研究架構與方法

本文主要分為五個部分，首先在第一章先確立研究動機及主題。在確

定研究的目的之後，接下來第二章為實際的理論推導，我們從一組樣本資 料

x_i

，經過特殊排序後可以得到一組新的樣本資料

x′_i

，找出相鄰兩樣本

x′_i

和

1

xi′₊

的聯合機率分配函數(joint probability density function)，用數值計算驗證 聯合機率分配函數是否正確，並且計算出

x′_i

和

x_i′₊₁

的共變異數(covariance)小 於零，即兩者之間具有負相關的情形。同時也找出新的樣本資料中間隔一 個樣本的

x′_i

和

x_i′₊₂

的聯合機率分配函數，觀察

x′_i

和

x_i′₊₂

之間的共變異數，以及 與相鄰兩樣本的共變異數做比較。

第三章中，我們利用電腦模擬，找出特殊方法排序後，讓樣本的變異數

(variance)減少最多的最佳

d^*

值，並計算便異數降低多少，觀察最佳

d^*

值下

共變異數的情形，並且和原始樣本資料計算的結果作比較，方法如下：

(1) 收集每單位時間的代表性樣本資料。

(2) 每個樣本點

x_i

加上

i

倍的

d

，即

y_i = +x_i id

，其中

i

是間隔為 1 的數列。

(3) 將

y_i

由小到大排序，得到一組新的樣本資料

y_{( )1},y_{( )2} , ,y_{( )n}

。

(4) 從

y_{( )1},y_{( )2} , ,y_{( )n}

中，可找出原本所對應的

x

值，即可得到由原始資料

x_i

排 序後的新的

x′_i

數列。

(5) 固定每間隔至少 30 個樣本資料

x′

，取

m

個

x′

值作平均得到

w′

值，可收 集到一組

w′

數據。

(6) 利用這組

w′

數據去估算樣本變異數，找出最佳的

d^*

使得變異數最小。

第四章，介紹傳統的

X

管制圖，且和我們得到的非傳統

X

管制圖比較；

即可有相同的型Ι誤差α 風險下，新的管制界線會比傳統的管制界線離中心

線近，降低型Ⅱ誤差 β 風險，使檢定力

1−

β 提高。最後，第五章是本研究的

結論，除了對傳統方法和新方法做一總結外，並於文末提出未來研究方向。

二、理論及數值計算 2.1 理論部份

針對賴文祥學長在負相關在管制圖上之應用(2004)中，我們從模擬的結 果中看出當收集的樣本資料經過特殊排序後，會產生負相關。在此，我們 僅討論標準常態分配的情況，利用數值計算去驗證負相關的情形是否存在。

首先，假設

x_i

來自一獨立且服從標準常態分配的隨機變數，

i=1, 2, ,n

，

yi

為

x_i

加上它所在位置

i

倍的

d

，即

y_i = +x_i id

，

d

給定。我們將

y_i

由小到大排 序為

y_{( )1} ≤ y_{( )2} ≤ ≤ y_{( )n}

，並找出每個

y_{( )i}

原本對應到的

x

值，也就是

( )^{i j}

y =x + jd

，並令

x_i′ =x_j

，這組新的

x′_i

數列是按照

y_{( )i}

大小排序，亦

( )¹ ( )² ( )³ ( )ⁿ

y ≤ y ≤y ≤ ≤ y

推得

x₁′→x₂′ →x₃′ → →x_n′

。

圖 2-1 原始樣本資料x 和新的樣本資料_i y _i

圖 2-2 新的樣本資料x′ _i

當

x_i >0

，加上

id

經過排序後，

x_i

的位置向後移動；當

x_i <0

，加上

id

經 過排序後，

x_i

的位置向前移動，換句話說，我們希望經過特殊的排序後，每 個樣本資料交換位置順序的變動不會太大，這樣

x_i

就只是跟附近的樣本資料 有關係而已，當製程在某一資料點偵測出問題，可以觀察它本身以及附近 資料點來找出問題所在，如圖 2-3。

圖 2-3 x′ 的位置 _i

2.2 數值計算

圖 2-4 相鄰x′ 和_i x_i′ 的對應關係 ₊₁

因為兩個相鄰資料

x′_i

和

x_i′₊₁

的邊際機率密度函數(marginal probability

density function)都是標準常態分配，而聯合機率密度函數是相依(dependent)

的二元常態分配(bivariate normal)，我們從圖 2-4 的概念，找出之聯合機率

密度函數，

時，利用數值計算找出相對位置的有限範圍，分別有以下幾點：

(4)

t+ jd >20⇒ ^{p t}

(

^{+ jd >s}

) =1，即聯合機率分配函數的尾端，出現的機率極

0.3 0.996728 1.0 0.997485 1.7 0.999777 2.4 0.999561 0.4 0.995936 1.1 0.999434 1.8 0.999175 2.5 0.999544 0.5 0.993799 1.2 0.999507 1.9 0.999297 2.6 0.999635 0.6 0.998864 1.3 0.99866 2.0 0.999264 2.7 0.999623 0.7 0.998956 1.4 0.998881 2.1 0.999412 2.8 0.999672 0.8 0.997852 1.5 0.99868 2.2 0.999408 2.9 0.999723 0.9 0.998004 1.6 0.99973 2.3 0.999482 3.0 0.999706

圖 2-5 x′ 和_i x_i′ 中間隔一個樣本資料的對應關係 ₊₂

間隔一個樣本的

x′_i

和

x_i′₊₂

的邊際機率密度函數也是標準常態分配，聯合

0.3 0.992858 1.0 0.999816 1.7 0.99988 2.4 0.999886 0.4 0.996305 1.1 0.999836 1.8 0.999882 2.5 0.999886 0.5 0.999367 1.2 0.99985 1.9 0.999883 2.6 0.999886 0.6 0.999563 1.3 0.99986 2.0 0.999884 2.7 0.999886 0.7 0.999675 1.4 0.999868 2.1 0.999885 2.8 0.999886 0.8 0.999743 1.5 0.999873 2.2 0.999885 2.9 0.999886 0.9 0.999787 1.6 0.999877 2.3 0.999886 3.0 0.999886

從式子(2)和式子(3)，我們可以個別計算相鄰的兩樣本資料和間隔一個的

兩樣本資料的共變異數值，並觀察樣本變異數經過排序後的差別。

2.3 負相關

表 2-3 d 從 0.3 到 3.0 間隔差 0.1 的E x x

(

i′ ′⋅ i₊1

)

d E x x

(

i′ ′⋅ i₊1

)

d E x x

(

i′ ′⋅ i₊1

)

d E x x

(

i′ ′⋅ i₊1

)

d E x x

(

i′ ′⋅ i₊1

)

0.3 -0.04156 1.0 -0.0802 1.7 -0.05316 2.4 -0.01601 0.4 -0.05166 1.1 -0.07919 1.8 -0.04685 2.5 -0.0127 0.5 -0.06063 1.2 -0.07715 1.9 -0.04064 2.6 -0.00993 0.6 -0.06786 1.3 -0.07424 2.0 -0.03483 2.7 -0.00764 0.7 -0.07326 1.4 -0.06967 2.1 -0.0293 2.8 -0.00581 0.8 -0.07753 1.5 -0.06472 2.2 -0.02436 2.9 -0.00436 0.9 -0.07911 1.6 -0.05924 2.3 -0.01991 3.0 -0.00317

表 2-3 中，可看出

d =0.1i

，

i=3, 4, 5, , 30

，相鄰資料

x′_i

和

x_i′₊₁

乘積的期望 值都是負的，

E x x

(

_i′ ′⋅ _i+1

)

< ⇒0 Cov x x

(

_i′ ′, _i+1

)

<0

。其中以

d =1.0

，

E x x

(

_i′ ′⋅ _i+1

)

=-0.0802

為最小，也就是負相關的情形最明顯是在

d =1.0

的時候。

表 2-4 d 從 0.3 到 3.0 間隔差 0.1 的E x x

(

i′ ′⋅ i₊2

)

d E x x

(

i′ ′⋅ i₊2

)

d E x x

(

i′ ′⋅ i₊2

)

d E x x

(

i′ ′⋅ i₊2

)

d E x x

(

i′ ′⋅ i₊2

)

0.3 -0.03193 1.0 0.014838 1.7 0.045221 2.4 0.016127 0.4 -0.0348 1.1 0.025756 1.8 0.041853 2.5 0.012912 0.5 -0.03345 1.2 0.034875 1.9 0.037678 2.6 0.010186 0.6 -0.02806 1.3 0.041661 2.0 0.0331 2.7 0.007925 0.7 -0.01957 1.4 0.045907 2.1 0.028448 2.8 0.006084 0.8 -0.00889 1.5 0.047696 2.2 0.023967 2.9 0.004612 0.9 0.002948 1.6 0.047326 2.3 0.019827 3.0 0.003453

再者我們由附錄 B 得到 (

2

)

, ₂

( )

,

( )

2

1 2 1 2 2

2

1 1

, 1 ,

m m

m m m m

i j

i j m

x x x x x x

Cov Cov x x

m m m

+ +

= = +

′+ ′+ + ′ ′ + ′ + + ′

⎛ ⎞= ′ ′

⎜ ⎟

⎝ ⎠

∑ ∑

^≅ _m^{12 Cov x}

⁽

^{m′ ′,xm+1}

⁾

^，

m

越大，兩組樣本平均的共變異數趨近零，則每組樣本平均幾乎獨立。經

過特殊排序後，新樣本資料的變異數小於原來樣本資料的變異數，且數列

x′_i

中相鄰的數都會呈現負相關的關係，使得變異數降低，檢定力提高，由下

一章會模擬一組樣本資料去佐證負相關的結果。

三、模擬

圖 3-1 w′ 的樣本資料彼此獨立 _m

步驟三、 從步驟五可以得到

n₁

個

w′_m,1,k

值和

w′_m,2,k

值，利用此

n₁

個值計算出

( )

¹

(

^,

)

^{2 2}

0.01 0.499779 0.7 0.463534 1.5 0.46717 2.3 0.490522 0.05 0.495885 0.8 0.461041 1.6 0.470033 2.4 0.492499 0.1 0.493203 0.9 0.459928 1.7 0.472639 2.5 0.493987 0.2 0.48752 1.0 0.458869 1.8 0.476676 2.6 0.495284 0.3 0.482795 1.1 0.459023 1.9 0.480154 2.7 0.496424 0.4 0.478179 1.2 0.459233 2.0 0.482712 2.8 0.497758 0.5 0.472276 1.3 0.461126 2.1 0.485465 2.9 0.498377 0.6 0.466327 1.4 0.46379 2.2 0.488463 3.0 0.499265

表 3-2 不同 m 下，最佳的d 值 ^*

3 0.7 0.333333 0.296983 0.109051

4 0.5 0.25 0.2188 0.124801

5 0.5 0.2 0.173342 0.133292

6 0.4 0.166667 0.143603 0.138381 7 0.3 0.142857 0.122093 0.145352

8 0.3 0.125 0.106356 0.149151

9 0.2 0.111111 0.094523 0.149291

10 0.2 0.1 0.084534 0.15466

重複很多次模擬後，會發現相同的

m

下可能會有不同的最佳

d^*

值，可參 考附錄 E，這是因為

d

值的間隔只取

0.1

，以

m=2

來看，表 3-1 最佳的

d^*

值 為 1.0，在表 E-1 最佳的

d^*

值變成 0.9，我們可以推測在

m=2

的時候，最 佳的

d^*

值其實是介於 0.9~1.0 之間。

在不同的

m

中， 最佳的

d^*

值對應到的共變異數都是正的，

(

^{m,1, m,2}

)

⁰

Cov w′ w′ >

(表 3-3)。在

m=2

的例子中，

^{Cov w}

(

^{m′,1,wm′,2}

)

^=0.003797

^，

Sm²

是

(

^{m,1, m,2}

)

Cov w′ w′

的 120.85 倍，兩組樣本資料間的相關性非常小，可以忽略，

其他

m

中也有這種現象。

表 3-3 不同 m 下，Cov為相鄰兩組樣本間的關係

m d ^* S m² Cov

2 1.0 0.458869 0.003797 3 0.7 0.296983 0.006185 4 0.5 0.2188 0.004754 5 0.5 0.173342 0.00852 6 0.4 0.143603 0.007412 7 0.3 0.122093 0.004637 8 0.3 0.106356 0.005766 9 0.2 0.094523 0.001792 10 0.2 0.084534 0.003107

四、改善製程管制圖 4.1 統計製程管制

統計製程管制是利用抽樣的樣本資料，來監控整個製程的狀態，當製 程發生不穩定時，採取調整製程參數，以降低產品品質之變異和改善製程 能力。製程發生變異的原因有兩種，分別是機遇原因(chance causes)和可歸 屬原因(assignable causes)，機遇原因是指自然變異及無法避免的原因造成 的，不會影響製程的偏移；相反地，可歸屬原因則會使製程失控(out of control)，可能發生在製程中參數的不適當調整，操作人員的失誤或者使用 不良的原料。

統計製程管制的最終目的是盡快的偵測出可歸屬原因的出現造成製程 偏移，減少產品之間的差異並提升製程能力，所以說，統計製程管制為預 防性的品質管制手段，而管制圖為最常被採用的統計分析方法。

4.2 管制圖介紹

在統計製程管制中，管制圖是一個廣泛應用在線上監控製程的工具，

可用來估計製程的參數，盡可能的減少製程變異。

典型的管制圖是以抽樣的時間或樣本數，與抽得的樣本平均測量值所

繪成的圖，由三條線組合而成，中心線(central line；簡稱 CL)、管制界線

上界(upper control limit；簡稱 UCL)及管制界線下界(lower control limit；簡

稱 LCL)，其中中心線代表製程在統計管制狀態下品質特性的平均值，沒有 不正常的變數干擾下的製程特徵。一個基本的管制圖如圖 4-1。

0 5 10 15 20

0.00.51.01.52.0

時間(樣本數)

樣本平均測量值 中心線

管制界線上界

管制界線下界

圖 4-1 典型的管制圖

管制圖與統計假設檢定間有密切的關係，即將統計假設檢定的過程加 以圖示化表示。我們可以由圖 4-1 看出樣本點都落在管制界線內，可推論 此製程是在管制狀態下，相當於無法拒絕製程在管制狀態內的虛無假設 (non-reject null hypothesis)；反之，若管制圖內一點落在管制界線外，可推 論製程已經失控，相當於拒絕製程在管制狀態內的假設，也就是對立假設 (alternative hypothesis) 成立。

管制圖中型Ι誤差及型Ⅱ誤差和統計假設檢定有相同意義，型Ι誤差

的機率就是當製程實際為管制狀態下卻被宣告為製程失控的錯誤；型Ⅱ誤

差的機率即為製程實際已經失控，卻被宣告在管制狀態下的錯誤。訂定管

制界線被視為一重要的決策，若管制界線拉離中心線，即管制界線加寬，

將會減少型Ι誤差的風險，(指製程實際為正常，但由於一點超出管制界線

4.3 改善傳統管制圖

在每單位時間所得到的樣本資料為標準常態分配經由特殊的方法排 序，利用其排序產生新的樣本資料，將固定幾個(

2, 3, ,10

)樣本數相加取平 均值，可產生負相關，因為負相關可以降低變異數，將這樣的結果運用在 管制圖上，可製程成新的非傳統

X

管制圖。

例如： 第 3 章中

m=2

，最佳的

d^*

值為 1.0 可算出

^{1 2 1 2}

2 2

x x x x

Var⎛⎜⎝ ′+ ′ ⎞⎟⎠<Var⎛⎜⎝ + ⎞⎟⎠⇒

0.458869<0.5 管制圖中心線

CL= =

μ

0

原樣本資料的管制圖的上下界線為：

3 1 =2.121320 2

UCL= ⋅

、

3 ¹ 2.121320

LCL= − ⋅ 2 = −

新的樣本資料的管制圖的上下界線為：

2

3 2=2.032196

UCL′ = ⋅S

、

LCL′ = − ⋅3 S₂²= 2.032196−

圖 4-2 實線為原樣本資料的上下管制界線，虛線為新樣本資料的上下管制

界線，因為

Cov x x

(

_i′ ′ <, _i+1

)

0

，使變異數降低了，管制界線會往中心線移動，增

加製程的檢定力。

0 5 10 15 20

五、結論

本論文利用

1, 2, , ~

( )

0,1

iid

x x xn N

，其中

x_i

為實際產品數值，經過 2..1 節的 方法排序後，實際去計算出相鄰的

x′_i

和

x_i′₊₁

的變異數，發現共變異數為負值，

使變異數比原來的小，表示樣本之間比較集中，具有負相關，也就是說會

x

的期望值不變下，降低其變異數。由第 3 章的方法找出最佳的

d^*

值，運用 在品質管制上，製成非傳統

X

管制圖，可以得到和傳統

X

管制圖有相同的 型Ι誤差的風險α ，但是我們讓變異數的值變小，所以型Ⅱ誤差的風險 β 也 會降低，偵測到製程發生改變的機率

1−

β 會變大，則檢定力提高，能讓品質 管制人員更準確地監控製程狀態，儘快偵測出製程發生跳動及產生錯誤的 原因，以便在製造出不合格產品前發現製程的變異並著手進調整、修正。

可以將其特性運用在不同的領域上，如電子通訊、生物科技或醫學。

在競爭激烈的商業環境中，品質管制是一個企業想要永續經營維持競

爭力的最主要因素。近幾年來，消費者意識抬頭，品質也成為影響消費者

在選擇商品或服務時的重要決策之一，每個企業都應該在經濟與利益中取

得平衡，瞭解並改善品質，妥善的利用品質改善工具來不断提升產品，並

提供完善的品質服務達到消費者的需求。

參考文獻

[1] 鄭春生，品質管理，三民書局，台北，民國八十五年。

[2] Douglas C. Montgomery, Introduction to Statistical Quality Control, Fifth Edition, Wiley, United States, 2004.

[3] 賴文祥， 「負相關在管制圖上之應用」，交通大學統計學研究所，碩士 論文，民國 93 年。

[4] 曾翊琳， 「運用重排資料改善統計製程管制圖」，交通大學統計學研究

所，碩士論文，民國 94 年。

附錄 A

圖 A-1 x′ 和_i x_i′ 的聯合機率密度函數流程圖 ₊₁

#include <iostream>

#include <cmath>

#include <imsls.h>

using namespace std ;

#define pi (3.1415926)

#define f(x) (exp(-(x*x)/2)/sqrt(2*pi))

#define k1(x) (static_cast<int>((x-5)/d)) /* k 的下界 */

#define k2(y,j) (static_cast<int>((y+j*d+5)/d)+1) /* k 的上界 */

#define j1(x,y) (static_cast<int>((x-y)/d)) /* j 的下界 */

#define j2(y) (static_cast<int>((20-y)/d)) /* j 的上界 */

FILE *out;

//相鄰的 ftp & covariance int main()

{

int j, k, d1, x1, y1;

double x, y, sum, sum_1, prod, d; /* x=s , y=t */

out=fopen("in1.txt","w");

for ( d1=0 ; d1<28 ; ++d1) { /* d 從 3.0~0.3,間距 0.1 */

(imsls_d_normal_cdf( y+(j-k)*d )-imsls_d_normal_cdf( x-k*d )) );

} }

sum += f(x)*f(y)*prod*0.0001;

sum_1 += x*y*f(x)*f(y)*prod*0.0001 ; }

} } }

fprintf(out,"%lf\t%lf\t%lf\n",d,sum,sum_1);

cout << d << '\t' << sum << '\t'<< sum_1 << '\n' ; }

return (0) ; }

圖 A-2 不同 d 值的 f x x

(

_i′ ′, _i+1

)

圖 A-3 不同 d 值的E x x

(

i′ ′⋅ i₊1

)

附錄 B

圖 B-1 x′ 和_i x_i′ 的聯合機率密度函數流程圖 ₊₂

#include <iostream>

#include <cmath>

#include <imsls.h>

using namespace std ;

#define pi (3.1415926)

#define f(x) (exp(-(x*x)/2)/sqrt(2*pi))

#define k1(x) (static_cast<int>((x-5)/d)) /* k 和 l 的下界 */

#define k2(y,j) (static_cast<int>((y+j*d+5)/d)+1) /* k 和 l 的上界 */

#define j1(x,y) (static_cast<int>((x-y)/d)) /* j 的下界 */

out2=fopen("in2.txt","w");

d = 3-d1*0.1 ;

(imsls_d_normal_cdf( y+(j-i1)*d )-imsls_d_normal_cdf( x-i1*d ));

/* 連乘其他位置 xk+kd */

for ( k = k1(x) ; k<= k2(y,j) ; ++k ) { if ( k !=0 && k != j && k != i1 ) {

prod *= ( 1 - (imsls_d_normal_cdf( y+(j-k)*d )-imsls_d_normal_cdf( x-k*d )) );

} }

sum1 += prod;

} }

sum += f(x)*f(y)*sum1*0.0025;

sum_1 += x*y*f(x)*f(y)*sum1*0.0025;

} } } }

fprintf(out2,"%d\t%lf\t%lf\n",d,sum,sum_1);

cout << d << '\t' << sum_1 << '\n' ; }

return (0) ; }

圖 B-2 不同 d 值的 f x x

(

_i′ ′, _i+2

)

圖 B-3 不同 d 值的E x x

(

i′ ′⋅ i₊2

)

附錄 C

s2<-matrix(rep(1,320), nrow = 32, ncol=10, byrow=F) d=0.01

w1<-matrix(rep(0,2*n1), nrow = n1, ncol=2, byrow=T) for(k in 1:n1){

write.table(s2, file = "C:/s2.txt",col.names = F) }

w1<-matrix(rep(0,2*n1), nrow = n1, ncol=2, byrow=T) for(k in 1:n1){

for(j in 1:m){

w1[k,1]=w1[k,1]+xi[100+40*(k-1)+j]

w1[k,2]=w1[k,2]+xi[100+m+40*(k-1)+j]

} }

s2[2,m]=var(w1)[1,1]/m^2

write.table(s2, file = "C:/s2.txt",col.names = F) }

w1<-matrix(rep(0,2*n1), nrow = n1, ncol=2, byrow=F) for(k in 1:n1){

write.table(s2, file = "C:/s2.txt",col.names = F) }

}

#####################################################

##################### 找出最佳的 d 值 ################

#####################################################

M<-matrix(rep(1,36), nrow = 9, ncol=4, byrow=F) for( m in 1:9){

M[m,1]=s2[which.min(s2[,m+1]),1]

M[m,2]=min(s2[,m+1]) }

m<-1

w1<-matrix(rep(0,2*n1), nrow = n1, ncol=2, byrow=F) for(i in 1:n)

write.table(M, file = "C:/m_10_7.txt",col.names = F) for(m1 in 2:9){

w1<-matrix(rep(0,2*n1), nrow = n1, ncol=2, byrow=T) for(k in 1:n1){

write.table(M, file = "C:/m_10_7.txt",col.names = F) m<-m1

}

#####################################################

#################### 作 S^2 圖 #######################

#####################################################

for(a in 2:10){

bmp(file=paste("C:/m_", a, ".jpeg", swp=""))

plot(s2[,1],s2[,a],xlab="d",ylab="Var",main=paste("m = ", a, swp="")) points(M[a-1,1],M[a-1,2],col="red",pch=19)

text(M[a-1,1]+0.4,M[a-1,2],paste("(", M[a-1,1], ", ", round(M[a-1,2],3), ")", sep="")) dev.off()

}

#####################################################

#################### power ###########################

#####################################################

pow<-matrix(rep(1,108), nrow = 12, ncol=9, byrow=F) pow<-cbind(rep(1:12)*0.25,pow)

newpow<-matrix(rep(1,108), nrow = 12, ncol=9, byrow=F) newpow<-cbind(rep(1:12)*0.25,newpow)

if( abs(w[i])> 3/sqrt(m) ) a=a+1;

}

#偏移，排序後

if( abs(w[i])> 3*sqrt(M1[m-1,2]) ) b=b+1;

}

#power

pow[s,m]<-a/n1 newpow[s,m]<-b/n1 }

write.table(pow, file = "C:/pow.txt",col.names = F)

write.table(newpow, file = "C:/newpow.txt",col.names = F) }

#####################################################

#################### 作 power 圖 #####################

#####################################################

for(a in 2:10){

bmp(file=paste("C:/pow_", a, ".jpeg", swp=""))

plot(pow[,1],pow[,a],xlab="shift",ylab="power",main=paste("m = ", a, swp=""),col=2,lty=1,type="b")

附錄 D

模擬出

10⁷

個值服從標準常態分配，給定

d

值，經過重排後計算樣本資料的 變異數。

表 D-1 m= ，不同 d 值的變異數 3

d S 3² d S 3² d S 3² d S 3²

0.01 0.333221 0.7 0.296983 1.5 0.314656 2.3 0.328713 0.05 0.329182 0.8 0.298402 1.6 0.317133 2.4 0.329312 0.1 0.323871 0.9 0.300243 1.7 0.319151 2.5 0.330083 0.2 0.316649 1.0 0.301188 1.8 0.321512 2.6 0.331016 0.3 0.310324 1.1 0.303803 1.9 0.323235 2.7 0.331485 0.4 0.305109 1.2 0.30701 2.0 0.325088 2.8 0.331787 0.5 0.299795 1.3 0.309418 2.1 0.326379 2.9 0.332253 0.6 0.298151 1.4 0.311769 2.2 0.327832 3.0 0.333054

備註：

m=3

，

d =0.7

時

S₃²

=0.296983 為最小，

0.01 0.249174 0.7 0.22116 1.5 0.240001 2.3 0.247077 0.05 0.245113 0.8 0.224157 1.6 0.241417 2.4 0.247577 0.1 0.239839 0.9 0.226914 1.7 0.242717 2.5 0.248134 0.2 0.231453 1.0 0.229272 1.8 0.2437 2.6 0.248569 0.3 0.225913 1.1 0.231673 1.9 0.244426 2.7 0.248949 0.4 0.221396 1.2 0.234249 2.0 0.24537 2.8 0.249352 0.5 0.2188 1.3 0.236114 2.1 0.245949 2.9 0.249475 0.6 0.219622 1.4 0.238128 2.2 0.24651 3.0 0.249642

備註：

m=4

，

d =0.5

時

S₃²

=0.2188 為最小，

表 D-3 m= ，不同 d 值的變異數 5

d S5² d S5² d S5² d S5²

0.01 0.198687 0.7 0.178261 1.5 0.193262 2.3 0.19826 0.05 0.194348 0.8 0.181468 1.6 0.1942 2.4 0.198492

0.1 0.188735 0.9 0.184338 1.7 0.194878 2.5 0.198896 0.2 0.181082 1.0 0.186213 1.8 0.195683 2.6 0.199257 0.3 0.17624 1.1 0.188145 1.9 0.196407 2.7 0.199391 0.4 0.173647 1.2 0.189823 2.0 0.197039 2.8 0.199637 0.5 0.173342 1.3 0.190894 2.1 0.197524 2.9 0.199668 0.6 0.175263 1.4 0.19197 2.2 0.197804 3.0 0.199802

備註：在

m=5

，

d =0.5

時

S₅² =0.173342

為最小，

表 D-5 m= ，不同 d 值的變異數 7

d S7² d S7² d S7² d S7²

0.01 0.141214 0.7 0.131024 1.5 0.139436 2.3 0.142121 0.05 0.13681 0.8 0.13311 1.6 0.139889 2.4 0.142362 0.1 0.131085 0.9 0.13464 1.7 0.140284 2.5 0.142547 0.2 0.124784 1.0 0.135731 1.8 0.140815 2.6 0.142646 0.3 0.122093 1.1 0.136871 1.9 0.141089 2.7 0.142821 0.4 0.12291 1.2 0.137796 2.0 0.141414 2.8 0.142876 0.5 0.125432 1.3 0.13829 2.1 0.141662 2.9 0.142908 0.6 0.128348 1.4 0.138854 2.2 0.14189 3.0 0.142947

備註：在

m=7

，

d =0.5

時

S₇² =0.122093

為最小，

0.01 0.123183 0.7 0.116147 1.5 0.122603 2.3 0.1245 0.05 0.119282 0.8 0.11753 1.6 0.12292 2.4 0.124612

0.1 0.113564 0.9 0.118719 1.7 0.123194 2.5 0.12476 0.2 0.107584 1.0 0.119505 1.8 0.123569 2.6 0.124833 0.3 0.106356 1.1 0.120367 1.9 0.123855 2.7 0.124946 0.4 0.108528 1.2 0.121092 2.0 0.124067 2.8 0.125089 0.5 0.111152 1.3 0.121487 2.1 0.124242 2.9 0.125086 0.6 0.113902 1.4 0.12202 2.2 0.124389 3.0 0.125148

備註：在

m=8

，

d =0.5

時

S₈² =0.106356

為最小，

表 D-7 m= ，不同 d 值的變異數 9

d S9² d S9² d S9² d S9²

0.01 0.109122 0.7 0.104057 1.5 0.109205 2.3 0.110553 0.05 0.105129 0.8 0.1051 1.6 0.10934 2.4 0.110627 0.1 0.099656 0.9 0.10613 1.7 0.109514 2.5 0.110743 0.2 0.094523 1.0 0.10666 1.8 0.109795 2.6 0.110822 0.3 0.094859 1.1 0.107338 1.9 0.110005 2.7 0.110914 0.4 0.097384 1.2 0.107982 2.0 0.110162 2.8 0.110942 0.5 0.10018 1.3 0.108358 2.1 0.110275 2.9 0.110972 0.6 0.102499 1.4 0.108749 2.2 0.110425 3.0 0.111028

備註：在

m=9

，

d =0.5

時

S₉² =0.094523

為最小，

0.01 0.097984 0.7 0.094159 1.5 0.098268 2.3 0.099579 0.05 0.094067 0.8 0.095089 1.6 0.098476 2.4 0.099675 0.1 0.088678 0.9 0.09592 1.7 0.098665 2.5 0.099789 0.2 0.084534 1 0.096471 1.8 0.098907 2.6 0.099874 0.3 0.085745 1.1 0.097016 1.9 0.099044 2.7 0.099948 0.4 0.088568 1.2 0.09741 2 0.099179 2.8 0.099975 0.5 0.091008 1.3 0.097693 2.1 0.099237 2.9 0.099996 0.6 0.093026 1.4 0.09792 2.2 0.099413 3 0.100041

備註：在

m=10

，

d =0.2

時

S₁₀² =0.084534

為最小，

圖 D-1 m=2，不同 d 值的變異數 圖 D-2 m=3，不同 d 值的變異數

圖 D-3 m=4，不同 d 值的變異數 圖 D-4 m=5，不同 d 值的變異數

圖 D-5 m=6，不同 d 值的變異數 圖 D-6 m=7，不同 d 值的變異數

圖 D-7 m=8，不同 d 值的變異數 圖 D-8 m=9，不同 d 值的變異數

圖 D-9 m=10，不同 d 值的變異數

附錄 E

3 0.7 0.333333 0.295135 0.114596

4 0.5 0.25 0.217253 0.130989

5 0.5 0.2 0.171772 0.141139

6 0.4 0.166667 0.142592 0.144446 7 0.3 0.142857 0.121251 0.15124

8 0.3 0.125 0.105711 0.154313

9 0.3 0.111111 0.093982 0.154162

10 0.2 0.1 0.084037 0.159628 3 0.7 0.333333 0.295766 0.112701 4 0.5 0.25 0.218316 0.126736 5 0.4 0.2 0.17333 0.13335 6 0.4 0.166667 0.142999 0.142004 7 0.3 0.142857 0.121672 0.148299 8 0.3 0.125 0.10616 0.150718 9 0.3 0.111111 0.094614 0.14847 10 0.2 0.1 0.084671 0.153293

附錄 F

製程平均值發生偏移，模擬

10⁷

的值服從

N( ,1)δ

，經過重排後計算

1−β

和原本 的

1−β

的值。

表 F-1 m=2，製程平均值偏移，原檢定力及新檢定力差別

δ 0.25 0.5 0.75 1.0 1.25 1.5

power 0.004236 0.010884 0.026124 0.055317 0.108777 0.189466 new_power 0.004844 0.01164 0.029268 0.062917 0.122613 0.212799

δ 1.75 2.0 2.25 2.5 2.75 3.0

power 0.2992 0.432457 0.572631 0.703812 0.813518 0.893751 new_power 0.335184 0.478454 0.623283 0.752997 0.854186 0.921723

表 F-2 m=3，製程平均值偏移，原檢定力及新檢定力差別

δ 0.25 0.5 0.75 1.0 1.25 1.5

power 0.0053 0.016268 0.044093 0.100869 0.201926 0.344968 new_power 0.00604 0.018172 0.052373 0.121897 0.239907 0.403725

δ 1.75 2.0 2.25 2.5 2.75 3.0

power 0.512894 0.67884 0.814962 0.907967 0.960248 0.98574 new_power 0.584791 0.751265 0.87179 0.943703 0.979232 0.993956

表 F-3 m=4，製程平均值偏移，原檢定力及新檢定力差別

δ 0.25 0.5 0.75 1.0 1.25 1.5

power 0.00634 0.022564 0.066137 0.158462 0.308476 0.50077 newpower 0.006996 0.026096 0.082653 0.19463 0.374444 0.584911

δ 1.75 2.0 2.25 2.5 2.75 3.0

power 0.690968 0.842882 0.933811 0.977504 0.993832 0.998684 newpower 0.771949 0.901315 0.965452 0.990068 0.998056 0.99968

表 F-4 m=5，製程平均值偏移，原檢定力及新檢定力差別

δ 0.25 0.5 0.75 1.0 1.25 1.5

power 0.007484 0.029536 0.092301 0.222011 0.418793 0.639356 new_power 0.00852 0.03612 0.117857 0.277599 0.506394 0.729665

δ 1.75 2.0 2.25 2.5 2.75 3.0

power 0.819174 0.929643 0.979396 0.995224 0.99926 0.999884 new_power 0.887679 0.96512 0.9919 0.9985 0.999852 0.999976

表 F-5 m=6，製程平均值偏移，原檢定力及新檢定力差別

δ 0.25 0.5 0.75 1.0 1.25 1.5

power 0.008524 0.037152 0.121669 0.290635 0.52461 0.750417 newpower 0.009956 0.045645 0.154518 0.359408 0.620067 0.833298

δ 1.75 2.0 2.25 2.5 2.75 3.0

power 0.900571 0.971316 0.99426 0.999028 0.999936 0.999996 newpower 0.948427 0.988776 0.998376 0.999776 0.999984 1

表 F-6 m=7，製程平均值偏移，原檢定力及新檢定力差別

δ 0.25 0.5 0.75 1.0 1.25 1.5

power 0.00976 0.046221 0.154074 0.36148 0.621115 0.83347 newpower 0.011084 0.056685 0.195934 0.442765 0.717829 0.901775

δ 1.75 2.0 2.25 2.5 2.75 3.0

power 0.948911 0.989108 0.998504 0.999796 0.999984 1 newpower 0.977284 0.99684 0.999692 0.999984 1 1

表 F-7 m=8，製程平均值偏移，原檢定力及新檢定力差別

shift 0.25 0.5 0.75 1.0 1.25 1.5

power 0.011112 0.055793 0.18953 0.431401 0.703792 0.893055 newpower 0.012744 0.069221 0.241667 0.523442 0.797386 0.945243

shift 1.75 2.0 2.25 2.5 2.75 3.0

power 0.974404 0.996148 0.999688 0.999988 0.999996 1 newpower 0.990652 0.999144 0.999944 1 1 1

表 F-8 m=9，製程平均值偏移，原檢定力及新檢定力差別

shift 0.25 0.5 0.75 1.0 1.25 1.5

power 0.012332 0.066473 0.227043 0.499074 0.772725 0.933223 newpower 0.014672 0.083641 0.288023 0.600579 0.856646 0.969928

shift 1.75 2.0 2.25 2.5 2.75 3.0

power 0.988072 0.998616 0.999944 1 1 1 newpower 0.99648 0.99982 0.999984 1 1 1

表 F-9 m=10，製程平均值偏移，原檢定力及新檢定力差別

shift 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5

power 0.013584 0.077965 0.264443 0.563687 0.82941 0.959368 newpower 0.01662 0.098953 0.337708 0.669688 0.903555 0.984664

shift 1.75 2 2.25 2.5 2.75 3

power 0.99478 0.999504 0.999988 1 1 1

newpower 0.998804 0.99998 1 1 1 1

圖 F-1 m=2，原檢定力及新檢定力差別 圖 F-2 m=3，原檢定力及新檢定力差別

圖 F-3 m=4，原檢定力及新檢定力差別 圖 F-4 m=5，原檢定力及新檢定力差別

圖 F-5 m=6，原檢定力及新檢定力差別 圖 F-6 m=7，原檢定力及新檢定力差別

圖 F-7 m=8，原檢定力及新檢定力差別 圖 F-8 m=9，原檢定力及新檢定力差別

圖 F-9 m=10，原檢定力及新檢定力差別

在文檔中 改善管制圖的方法 (頁 11-0)