研究方法

本 研 究 以 分 子 動 力 模 擬 軟 體 LAMMPS[33] 來 做 模 擬 並 運 用 FORTRAN 程式語言做後處理數值運算，主要探討在微觀下金屬奈米 線的機械性質與物理特性。第二章介紹分子動力學中所用到的理論，

其中包含勢能函數、運動方程式及週期性邊界條件等基本概念。第三 章為完美金奈米線在受到拉伸負荷其應力應變模擬，並討論在不同尺

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寸、應變率及方向性對其機械性質的影響。第四章則為含缺陷奈米線 其缺陷率的討論以及缺陷位置對結構的影響。第五章對完美及含缺陷 奈米線做總結。

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(1) Lennard-Jones 勢能[35]，如(2.1.1)式

12 [34] 、 EMT(Effective-Medium Theory)[37] 、 EDIP (Environment- Dependent Interatomic Potential)[38] 、Sutten-Chen[39]。多體勢能函數 雖較為複雜，同時也較耗費計算時間，但其結果相對的較準確。

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Verlet algorithm 是將舊位置 r(t-δt)及新位置 r(t+δt)做泰勒級數 (Taylor series)展開，如(2.3.2)式及(2.3.3)式。

^{' '' ( )}

16 動力學中，週期性邊界條件(Periodic boundary condition P.B.C)條件加 入後，可以較小的系統來模擬很大的均質系統，其基本概念是將模擬 之系統在空間中以週期性複製，以得到較真實的結果。週期性邊界的 優點在於模擬主胞室內的粒子數與能量守恆，並簡化複雜的邊界問 題。

17 中會產生錯誤，所以必須使用原子級應力virial stress[41]來做計算。

原子應力方程式可分為兩部份，如(2.5.1)式，第一部份為動能項，第

1971年 Basinski等人[42]進一步提出修正後原子的應力公式，稱為 BDT stress，如(2.5.2)式:

18 最大局部應力(Maximum local stress, MLS)計算方法，利用BDT stress

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2.6 中心對稱參數(Centro-Symmetry Parameter)

我們可以利用centro-symmetry parameter[45] 來觀察結構塑性變 形的情況，將每一顆原子與其本身周圍原子相對位置的改變量化，用

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2.7 史密德定律(Schmid’s Law)

在奈米線拉伸過程中，可以利用Schmid’s law[47]來判斷FCC的滑 移系統，示意圖如2.3。其中拉伸力F的方向與滑移面法向量夾角為， 拉伸力F與滑移向的夾角為。而拉伸力F在滑移面上的分力可表示為 Fcos，而滑移面的有效面積為A /cos。如此我們可以計算出滑移面 上的剪應力 ，如(2.7.2)式。

m

A

F      

  cos cos  cos cos 

(2.7.2)

其中m定義為 Schmid’s factor，當m達到最大值時，此時滑移面上有 最 大 的 剪 應 力 ， 滑 移 面 即 會 在 此 系 統 產 生 。 FCC 滑 移 系 統 為 {111}<110>，在這情況下有12種組合，如表12。因此當給定拉伸的方 向後，我們可以藉由計算Schmid’s factor來推斷出可能產生的滑移面。

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第三章 完美奈米線模擬

3.1 奈米線基本介紹

奈米線顧名思義即為尺度在奈米(10^-9 m)的細線，根據組成材料的 不同，奈米線可分為三種不同的類型，包括金屬奈米線(Ni、Cu、Au 等），半導體奈米線（InP、Si、GaN 等）和絕緣體奈米線（SiO2、TiO2

等）。本模擬所使用的材料為金(Au)，如圖 3.1，其基本設定如表 1，

並使用 EAM 多體勢能函數來描述原子間的作用力，其中二體勢能函 數截斷半徑為 5.55Å，材料參數設定值如表 2，如文獻[34]。

3.2 邊界條件設定

模擬過程邊界條件設定，奈米線沿著軸向為週期性邊界(Periodic boundary condition)，兩側向為自由表面(Free surface)。二端最外層原 子設為剛體(Rigid body)其約為1層原子的厚度，拉伸過程中，最左邊 (x=0)原子為固定端，右端原子有最大位移位量，而分部於其間的原 子沿著軸向給定原子一等比例的位移(Ramp coordinate scaling)，示意 圖3.2。拉伸應變率的基本定義[8]如(3.2.1)式

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rate T strain 



(3.2.1)

其中



: 相對於原長，每次拉伸所給定的應變量 T : 每次拉伸後平衡穩定的時間

其中



可表示為 (3.2.2) 式

0 0

L L L 

 

(3.2.2)

L : 為試件初始長度

0

L

: 給定的定位移.

3.3 奈米線尺寸效應

3.3.1 金塊材模擬

首先建立一個 15a x 15a x 15a 的的金塊材，如圖 3.3，在溫度為 1K 下執行 NVT 系踪，拉伸速率為 2x10⁷s^-1，施加 X 方向應變後所產 生之三方向應力_xx、_yy、_zz，藉由應力應變關係將這些值帶入(3.3.1) 式中可求得勁度矩陣(Stiffness matrix)中之 C11 、C21、與 C31 (在應變 為 0.01 時求得之彈性模數)。再分別依照此流程施加應變於 Y、Z 方

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我們將初始奈米線結構在NPT系綜(constant pressure algorithm)，

溫度為1K，壓力為0.0 GPa，平衡時間為100ps的情況底下執行運算，

則我們可以得到X、Y、Z三方向的應力隨時間變化，此時三方向應力 收斂至零。同時我們可以得到一沿著軸向平衡應變量(Equilibrium strain)，此應變量與奈米線截面積大小有關。

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在討論奈米線的尺寸效應時，我們採用四種不同大小的截面尺 寸，分別為6a x 6a、8a x 8a、12a x 12a、16a x 16a、20a x 20a (其中a 為晶格常數)，在拉伸前執行NPT系綜，使結構達到穩定鬆弛，6a及 8a平衡過程三軸應力及能量如圖3.4~3.7。及其平衡後結構圖3.8~3.11。

由結構圖可以發現在不同線寬下，其平衡穩定結果會略有所不 同，此結果為表面應力造成其平衡應變量(Equilibrium strain)[13][46]

的不同，我們可以得到一應變量對時間的關係圖，如圖3.12。可以明 顯發現，當線寬在六倍晶格常數時其結構在平衡時已經產生降伏，由 文獻[13]可知，奈米線的壓縮應力與其截面積有關，當截面積越小，

其壓縮應力會越大，而當線寬小於一臨界值時，奈米線承受不住此應 力大小而產生降伏。

3.3.3 奈米線拉伸與討論

拉伸結果的討論由3.3.2節平衡後得到的結構進一步做拉伸模 擬，排除了六倍晶格線寬，因其結構已產生降伏故我們不另做討論。

分析8a x 8a、12a x 12a、16a x 16a、20a x 20a 四種不同線寬在拉伸速 率為2E+07s^-1下的結果，其應力應變關係圖如3.13，數據如表 4。

此外，我們另外利用單軸NST的方法去做拉伸比較其結果，在8a x 8a的結構下可以得到降伏強度約為4.45GPa，降伏應變約為0.0927，

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此結果與利用位移控制拉伸的方法誤差很小。

由應力應變圖可發現，當奈米線截面越大時，其結構楊氏係數會 越大，如圖3.14，因為奈米線側向自由表面部份佔整體結構的比例會 隨著截面積變大而變小，又因其特殊的環境，自由表面周遭的原子比 內部原子少而鍵結又較弱[7]，故其楊氏係數會上升並趨近於塊材的 值。另一方面，降伏應力則會下降，如圖3.15，其主要原因為截面越 大 ， 結 構 自 由 表 面 積 則 會 越 大 ， 所 能 提 供 的 差 排 成 核 機 會 越 高 [6][10]，造成其降伏應力及應變都會有下降的趨勢。

在拉伸的過程中，因兩側原子受到二端剛體的牽引，因此結構可 以保持較規則的排列，相對的，靠近中央的原子，因兩側的拉伸而必 需向內側填補，使材料形成頸縮(necking)的現象，結構的拉伸變形如 圖3.16。

其拉伸過程中，利用BDT local stress計算原子沿 X 軸方向局部 應力變化，觀察 Z=15Å (前後約三層原子厚度)的平面在降伏點附近 的應力變化，如圖3.17，在降伏前一瞬間(t=10ps)，結構達到一高應力 且 飽 和 的 狀 態 ， 隨 後 內 部 原 子 相 互 拉 扯 ， 在 降 伏 發 生 的 時 間 點 (t=20ps)，結構應力被釋放，直到t=50ps時，除了差排發生的附近會有 較高的應力，其餘部份相對較低。

由差排理論[47]可知，面心立方(FCC)金的滑動平面為{111}的最

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緊密堆積平面，其主要原因為在此面上的單位面積原子密度最高，原 子間彼此間距小，鍵結力強，需要較大的力才能夠使其分開，故在此 方向上的原子只會有相對移動產生[48]。而每個滑移面分別搭配三個 滑移方向，因此總共會有12組滑移系統，如表13 。另一方面，利用 Schmid’s law 得到的 Schmid’s factor在[100]晶向最大值為0.408，如 表13，與模擬結果求得的值相同。應變率在 2x10⁷ s^-1、截面為 8a x 8a，如圖3.18。我們可以看到在 t=10 ps 到 t=20 ps 之間奈米線發生 了差排成核，進一步可以觀察在這段時間內的詳細情況，如圖3.19，

從圖(a)可以觀察在 t=18 ps 時，在奈米線自由表面附近開始有原子擾 動，這即是差排開始發生的位置，與文獻[13][44]敘述差排成核位置 由奈米線表面發生符合，而到圖(e) t=22ps 之後由表面慢慢往內部發 展形成滑移面。

在降伏區間內，應力成鋸齒狀分佈[4]，示意圖如圖3.20，彈性範 圍內，原子會些微偏離原平衡位置，但與其相鄰原子相對位置不會改 變，當超過彈性限度原子平面產生滑移時，結構形成差排(路徑1)，

結構從相對穩定的排列(a圖)至(b圖)，位勢能會上升同時應力上升達 到一高峰值，此為另一降伏應力，當滑移平面越過一個原子達位能最 低點時(路徑2)，拉伸造成的差排消失，系統處於另一穩定結構下，

同時應力值達到一低值，系統不斷重覆此步驟會形成鋸齒狀應力應變

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關係圖，而當應變持續增加時，因頸縮的現象造成截面積會越來越 小，差排面的面積也越來越小，能形成的差排應力也相對變小，因此 能達到的高峰應力值會持續下降。此應力特性在此以應變率低於 10⁷~10⁸ s^-1 時較明顯，因當應變率太大時，因塑性變形滑移量大，無 法形成滑移和穩定的過程，此時應力曲線呈現平緩地下降。

3.4 奈米線應變率效應

在探討奈米線的應變率效應時，我們事先將奈米線的截面大小固 定，討論截面積為 8a x 8a 的奈米線，改變拉伸應變率大小，在應變 率分別為 2x10⁷ s^-1、2x10⁸ s^-1、2x10⁹ s^-1，其平衡穩定時間如表 5 所示，

每步拉伸的應變量均為 0.1%，改變其平衡穩定的時間，拉伸結果之 應力應變關係如圖 3.21。由應力應變圖可以發現材料的降伏應力及降 伏應變量會隨著拉伸應變率提升而有變大的趨勢，此結果與文獻 [4][10]符合，其模擬材料使用金屬鎳及金屬銅，而結果同樣顯示奈米 線的應變率效應會對材料的降伏應力及降伏應變造成影響，並且有相 同上升的趨勢。由文獻[4]的說明，奈米線降伏應力隨著應變率上升 而有變大的現象，但在不同應變率區間內，其降伏應力上升幅度也會 有所改變，二個明顯的分界點在應變速度為 5x10⁹ s^-1及 8x10¹⁰ s^-1 。 由圖 3.21 可發現，在不同應變率下，其楊氏係數並不會受到影

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響，會保持在一個定值，其主要原因為彈性區間內其彈性變形速度極 快，幾乎接近光速，遠大於所施予的應變率大小[49]，故楊氏係數在 此不受影響，此模擬結果與實驗結果[52][53]相同。

另一方面，結構降伏應力會隨變應率上升而變大，其主要原因為 任何一種金屬結構其本身的塑性變形產生都需一段平衡穩定的時 間，如果施予的應變速率太快，滑移在整個結構中發展就會受阻，因 為其滑移面還沒充分擴展時又再給予下一步的應變[50]，這個現象會

另一方面，結構降伏應力會隨變應率上升而變大，其主要原因為 任何一種金屬結構其本身的塑性變形產生都需一段平衡穩定的時 間，如果施予的應變速率太快，滑移在整個結構中發展就會受阻，因 為其滑移面還沒充分擴展時又再給予下一步的應變[50]，這個現象會

在文檔中 金奈米線的機械性質模擬 (頁 25-0)