為奇數 , 則我們 稱 b 為 r 的最大奇因數 , 用符號ϑ(r) = b 表示 ,

稱 2^a為 r 的最大 2 冪因數 , 用符號 e(r) =2^a 表示_◦ 註 : r =e(r)_ϑ(r)_◦

例 : r =60

e(r) =2²,ϑ(r) =15_◦

引理 3.2

x=y 若且為若ϑ(x) = _ϑ(y)且 e(x) = e(y)_◦ 證 :

(⇐ )^{根據定義 3.1} (⇒ )

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claim1 : 在 A_i的元素皆相異

任意給定α, β∈ A_i , 則e(_α) ̸=e(_β) 根據引理 3.2 ,α ̸= β

claim2 : 如果 i ̸= ^{j , 則 A}i∩^Aj =_∅ 任意給定α ∈ ^Ai,β∈ ^Aj

則ϑ(_α) =i,ϑ(_β) = j i ̸= j

⇒ϑ(_α) ̸=ϑ(_β) 根據引理 3.2 ,α ̸= β 設 A = A₁∪A₃∪ · · · ∪A_t

claim3 : 集合 A 中的所有元素 , 能夠按大小順序重新排列 , 用符號(x₁, x₂,· · · , x_k)表 示 , 其中 x₁ <x₂<· · · < ^xk

對|^A| =^{k 做數學歸納法} k =1 成立

設對 k=r 　成立

當 k=r+1 , 可假定 r+1 >1

根據良序原理 , minA 存在 , 令其為 x₁

考慮集合 , A− {^x1}, 根據數學歸納法 , 將集合內元素令為x₂, x₃,· · · , x_r+₁並滿足 x₂< x₃ <· · · < ^xr+₁

因此 ,∃ (^x1, x₂,· · · ^{, x}k)∈^D(n)

使得 f(x₁, x₂,· · · , x_k) = [y₁, y₂,· · · , y_n]_

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第 四 章

展望

第一節 更多關於整數分割的探討

　　有關整數分割的問題 , 既多元又有趣 , 例如 :

定義 4.1 設 A_k(n)為將整數 n 分割成奇數的和 , 奇數允許重複 , 奇數有 k 種的方法數_◦ 定義 4.2 設 B_k(n)為將整數 n 分割成相異項和 , 用(a₁, a₂, . . . , aℓ)表示 , 滿足 k 個不相連

的連續序列所組成的方法數_◦

定理 4.3 A_k(n) = B_k(n)_◦

關於定理 4.3 的證明可以參考 George E. Andrews. The theory of partitions.

例 :

A₃(14) =7 , 其組成為

(1, 1, 3, 9),(1, 1, 5, 7),(1, 3, 3, 7),(1, 1, 1, 1, 3, 7),(1, 3, 5, 5),(1, 1, 1, 3, 3, 5),(1, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 5) B₃(14) =7 , 其組成為

(1, 3, 10),(1, 4, 9), (1, 5, 8),(2, 4, 8),(2, 5, 7), (1, 2, 4, 7),(1, 3, 4, 6)

　　因為定理 4.3 的證明過於冗長 , 所以我們也是想要找個簡潔的方式去直接說明它們 之間的對應的關係 , 但是由於時間的關係 , 希望以後有機會可以繼續研究 , 還有像是其 他有關於整數分割的問題 , 在 George E. Andrews. The theory of partitions 這本書中 , 也有

許多介紹 , 如果對於整數分割有興趣的學弟妹 , 可以繼續努力將對應找出來_◦

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參考文獻

[1] National Institute for Compilation and Translation. http://terms.naer.edu.tw/.

[2] George E. Andrews. Number theory. New York : Dover Publications, 1938.

[3] George E. Andrews. The theory of partitions. London ; Reading, Mass. : Addison-Wesley Pub. Co., Advanced Book Program, 1976.

[4] G. H. Hardy and E. M. Wright. An Introduction to the Theory of Numbers. Oxford Univ.Press, London and New York., 1960.

[5] D. R. Hickerson. Identities relating the number of partitions into an even and odd number of parts. J. Combinatorial Theory A15, 1973.

[6] D. R. Hickerson. A partition identity of Euler type. Amer. Math. Monthly 81, 1974.

[7] Chung Laung Liu. Introduction to combinatorial mathematics. McGraw-Hill, 1968.

[8] Fred S. Roberts ; Barry Tesman. Applied combinatorics. Upper Sadle River, N.J. : Prentice-Hall, 2005.

[9] Alan Tucker. Applied combinatorics. Hoboken, N.J. : John Wiley and Sons, 2012.

在文檔中 有關整數分割的對射證明 - 政大學術集成 (頁 16-0)