矽基雙異質結構圖

由下圖 2.1.1 所示可知道我們將分析此材料的結構[23]，大致說明一下此結構的製 程，首先是以n 型矽為基底，然後在使用磁控式濺鍍(Magnetron-sputtering deposition)來

渡上β 相矽化鐵，最後在使用低壓化學氣相沉積(LPCVD)長上一層 p 型矽然後在上面電

鍍上電極。當然本論文目的不在於製程，而是在於如何設計使它的發光特性更好，所以

將以此材料來進行分析與設計，由於y 和 z 方向對材料來說都是一個常數，所以本論文

主旨於對X 方向的分析。

圖2.1.1 p -Si/β - FeSi /n -Si 雙異質結構發光二極體 ₂ Y

X

5

eϕsp3

eχp3

eϕsp1

eϕsp2

eχp1

eχp2

Eg3 Eg2 Eg1

p-Si 　β-FeSi2 n-Si

EC3

EC2

EF2

Ev2

EF1

eVB1

eVB2

EC1

Ev1

EF3

Ev3

2. 2 能帶分析

此雙異質結構(Double Heterostructure)是兩個寬能隙材料中間夾著窄能隙材料所組 成，以真空能階作為參考能階，寬能隙材料的電子親和力比窄能隙材料的電子親合力 小，兩傳導帶之間能量差以ΔEc來表示，兩價帶之間的能量差則是以ΔEv來表示，由上 圖2.2.1可看出β相矽化鐵和n型矽之異質接面的特性，如同在同質接面的狀況，在β相矽 化鐵區域與n型矽區域之中都會有位勢差跨降在空間電荷區之上，這些位勢差是對應於 接面兩邊的內建位勢障礙，理想狀況的內建位勢障礙被定義為橫越整個真空能階的位勢 差，內建位勢障礙是跨降在兩個空間電荷區域位勢差的總和。然而，與同質接面不同的 是，異質接面的內建位勢障礙並不等於橫跨接面的兩個傳導帶之間的差異，而且也不等 於橫跨接面的兩個價帶之間的差，理想狀況而言，在p型矽區域和β相矽化鐵區域，可求 得內建電位：

圖 2.2.1 p -Si/β - FeSi /n -Si 未接觸前的能帶圖 ₂

6

1 3 2 [ 3 3 ( 3 3)] [ 2 2 ( 2 2)]

B sp sp p g F V p g F V

V =e

ϕ

−e

ϕ

= e

χ

+E − E −E − e

χ

+E − E −E

= −Δ + E

_c

E

_g3

− E

_g2

− ( E

_F3

− E

_V3

) ( + E

_F2

− E

_V2

)

(2-1)

而在β相矽化鐵區域和n型矽區域，也可求得其內建電位：

2 2 1 [ 2 2 ( 2 2)] [ 1 ( 1 1)]

B sp sp p g F V p C F

V =e

ϕ

−e

ϕ

= e

χ

+E − E −E − e

χ

+ E −E

= Δ + E

_c

E

_g2

− ( E

_F2

− E

_V2

) ( − E

_C1

− E

_F1

)

(2-2)

其中eφsp2是β相矽化鐵的功函數(Work function)，eφsp1是n-Si的功函數，eφsp3是p-Si的功函

數，功函數的定義為一個電子從費米能階激發至真空能階所需的能量，χp2是β相矽化鐵

的電子親和力(Electron affinity)，χp1是n-Si的電子親和力，χp3是p-Si的電子親和力，而電 子親和力的定義為傳導帶邊緣與真空能階的位能差，Eg2為β相矽化鐵的能隙，Eg1為n-Si 的能隙，Eg3為p-Si的能隙。

7

8

(1) 在 P 型矽空乏區中：

A. 空間電荷密度：

根據半導體理論中載子平均擴散，所以空乏區中空間電荷密度可表示如下：

ρ

₁= −qN_A −X_p ≤ ≤ (2-4) x 0

B. Poission 方程式：

將(2-4)代入(2-3)可得 ^{2 1}₂ ¹

1

( ) ( )

_A

d V x d E x q N

d x ^{= −} d x ⁼ ε

−X_p ≤ ≤ (2-5) x 0 其中，V x 為 P 型矽空乏區中電位分佈函數，₁( ) E x 為 P 型矽空乏區電場分佈函數 ₁( )

ε

₁為矽之介電常數。

C. 電場函數：

在P 型矽中，將式(2-5)一次積分可得到：

1 1

1 1

( ) qN^A qN^A

E x dx x C

ε ε

= −

∫

= − + −X_p ≤ ≤ (2-6) x 0 然而由邊界條件可知道，當x≤ −X_P時，視為P 型矽中性區範圍，所以在熱平衡情

況下，電流為零，故可假設電場為零。而電場是一連續的分佈函數，所以在x=X_P

時，可將電場設為零。

1 1

1

( _P) qN^A 0

E X C

∴ =

ε

+ = ₁

1 A

P

C qN X

⇒ = −

ε

9

10

11

12

B. Poission 方程式：

將(2-17)代入(2-3)可得 ^{2 2}2 ²

[

20 20 2

]

2

( ) - ( )

-A

d V x dE x q

p n N

dx ⁼ dx ⁼

ε

^{− −}

0 x L ≤ ≤

(2-18) 其中V x 為β相矽化鐵空乏區中之電位分佈函數，₂( ) E x 為β相矽化鐵空乏區中之₂( ) 電場分佈函數，p₂₀( )x 為電洞濃度，n₂₀( )x 為電子濃度，N_A2為 P 型摻雜雜質濃度

ε

2為β相矽化鐵介電常數。

C. 結構電位與能帶關係示意圖：

E C

E V

E C

E F

E

V

1 1

( )

E

C

= − qV x E

_C2

= − qV x

₂

( ) E

_C3

= − qV x

₃

( )

P Si − β − FeSi 2 N Si −

x = − X P x = 0 ^{x = L} x = + L X N

圖2.3. 2 短主動層p -Si/β - FeSi /n -Si 雙異質能帶結構與邊界條件示意圖 ₂

13

14

15

16

17

18

19

以上已經將P 型矽，N 型矽，與

β

相矽化鐵空乏區中之電場與電位關係式推導完成。

但其中最重要的參數是P 型矽和 N 型矽的空乏區寬度，分別是X 與_p X ，才能將電場電_n 位函數值求出。所以，必須另外再根據兩個邊界條件為：

一、

β

相矽化鐵與 N 型矽接面處(

x = L

)沒有表面電荷密度存在，故電通密度會連續。

二、

β

相矽化鐵與 N 型矽接面處電位會連續，故V L₂( )=V L₃( )。

將上述兩條件整理為兩組方程式，以數值分析中的牛頓法做電腦運算算出 P 型矽和 N 型 矽的空乏區寬度。

推導內容如下：

i. 在

x = L

時，電通密度(D)連續，故：

2( ) 3( )

D L =D L (2-51)

2E L2( ) 3E L3( )

ε ε

⇒ = (2-52)

將(2-45)式、(2-16)式代入(2-51)式整理可得X 與_p X 的疊代式，令其為 (_n F X_N)

( _N) { _p[1 exp( )] _nexp( )[1 exp( )] _A2 _{A p}} 0

p n n

L L L

F X AL BL N L N X

L L L

= − − + − − − − = (2-53)

20

21

2.4 牛頓法分析原理

( ) f x

x

1

x

2

( )

1

f x

圖2.4.1 牛頓法示意圖

(1) 牛頓法定義：

牛頓法是解方程式用於非常廣泛的方法之一，亦是本論文以解析解計算雙異質接面

空乏區寬度的主要計算法。由圖 2.4.1 可知道，先從猜一距離根不太遠的初始值x 開始，₁

沿切線與 x 軸的交點定義下一近似值。重複上述流程直到x 與_n x_n+1極為接近，或者 f x( ) 函數值極為接近零，即宣告為收斂，可得出其根。

計算流程由圖 2.4.1 中的直角三角型可看出，曲線上一點x= 切線與 x 軸交於x₁ x= x₂ 與 x 軸傾斜角為θ 。

1

1 2

tan '( ) f x( ) f x x x

θ

= =

− 可得出

2 1 1

1

( ) '( ) x x f x

= − f x

22

23

(3) 程式流程圖：

圖2.4.2 程式流程圖

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