相關研究文獻探討 - WK-遞迴網路上最大故障邊之泛迴圈性質研究

2-1 常見網路拓撲介紹

互連網路架構主要由結點與連接兩結點的連結線所構成，結點代表處理器而連結線代表連接兩結點的通訊鏈。我們通常將電腦間互連的型態稱為網路拓撲(Network

Topologies)。常見的網路拓撲有，如，星狀拓撲、匯流排型拓撲、樹狀拓撲、環狀拓撲、

完整圖、超立方體及本文所要討論的 WK-遞迴網路等。

星狀拓撲(Star Topology )

星狀拓撲(Star Topology)可能是最常用的拓撲。星狀網路是透過一個或一個以上的集中式設備來連接相關的網路結點，每一處理器連接到中心處理器而呈現由中心向外放射狀。當中心處器損壞時，其下所有結點都會發生問題。最常見的應用是集線器(Hub) 被置於網路的中心，所有的結點被連接至集線器並透過它進行溝通。星狀結構，如圖 2-1 所示，有

N

個結點，即會有

N-

1 個邊，其點在於最長的兩個結點距離為 2，缺點是中央的結點發生故障，其餘的結點則無法溝通 [29]。

圖 2-1 星狀拓撲

匯流排型拓撲(Bus Topology )

匯流排拓撲(Bus Topology)，如圖 2-2 所示，使用單一的管線，所有結點與周邊設備都串連到單一的纜線上。匯流排拓撲的主要優點是它較其它網路拓撲使用比較少的纜線，但卻需要一些額外的電路與軟體防止資料傳輸彼此碰撞[28]。

圖 2-2 匯流排拓撲(Bus Topology)

樹狀拓撲(Tree Topology )

樹狀網路中之各結點連接形成樹狀結構，任兩個結點間僅存在一條傳輸路徑，如圖 2-3 為一二元樹，其架構是採階層式由根結點開始由上而下生長，由於結構層次分明有條理，適合應用於資料庫系統，而在資料傳遞上，明顯可見根結點通常是動作的瓶頸處，另有學者提出胖樹拓撲(Fat-trees Topology)，如圖 2-4 所示，其為改善傳統樹狀根結點通訊擁塞問題，在近年來有較多的學者研究[20]。

圖 2-3 二元樹拓撲

圖 2-4 二元胖樹拓撲

環狀拓撲(Ring Topology)

環狀拓撲(Ring Topology)，如圖2-5，以環形鏈連接網路各結點，其中各結點連接下一個結點，具有對稱性質，每一結點分支度皆為2，當連結網路所連結的處理器很大時，使傳輸直徑變大影響效能。另一類似環狀圖架構如，Chordal 環狀圖

(Chordal ring)，如圖2-6，其以增加連結線的方式，得到圖形直徑比環狀網路還短的優點，為改良型的環狀圖[4]。

圖 2- 5 環狀圖圖 2- 6 Chordal 環狀圖

完整圖拓撲( Complete graph Topology )

完整圖拓撲(

Complete graph

Topology)，如圖 2-7 所示，其結點

N

為完全連結圖形，其結點分支度為

N

-1，圖形直徑固定為 1。網路具有更多的容錯性和更高的可靠性。在完整圖拓撲中，每台電腦都有一條和另外一台電腦相連的專線。這種佈局提供網路許多路徑，如果其中某段電纜壞了，其餘的電纜仍然可用。儘管其排除障礙的能力和可靠性無疑地都增強，但因為它們需要大量的電纜，因此在網路安裝花費上是非常昂貴的[16]。

圖 2- 7 完整圖拓撲

超立方體(hypercubes)

超立方體 [5]，如圖 2-8 所示，

n

維的超立方體有

N

=2ⁿ個結點，圖形直徑為

n

其具有對稱性、規則性、高容錯率、較小的直徑與分支度、遞迴結構性質，是備受注意與討論的連結網路結構，並且已有利用超立方體架構成功地建置出平行電腦系統，如 Intel iPSC/860 及 NCUBE2 [17]。然而一些特性上，如 degree 太高、

在結點數缺乏彈性，使其常受人詬病，為改進這兩個缺點，又有不少學者提出一些超立方體的變形，如 twisted cubes [1]、Cube-Connected Cycles (CCC) [27]、

Generalized Hypercube [5]。

圖 2- 8

n

維超立方體,

n

=0,1,2,3

2-2 WK -遞迴網路背景與標記

最早提出 WK-遞迴網路概念在[9]， WK-遞迴網路以基本的叢集為一群組，

很有規則的以遞迴方式建立，如圖 2-9 所示，為 WK(4, 0)，WK(4, 1) 和 WK(4, 2)

圖 2- 9 A WK(4, 0), a WK(4, 1) and a WK(4, 2)

(a) A WK(4, 0).

(b) A WK(4, 1).

(c) A WK(4, 2).

10 11

13 12

00 01

03 02

20 21

23 22

30 31

33 32

0 1

3 2

WK-遞迴網路具有相當多優秀的網路性質，例如他具有高度的遞迴性、對稱性以及極有效率的通訊能力。尤其，對於特定的 degree，他可以在不重新繞線的情況下擴展到任意的階度

L

的系統規模 [11]。由於它具有如此多優秀的網路性質，已經有很多研究者投入了對 WK-遞迴網路的研究工作；比方關於他的廣播演算法 [10]，拓撲性質 [11,

12] 以及容錯性質 [14]。

一個 WK(

W, L

)能夠以遞廻建立，WK(

W

, 0)是一個擁有

W

條自由連外邊線

(free edge) 的結點。WK(

W

, 1)是一個

W

個結點的完全圖，標記為

K

W，每一結點有一條連外的邊和

W

-1 條與叢內其它結點相連的邊 (edge)。很清楚的，一組

WK(

W

, 1)有

W

個結點，

W

條自由邊(free edge)。一個 WK(

W, H

)子網路，是由

W

個 WK(

W, H

-1)所組成，其方法就像把 WK(

W

H-

1)視為一超級結點(supervertex)，

再將此

W

個超級結點連成一個

K

W。藉歸納法，很容易發現一 WK(

W, L

)子網路有

W

^L個結點和

W

條自由邊。因此，對已知任一叢集幅度為

W

的遞廻網路能夠在無須重新繞線的情況下，任意擴展成任何階度

L

。請參考圖 2-9 所示，為 WK(4, 0)、

WK(4, 1) 和 WK(4, 2)結構。

接下來我們引用參考文獻[30]的方法，提出 WK(

W

L

)標記方法的大概。在一個 WK(

W

, 1)中，由一個結點開始依順時針方向或逆時針方向標記此

W

結點；於是每一結點依順序給予數字標記

d

1，

d

1 ∈ {0, 1, …,

W

-1}。同樣地，當階度

H

為 2 ≤

W

-1}。因此，WK(

W

L

)下的每一結點都標有一組獨一無二的標記

d

L-1…

d

1當

d

L-1…

d

H+1)^H )，

d

H+1≠

d

H 。

2-3 WK-遞迴網路的漢彌爾頓性質(Hamiltonian)

vertex-pancyclic (edge-pancyclic) ， Fang 等學者更結合了

m

-vertex-pancyclicity 和

m

-panconnectivity的概念提出一個新的嵌入迴圈概念，

G

為

m

-pancyclic圖，其下任二異結點

X

，

Y

包含於長度從

m

到

N

的迴圈內 (3 ≤

m

≤

N

) ，則稱

G

為

m

-pancycle-connectivity 圖，更證明了當

W

≥ 3 的 WK(

W

L

) 遞迴網路是 (5×

2^L-1-2)-pancycle-connected，達到問題的最小邊界值 [11]。

2-5 WK-遞迴網路的容錯性質

隨著平行計算系統的發展，在多重處理器中處理器的數量不斷倍增的情況下，出現連線或處理器損壞的機率相對的也會提高，因此，對於故障容忍度(fault

tolerance)的研究也成為在圖論研究領域中的一個重要課題，各式各樣的連結網路容錯能力的研究很多[5, 7, 14, 18, 21, 31]。假如有一

G

圖移去故障邊

F

，且|

F

| ≤

k

，餘圖

G

(

V

E

F

) 仍存在漢彌爾頓性質，稱此

G

圖是

k-

邊容錯漢彌爾頓圖 (

k

-edge-fault tolerant Hamiltonian graph)。假如有一

G

圖移去故障邊

F

，且|

F

| ≤

k

，餘圖

G

(

V

E

F

) 仍有泛迴圈性質，稱此

G

圖是

k-

邊容錯泛迴圈圖(

k

-edge-fault tolerant pancyclic graph)。

k-

邊容錯漢彌爾頓圖和

k-

邊容錯泛迴圈圖已在連結網路的領域上被廣泛討論[18, 21, 31]。

Fernandes 等學者已提出當

W

≥ 5 時，WK(

W

L

)圖是泛迴圈和當

W

≥ 4 (

W

-3)-邊容錯漢彌爾頓圖 [12]。 Fu 提出最多有

W

-3 故障結點的 WK(

W

L

)圖含有避開

第三章 W ≥ 5 研究結果

從 2 到

W

-1 。

定理 5. 當

W

≥ 5 的情況下，假設(

v

2)是 WK(

W

, 1)子圖內唯一的故障邊，且(

x

y

)是另一邊，則連結

x

和

y

結點的路徑其長度從 1 到

W

-1。

證明：

案例 1：|{

x

y

} ∩ {

v

2}| = 1，在沒有一般性的失誤下，假設

y

、

v

1 同一結點，

藉著移去結點

v

2 使 WK(

W

, 1)子圖變成

K

W-1 ，因此，連結

x

和

y

二結點的路徑，

其長度將從 1 到

W

-2。另藉移去結點

x

y

和

v

2 使 WK(

W

, 1)子圖變成

K

W-3，再從其中取二結點

v

3 和

v

4 ，可以在

K

W-3 內求得一連結

v

3 、

v

4路徑

P

1 ，其長度從 1 到

W

-4，連接這些路徑，(

x

v

3),

P

1 和 (

v

y

)，可以完成一個連結

x

和

y

的路徑，其長度可從 4 到

W

-1。結合這兩個結果，我們可以知道，當

W

≥ 5 ，連結

x

和

y

的路徑長度是 1 到

W

-1。

案例 2.：|{

x

y

} ∩ {

v

2}| = 0。像案例 1. ，我們能證明，當

W

≥ 5 ，連結

x

和

y

的路徑長度是 1 到

W

-1。

從定理 4 和定理 5 我們可以推論如下：

推論 6. 當

W

≥ 5 時，存在一條問題邊的

K

W 圖，連結任二結點

x

和

y，

其路徑長度可以是 2 到

W

-1。

證明：我們將在

W

= 4 上歸納證明這一定理。在沒一般性失誤下，我們假定有一

結點形成了一個長度為 2

l

的迴圈。在每個超級結點

V

i*，仍可附加

W

-2 個結點，

總共即存在(

W

-2)

l

附加結點，如此我們獲得下列定理。

定理 8. 對一個有唯一故障叢間邊的 WK(

W

L

)圖，假如在其輪廓圖

OG

(WK(

W

L

)) 內存在一個長度為

l

的的圈，則 WK(

W

L

)圖將可嵌入一系列長度從 2

l

到

Wl

的迴圈。

圖 3- 1

OG

(WK(

W

L

)) 長度為

l

的迴圈

記得，WK(

W

L

)圖，是由

W

個形如超級結點的 WK(

W

L

-1)所構成，且這

W

個形如超級結點構成如一個

K

W 。詳細思考，如對一個有

W

-3 問題邊的 WK(

W

L

)圖，問題邊包含

f

L-1 個(

L

-1)階度邊和剩餘

W

-3-

f

L-1 其它問題邊。試想，情況如有

f

c 個 WK(

W

L

-1)子圖內有

H

階度為故障邊，

H

≤

L

-2。很清楚的可以得知，

f

c ≤

W

-3-

f

L-1。從

K

W圖，藉移去

f

c 超級結點使系統成一個最多有

f

L-1 故障邊的

…

V ₀ * V ₁ * V _l _-1 *

S0 D0 S1 D1 S_l-1 Dl-1

是故障和編號為 432 的故障結點。

圖 3- 2 一個故障的 WK(5,3)

假如，使 WK(5, 2)子圖成為一超級結點且移去含有故障的結點及

H

階度

(

H

≤ 1)邊的超級結點，這有問題的 WK(5, 3) 圖，將演變成結構如圖 3-3。既然

W

f

c ≥

f

L-1+3，從定理 7 來觀察，在

K

Q (Q =

W

f

c )系統存在一個避開故障的迴圈

C

3。如圖例 3-3 中，我們很容易的看出避開故障的

C

3 (0, 2, 3)這一迴圈。

100

432

×

431

圖 3- 3 避開故障迴圈

C

3 (0, 2, 3)

定理 9. 當

W

≥ 5，且最多

W

-3 問題邊的 WK(

W

L

)圖中，存在一系列長度從 3 到 3

W

^L^-1的迴圈。

證明：我們從階度

L

上歸納證明這一定理。

當

L

= 1，一叢 WK(W,1) 也即是

K

W圖，就定理 7 來說，這定理成立。

假說：在一個 WK(

W

j

)圖(

j

≥ 1)，內的子圖 0(*)^j^-1 ∪ 1(*)^j^-1∪ 2(*)^j^-1 中存在一系列長度為 3 到 3

W

^j^-1 的迴圈。

歸納步驟：回想，

OG

(WK(

W

j

+1)) 視如 WK(

W

j

)，由此假說得知，WK(

W

j

) 圖中的子圖 0(*)^j^-1 ∪ 1(*)^j^-1∪ 2(*)^j^-1 嵌入一系列長度為 3 到 3

W

^j^-1 的圈，如此，

從定理 8，一個 WK(

W

j

+1)圖下的子圖 0(*)^j ∪ 1(*)^j∪ 2(*)^j 即能嵌入 {

C

s| 6 ≤

s

≤ 3

W

} (for 3 WK(

W

, 1) supervertices)

0

1 2 3

4 ×

×

…,

案例 1. (

u

v

) 和 (

u

w

)兩者皆是叢內邊，我們假定

u

v

和

w

都是相同的

個漢彌爾頓迴圈，如 (

V

0*,

V

1*,

V

2*, …,

V

l-1*)。圖例 3-1 所示，當 1 ≤

i

≤

l

-1，在每一超級結點

V

i*內，連接結點

S

i和

D

i 的(長度是

W

-1)路徑為

P

i 。最後，連接

(

u

w

e

P

2, …,

P

l-1,

e

P

0和 (

v

u

)，即成，連接(

u

v

) 和 (

u

w

)的一個漢彌爾頓迴圈。

子案例 1.2：假如

v

和

w

之中有一個是 WK(

W

j

+1)的角結點。在沒有一般性失誤下，設

v

是角結點，移去

u

和

w

，則 WK(

W

, 1) 將成一個

K

W-2清楚的，

對

W

≥ 5 來說，最少有兩個結點連接到叢間邊，剩餘的證明如子案例 1.1。

案例 2. (

u

v

) 和 (

u

w

)二邊，其中之一是叢間邊。既然在 WK(

W

j

+1)內每個結點最多有一個連到叢間邊，其它的邊都是叢內邊。在沒有一般失誤下，讓(

u

v

) 和

(

u

w

)分別是叢間邊和叢內邊，移去

u

， WK(

W

, 1) 圖將成為一個

K

W-1 清楚的, 對

W

≥ 5 的情況下，在這個

K

W-1 內除

w

結點外將有最少二個結點連到叢間邊；

因為，在 WK(

W

, 1)子圖內，存在最多一個 WK(

W

j

)

的角結點(

d

j+1)^j⁺¹ ，剩餘

的證明如子案例 1.1 。延伸這些歸納，這證明完成。

定理 11. 當

W

≥ 5，最多有

W

-3 故障邊時 WK(

W

L

) 圖具泛迴圈性質。

證明：我們假定有

f

e個故障邊且

f

e ≤

W

-3。

當

L

= 1，從定理 7 得知這定理成立。

假說：試想，對

W

≥ 5 且

j

≥ 1 的 WK(

W

j

)圖，最多有

W

-3 故障邊時具泛迴圈性

質。

歸納步驟：我們考慮一個有

W

-3 故障邊的 WK(

W

j

+1) 圖。

案例 1：

f

e 個故障邊全屬於同 WK(

W

, 1) 子圖

V

0*。從定理 7，得知 WK(

W

, 1) 子圖的結點 (

v

1, …,

v

W-1,

v

0) ，存在一避開故障的漢彌爾頓迴圈 ( fault-free

Hamiltonian cycle)。

子案例 1.1：當 0 ≤ dj+1 ≤

W

-1，有

f

e 個故障邊的 WK(

W

, 1) 子圖內，有 WK(

W

j

+1)

圖的角結點(

d

j+1)^j⁺¹，設此角結點(

d

j+1)^j⁺¹為

v

i (0 ≤

i

≤

W

-1)，清楚可知，(

v

i+1,

v

i-1, …,

v

i+3,

v

i+2) 是此 WK(

W

, 1) 子圖的避開故障漢彌爾頓路徑，以

P

0 表示。除此子圖路徑為

P

0之外，餘子圖路徑皆同一模式，今讓叢間邊

e

1 和

e

2 分別連上

v

i+1 和

v

i+2 。例如，同屬於超級結點

V

0* 內的二個故障邊 (

V

00,

V

03) 和 (

V

01,

V

02) 如圖 3-5 所示，我們假定

V

04 是角結點(

d

j+1)^j⁺¹。那在超級結點

V

0* 內即存在一個避開故障的漢彌爾頓迴圈 (

V

00,

V

01,

V

03,

V

02,

V

04,

V

00)，而 (

V

00,

V

04,

V

02,

V

03,

V

01) 即是一個避開故障漢彌爾頓路徑，以

P

0 表示。

圖 3- 5 結點 1,3 連結叢間邊，而

V

0*內存在一個避開故障的漢彌爾頓路徑

案例 2.：

f

e 個故障邊不屬於同一 WK(

W

, 1) 子圖，試且將

f

e分為

f

n叢內邊和

f

叢間邊，且

f

n +

f

e。讓

sf

1 (

sf

2)表示含一個或更多個故障邊的 WK(

W

, 1) 子圖數目。例如，從圖 3-2 上，我們思考 WK(5, 3)圖在有故障的情況下，以圖 3-6，

輪廓圖

OG

(WK(5, 3))做圖例說明， WK(5, 3)的故障 2 階叢間邊(011, 100)轉變成

OG

(WK(5, 3))的 1 階叢間邊(01, 10)。在這輪廓圖

OG

(WK(5, 3))中，故障邊(431, 432)是不可見的。

圖 3- 6 faulty WK(5, 3) 的輪廓圖

從定理 1，我們知道，

OG

(WK(

W

j

+1))圖是漢彌爾頓迴圈性質(

V

0*,

V

1*,

V

2*, …,

從定理 1，我們知道，

OG

(WK(

W

j

+1))圖是漢彌爾頓迴圈性質(

V

0*,

V

1*,

V

2*, …,

在文檔中 WK-遞迴網路上最大故障邊之泛迴圈性質研究 (頁 12-39)