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第二章 相關研究
此章節主要介紹本研究所使用到的相關技術與工具，本研究主要以 ASP 來處理詴 題數據的生成，並利用 Appserv[1]來架設伺服器並放置 PHP[2]網頁，最後於網頁上生 成詴題以及使用 Graphviz 生成詴題圖片。
2.1：Answer Set Programming
ASP(Answer Set Programming)[3]是一個用於解決困難搜索問題(通常為 NP-hard 問題)的宣告式邏輯程式設計語言。ASP 使用規則式邏輯敘述來描述問題，具有高效能 的 解 題 能 力 ， 而 通 用 的 ASP 求 解 器 則 可 根 據 輸 入 邏 輯 程 式 進 行 非 單 調 邏 輯 (Non-monotonic logic)[4]的推理來產生一或多個解答。這樣的方式有別於傳統程式語言 需要告訴電腦每一步如何執行才能獲得解答。
ASP 具有許多種求解器，例如：DLV[5]，Clingo[6]，ASPeRiX[7]等等。本研究所 使用的 ASP 求解器是 Clingo，因為 Clingo 在其中有著較高的效能，並且在許多 ASP 比賽中得過獎[8]，是一個功能性強的求解器。接下來將介紹 Clingo 的語法。
2.1.1：ASP 基礎
Clingo 邏輯程式的基本建構單元為項(term)。項可分為簡單項(simple term)、函數 (function)、以及項組(tuple)等。簡單項又細分為符號常數(constants)、整數(integers)、 字 串(string)、變數(variables)、"_"(底線)、#sup(最大)，以及#inf(最小)等。函數(function) 由符號常數(constants)加上多個項(term)與括號所組成。項組(tuple)與函數相似，差別 在於項組並沒有符號常數。
符號常數為一不變名稱，代表領域中某一特定個體、函數或關係。變數代表的是
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邏輯變數，意謂該位置可以一致性的代換成所有領域項(domain terms)，而所得的新的 規則或事實依然成立。Clingo 自訂了一個大小關係，任意兩個項都可以區分大小，而
#sup 與#inf 被用來代表最大值與最小值。圖 2-1 展示的是 Clingo 當中項的語法結構圖。
圖 2-1：項的語法結構圖
謂詞(predicates) 是指用以代表領域中特定維度關係(relation)的名稱，其詞彙組成 規則與符號常數相同，是以小寫字母開頭的識別字(identifier)。謂詞較特殊的地方在於，
除了名稱以外還必頇指明其維度(arity)，因為 Clingo 允許不同維度的領域關係使用相 同名稱。Clingo 使用"名稱/維度"的格式來表達完整的謂詞，例如 father/1 與 father/2 可 分別用來表示使用 father 當作名稱的一元關係與二元關係，此時這兩個謂詞的意義並 不相同。謂詞 p/n 通常不獨立使用而是以 p(t1,t2,…,tn)的原子(atom)形式出現，其中 (t1,t2,…,tn)為 n 個代表領域物件的項所形成的項組，用來表示該項組屬於謂詞 p/n 所代 表的 n 元領域關係。例如：我們可以用 father(john)來表示 john 為一名父親，也能用
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father(peter,marry)來表示(peter,marry) 屬於'父親'代表的二元關係。簡言之，peter 是 marry 的父親。
ASP 有著兩種否定，"-"代表傳統邏輯否定(classical negation)，而"not"代表的是無 法推論的預設否定(default negation)。例如我們使用-criminal(john)代表 john 沒有犯罪，
而使用 not criminal(john)表示無法推論 john 犯罪。此二敘述並不相同，因為無法推論 john 犯罪並不表示 john 沒有犯罪，只是沒找到證明 john 犯罪的證據。以下另舉一個 例子來說明差異。假設門不是關就是開，因此 door_closed(門是關的)與 -door_open(門 不是開的)同義。也因此由 door_closed 可以推論出-door_open 以及 not door_open(門既 然是關的當然無法推論門是開的)。同理由-door_open 可以推得 door_closed，但是由 not door_closed 卻無法推論出 door-open(因為無法確認門是關的不代表你就能推論說 門是開的)。 (positive)literal)，也可能是一個 not atom (稱為負(negative) literal)。
每一條規則的含意是當 Body 內的 literals 皆為真的時候，則 Head 內至少必頇有一 個 Hi(t>=i>=1)為真。如果一條規則的 Head 內只有一個原子 H1，這條規則將被稱為正 規規則(normal rules)；如果一條規則的 Head 內具有多於一個的原子，則這條規則將被 稱為析取規則(disjunctive rule)；如果一條規則同時滿足正規規則的形式且 Body 內的 literal 皆為正(positive)，則這條規則將被稱為正規則(positive rule)；如果一條規則的
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Body 沒有任何 literal，則這條規則將被稱為事實(fact)；最後如果一條規則的 Head 內 沒有任何原子，則這條規則將被稱為限制(constraint)。以下將提供例子來介紹各個項 literal，且具有正規規則的特性，所以被歸類為正規則。行 3 規則的 Body 沒有任何 literal，
所以被歸類為事實。行 4 規則因為 Head 內沒有任何原子，所以被歸類為限制。最後 的行 5 規則與正規規則相似，但是 Head 具有多個原子，所以歸類為析取規則。
2.1.3：Clingo 語句擴增
Clingo 有提供一些寫法可以使得語句更加簡潔。雖然並非一定要使用這些寫法，
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以 Clingo 也有寫法可以將相關性高的事實縮寫。Clingo 可以將一連串相鄰的數字以..寫成僅留頭跟尾的形式，例如：事實 r(1).r(2).r(3).r(4)可以縮寫成 r(1..4)並且不改變其 意義，這寫法稱為 interval。對於原子、函數或項組中有多個選擇性的項當作參數時， (aggregate term) 通常並不獨立出現，而是以如下的聚合原子(aggregate atom) 型式出現:
lower << aggTerm << upper。其中aggTerm 為一聚合函數項而upper與lower為兩數值，代 表聚合函數的上下限，至於<<則可以是常見的六種比較運算，包含 (<, <=, >, >=, =, 以 及 != )。除此外ASP系統，像是Clingo也提供聚合原子的各種精簡寫法，例如可以省略 下限或上限部分的描述，而比較運算若為<=則可省略不寫等。以下詴以三例簡要說明：
1. a(Y) :- b(Y), 2 <= #min{X : p(X,Y), q(X)} < 7.
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前述三規則具有相似的結構，差別在最後結尾的形式。#min{term : literals}會在集 合{term : literals}當中找尋最小的 term，這將是一個整數。行 1 規則的 2 <= #min{X : p(X,Y), q(X)} < 7 代表的是#min{X : p(X,Y), q(X)}所得出來的整數 A，必頇滿足條件 7>A>=2。行 2 規則我們將 7 左邊的"<"去掉以後，Clingo 將會視為在此處填了"<="，
我們必頇滿足條件 7>=A>=2。最後行 3 規則連 7 都去掉了，在 Clingo 會視為此處填了
#sup，#sup 代表的為最大值，也就是說 A>=2 但無上限。除 #min 外，Clingo 還提供 的其他聚合函數尚包括: #max (最大值)，#count (集合個數) 以及#sum (集合內數字 和)。
2.1.4：Clingo 範例
所有 ASP 系統包含 Clingo 均是採用規則式邏輯語言描述問題。當以 ASP 解題時，
首先需確定問題的表達方式，換言之，決定應使用哪些項與謂詞(predicate)等詞彙來表 達問題。接下來通常採用所謂的 generate-define-test 三步驟產生最後 ASP 程式。在 generate 階段我們利用前階定義的詞彙，書寫較籠統的邏輯規則以產生所有可能的問
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8. #show queen/2.
第一行與第二行為建立 row(1)~row(8)和 column(1)~column(8)的事實，表示列與行 的編號為 1 至 8，這邊使用 interval 使程式碼更簡潔。第三行使用了 choice，這句代表 queen(A,B)的(A,B)是使用 row 的 A 以及 column 的 B，並且根據左右的 8，使得產出的 不同 queen(A,B)個數為 8 個。第四行到第七行的語句是條件限制，因為左邊 Head 沒
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有內容，所以表示為偽(false)，因此滿足此規則的充要條件是 Body 內至少必頇有一個 literal 為偽。第四行/第五行代表的是，任何的 queen 如果有相同的 row/column，則他 們的 column/ row 也將一樣(即為在同一節點，queen 也將為同一個)。這會使得任何一 個 queen，她的同列以及同行將不會有其他的 queen。第六行以及第七行則是會使得任 何一個 queen，她的左右對角皆不會有其他的 queen。
我們使用上方七行來表達八皇后問題的特徵，接下來在第八行填入#show queen/2，
這將展現出所有 queen(A,B)的 atoms，以下為執行範例。
> clingo eightqueen.lp clingo version 5.2.1 Reading from test1.lp Solving...
Answer: 1
queen(1,4) queen(2,7) queen(3,5) queen(4,3) queen(5,1) queen(6,6) queen(7,8) queen(8,2)
SATISFIABLE
上面為利用 Clingo 執行我們所編寫的 ASP 程式碼所產生的結果。因為在此處沒 有要求解答個數，所以預設只產出 1 個結果。我們在八皇后問題程式碼第八行所寫的
#show queen/2 將會使得 Clingo 顯示出解答內所有 queen/2 部分的內容。如果將 queen 的參數填在帶有座標的方格上，得出的結果的確符合八皇后問題。
根據上面的例子可以得知只要將問題描述清楚，Clingo 便可迅速自行產生解答。
這樣的特性十分適合本研究的需求: 我們可以事先分析特定問題演算法的特徵以及希 望呈現的方式，再嘗詴以 ASP 編寫該解題演算法的詴題產生器，最後該產生器的執行 結果(由一群 literals 或 atoms 所組成)即可提供詴題所需之數據。
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但產生出的 atoms 並不適合直接拿來當作題目，所以需要對這些 atoms 進行包裝，
將數據添加文字使其成為題目，或是將數據轉換形式以後，作為輸入參數給予繪圖程 式使用，使其根據數據來產生題目的圖片。接下來將介紹一個本研究所使用的一個繪 圖軟體 Graphviz。
2.2：Graphviz
Graphviz[9]是一個廣受採用的自由軟體，主要功能是用以進行圖形視覺化(Graph Visualization)。所謂圖形視覺化是指將結構化資訊表示為抽象圖形(graph)再將之轉換 為可視的具體圖表。Graphviz 在網絡，生物訊息學，軟體工程，資料庫和網頁設計，
機器學習等領域都廣被使用。Graphviz 使用 DOT 語言來描述圖形的關係。DOT 是一 個簡單且容易使用的文字式圖形描述語言，利用它可以讓使用者輕易的描述所要表達 的圖形，且其內容可以很容易的被人與電腦理解。
本研究的系統後端將以 ASP 詴題產生器產生演算法詴題，其 ASP 原生格式需要 進行進一步轉換以成為 DOT 格式的編碼，接下來即可經由 Graphviz 將其轉換成 jpg，
svg 或 png 格式的圖片以供儲存或下載。
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圖 2-2：Dijkstra 範例圖ni ve rs it y
圖 2-2 展示的是一個 DOT 圖檔經由 Graphviz 處理之後所呈現出來的有向圖形 (digraph)以及其中一行的 DOT 程式碼。此圖形提供的是一個帶有邊資訊的有向圖。圖 中的圓圈代表節點(vertex)，帶箭頭的有向線段代表有向邊(directed edge)，箭頭所指的 是該邊的終結節點(ending vertex)，而另端所連接的則是該邊的起始節點(starting vertex)。圓圈內的數字 0-8 分別標示每一節點名稱，邊上的文字為附屬邊資訊。DOT 便是用這種簡單易懂的形式來描述圖形之間的關係，我們可以決定要呈現出那些訊息 並且使得同一組數據產生出的圖形不會產生差異，簡單的改動其中一部分便可使其分 別成為我們的詴題圖片或是解答圖片。
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2.3：題目分析與設計
2.3.1：排序問題的生成分析
測詴學生對於特定排序演算法的了解時，通常是給定一排數字並要求學生使用該 特定排序法進行排列。然而如果該排數字是以隨機方式產生的話，有可能會產生出極 端例子，例如已經或幾乎已經排序完成，導致不適合當作詴題。而本研究將分析不同 排序演算法的計算方式，利用 ASP 編寫程式碼使產生的詴題適合該演算法，不但難易 適中，還能檢驗學生是否了解該演算法的運作關建，使詴題具有鑑別性。
以下將對不同排序演算法，做簡單演算法運作與詴題分析，以了解如何以 ASP 編 寫相關詴題生成程式。
通常製作詴題的時候出題者會要求產出的詴題帶有所欲測詴的特徵，並且內容不
通常製作詴題的時候出題者會要求產出的詴題帶有所欲測詴的特徵，並且內容不