研究動機

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1. 簡介

1.1 研究動機

計數 (count) 是常見的統計資料型態之一，通常在進行此類資料 的統計分析時，皆會假設資料來自某種母體分配。然而在各種母體分 配中皆有一些未知而我們有興趣的母體特徵值（即參數），這些參數 不僅決定了母體的分佈情形，也決定了樣本資料可能發生的機率，因 此如何利用搜集到的資料來有效正確地估計未知的母體參數一直是 我們想努力研究的議題。

何謂估計 (estimation)？估計主要是利用樣本的資訊，來對母體 的未知參數進行推估，其中視需求分為兩種：第一種為點估計式 (point estimator)，利用隨機樣本求得的資料代入估計式得到一個估計 值(point estimate)，這樣的方式就稱為是點估計 (point estimation)，例 如：當研究者收集完資料後，對資料計算其平均數，並利用求得的平 均數來推估母體平均數，這就是所謂的點估計；第二種方式為信賴區 間(confidence interval)，利用樣本資訊所求出的點估計式，並根據其 抽樣分配 (sampling distribution)的性質建構一包含未知參數的區間，

稱為區間估計 (interval estimation)。由於區間估計是以點估計為基礎，

因此探討何謂「最好」的點估計式便是統計學者所關注的議題。

我們可以利用許多不同的方法去尋找參數的點估計式，例如：最大概

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似估計法 (method of maximum likelihood estimation)、動差法 (method of moments)、最小平方法 (method of the least squares)，以及上述條件 不適一般情形下而衍生出的估計法還有最大擬概似估計法（method of maximum pseudolikelihood estimation)、邊際概似估計法(method of marginal maximum likelihood)和一般化最小平方估計法 (method of generalized least squares）。這些方法找出的估計式常不相同，所以研 究者就必須藉由一些性質與準則來比較這些估計式的優劣。

一般來說，統計學者認為較佳的點估計式必須具備許多良好的性 質，其中最重要的兩個性質為不偏性 (unbiasedness)與有效性

(efficiency)，然而何謂不偏性？其定義如下：若點估計式的抽樣分配 之期望值等於其欲估計之母體參數時，就稱這個點估計式具備不偏性。

另一個重要的性質是點估計式必須具備有效性，通常估計母體參數的 點估計式會有很多個，甚至無窮多個，何者比較好可透過變異數之大 小來比較而決定；某點估計式具備有效性，是指此一不偏點估計式的 變異數比任何其它不偏之點估計式的變異數還要小。

統計學用期望值與變異數衡量準和精，估計式本身的期望值若等 於真正母體的參數，那就是不偏；估計式本身的變異數夠小，則愈有 效。若估計式非不偏，則為求有效，統計學家用均方差 (mean square errors, 簡稱 MSE) 以判斷估計式的精確度，當 MSE 愈小，表示所

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有估計值平均來說較接近母體參數，所以MSE 愈小愈好。

根據 Arnold and Press (1989) 提出檢驗兩個條件分配是否滿足相 容條件的理論結果，我們可以得知，當兩個條件分配相容時，在某些 狀況下我們可以透過條件分配推得其聯合分配。此時，我們可以透過 兩種估計法來估計其母體參數，也就是最大概似估計法以及最大擬概 似估計法。

最大概似估計法是常用的統計估計方法，它用概似函數

(likelihood function) 來估計密度函數中的參數。然而，在有些狀況下 我們無法完整表示出概似函數，因此也就無法求得最大概似估計式 (maximum likelihood estimator, 簡稱 MLE)。例如收集到的資訊當中，

只提供了一些條件密度函數 (conditional density function)，但卻無法 由它們求出聯合密度函數 (joint density function)，因此無法使用最大 概似估計法來估計未知參數。此時我們可以去計算這些條件密度函數 的乘積，將乘出來的結果視為參數的函數，就是所謂的擬概似函數 (pseudolikelihood function)，而最大擬概似估計值 (maximum

pseudolikelihood estimate, 簡稱 MPLE ) 就是使擬概似函數最大的參 數值。

Strauss and Ikeda (1990)首先探討指數族分配的擬概似估計法。

van Duijn, Gile and Handcock (2009) 進一步對指數族隨機圖模型下的

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最大擬概似估計值與最大概似估計值作比較。而Arnold and Strauss (1991) 則指出在特殊 2x2 列聯表模型下最大擬概似估計值與最大概 似估計值的解不同。本論文將透過更一般性的 2x2 二維列聯表，來進 行參數的最大概似估計與最大擬概似估計的理論分析及模擬探討，並 比較兩者的差異。