近年來，波動度模型的研究，都將焦點集中於估計高頻率的波動度 資料。其中波動度是由ㄧ個固定的非常小的時間區間下(日內)，將日內 報酬率平方加總即為波動度的估計值，稱為真實波動度測度，此想法最 早由 Merton 於 1980 年提出，當樣本的時間間隔愈小(趨近於零)，波動 度的估計值愈準確。
使用日內資料的指數報酬率，得到一個更為精準的真實波動度的估 計值。我們使用Whaley(1982)的方法，估計股票市場收盤前的10分鐘左 右，所有價平選擇權的隱含波動度，此目的是為了減少像買賣價差 (bid-ask bounce)、選擇權價格的不連續性、交易不頻繁、非同時定價的 選擇權和標的物指數。為了避免資料重疊(overlapping)所帶來的誤差問 題，Fleming (1998)建議使用一般化動差法(general moment model, GMM) 作迴歸分析檢驗各個模型的預測效果，使用B-S對選擇權的定價模型來 對臺灣股價指數選擇權作定價。
本研究利用隱含波動度(IV)、歷史波動度(HV)、GARCH(1,1)、自我 迴歸移動平均部分整合模型(ARFIMA)的緩長記憶過程預測真實波動度 (RV)，利用迴歸式中R2值、RMSE和包含迴歸式，比較預測波動度變化 的最適模型。另外，將各個波動度預測值帶入B-S選擇權評價公式與市 場上選擇權的真實價格相比，利用買或賣跨式選擇權(straddle)的交易策 略進行實證，計算各個模型在此策略有無顯著報酬，以驗證本研究預測 的真實波動度的經濟價值。
ARFIMA模型能夠描述財務上時間數列資料的緩長記憶效果，在國 外已有許多學者將其應用於財務相關的領域上，像是美國股市、S&P 500 指數選擇權、外匯市場、物價指數…等，也有許多學者比較ARFIMA模 型與隱含波動度模型、GARCH模型的預測效果。本文驗證臺指選擇權 的真實波動度具有緩長記憶的效果，d值顯著為 0.3949。且在預測一天、
五天的迴歸分析中，ARFIMA對真實波動度的預測效果皆優於GARCH 模型，雖然隱含波動度在單一迴歸式中，預測未來一天真實波動度的R2
值較ARFIMA為高，但在包含迴歸式中可看出其擁有隱含波動度未包含 的額外資訊。
第壹章為緒論，說明研究背景、動機及研究目的。第貳章為文獻探 討，分別說明各個波動度模型的預測效果及其優缺點。第參章為資料篩 選及研究方法，說明本研究資料的取得及篩選方法，介紹各個模型的估 計、預測方式，並利用一般化動差法(GMM)作迴歸分析來消除資料重疊 (overlapping)所帶來的誤差問題。第肆章實證分析則利用各個波動度模 型預測真實波動度，有單一迴歸模型和包含迴歸模型，並利用跨式選擇 權交易策略驗證個各模型的預測效果是否可在臺指選擇權市場中獲利。
第伍章總結本文研究結果與建議。
第貳章、 文獻探討
如何正確的預測波動度是很重要的，像是在風險管理、衍生性商品 定價、選擇權的交易和避險方面的應用。在 Black-Scholes 的選擇權評價 模型中，波動度是唯一無法從市場資料觀察而得的參數，因此它的估計 在選擇權評價公式中就顯得格外重要。然而，目前為止尚未出現被廣為 接受、使用的波動度預測模型。若投資人擁有比市場更為精確的波動度 預測值，便可從中獲利，獲取超額報酬。
一般估計波動度的方法有兩類：一為以選擇權的市場價格反推求得 的隱含波動度。隱含波動度(Implied volatility)常被作為選擇定價中標的 物價格波動度的估計值，是屬於波動度預測模型，由選擇權的市場價格 及定價模型，反推出滿足市場價格之標的物波動度，做為至到期日之標 的物波動度估計值。而另一種波動度的估計模型則是以歷史資料為基礎 的計量模型，代表投資人在過去的一段時間內，因對標的物的供需力道 不同而產生的價格波動程度，如歷史波動度模型、GARCH 模型等。
事實上，從 1980 年代中期，歷史波動度被視為預測未來波動度的標 準模型。歷史波動度是以過去某特定天期內所呈現的波動，一般為標的 指數報酬率的標準差表示，是以過去歷史資料的數值來衡量，但由於歷 史資料給過去每一觀察值相同的權重，理論上，距離目前較近的觀察值 對波動度的影響亦較大，所以歷史波動度的群聚特性並非很好。
要衡量一個標的資產價格的未來波動度，可使用關於這些價格的歷 史資料或由選擇權價格提供的資訊，除了所有歷史資料以外，還包括選 擇權的交易者對於相關的未來事件持有的額外資訊。因此，當市場具有 效率性，且價格已充分反應標的指數的所有資訊，隱含波動度有可能是 較精準的預測值。Latane and Rendleman (1976) and Chiras and Manaster (1978)發現隱含波動度是未來價格波動度的良好預測方法。
Fleming (1998)在研究 S&P 100 指數選擇權時，提出在波動度的預測 上，隱含波動度會優於歷史波動度。但隱含波動度是一個有偏誤的估計
式，且有高估外來波動度的現象。另外像是 Jorion (1995)對外匯期貨選 擇權的隱含波動度進行分析，結果發現隱含波動度無論是在預測能力或 是包含資訊的多寡上，皆優於歷史資料的時間數列模型。Christensen and Prabhala (1998)檢驗 S&P 100 指數選擇權隱含波動度與真實波動度之間 的關係，實證結果發現隱含波動度具有預測能力，且包含歷史波動度的 預測資訊。Figlewski (1997) and Poon and Granger(2003)的研究文獻中亦 提出隱含波動度會優於歷史波動度。Day and Lewis(1993)比較原油期貨 選擇權的隱含波動度、歷史波動度與 GARCH 及 EGARCH 模型的預測 能力，結果發現隱含波動度的預測效果最好。
Canina and Figlewski(1993)研究 S&P 100 指數選擇權，探討隱含波動 度的資訊內涵，結果發現隱含波動度是一個沒有效率且具有偏誤的預測 值，且隱含波動度幾乎與真實波動度無關。Lamoureux and Lastrapes(1993) 研究發現隱含波動度再預測未來波動度時，並沒有包含所有資訊，加入 歷史資料可解釋額外的資訊。
近來的研究強調日內價格提供的額外歷史資訊能夠提高對波動度預 測效果的精確性。真實波動度(Realized volatility)，定義為日內報酬率的 平方和的加總，它比Andersen and Bollerslev (1998)提出的每日報酬率平 方的波動度測度方法，提供一個更精確的估計。真實波動度理論上和實 務上的特性，由Andersen et al.(2001b)對外匯資料的研究中推導出。更多 實務上的驗證在Andersen et al.(2001a)對美國股市的研究中提出。
究竟真實波動度的測度方法在財務決策問題(像是投資管理、風險管 理、資產定價等)是否有效用？Blair, Poon and Taylor(2001)用S&P 100指 數選擇權檢測短期波動度的預測效果且發現隱含波動度較真實波動度 對於預測未來波動度包含較多的資訊，且當預測一天或ㄧ天以上的S&P 100波動度，幾乎所有有用的預測資料都是來自選擇權的價格資料。
Taylor and Xu (1997)發現使用每五分鐘一筆馬克/美元的報酬率去預測 波動度較使用選擇權隱含波動度擁有更多的資訊，且預測的波動度有一 個小時的領先值。Poteshman(2000)用S&P 500每五分鐘一筆的期貨觀測 值取代指數去估計S&P 500指數選擇權市場的真實波動度，可減少將近
一半的預測誤差，而且當使用Heston的選擇權定價模型替代B-S模型 時，誤差會完全減少。Fleming, Kirby and Ostdiek(2003)在短期和長期交 易股票，使用真實波動度的預測模型具有經濟價值。
然而，有一群學者提出用高頻率的真實波動度模型能提高歷史資料 的預測值。在ABDL(2001b)在外匯資料的研究中指出真實波動度對於測 量誤差有模型中立和理論中立的特性。ABDE(2001a)在道瓊工業指數的 研究中發現真實波動度為對數常態分配，將每日報酬率標準化會近似常 態分配。他們指出利用像是部份整合自我迴歸模式(ARFIMA)的緩長記 憶過程，最能描述真實波動度。ABDL(2003)使用真實波動度去預測未 來波動度優於使用GARCH 模型來預測。基於理論的正確性、執行容 易、良好的估計特性和容易延伸對多變量設定等優點，因此，較為推薦 使用真實波動度方法。
真實波動度的行為像是一有緩長記憶性過程(long memory process) (ABDL, 2001b, ABDE, 2001a)，並且這個特徵可能被建構成更精確的預 測值。這些預測值在ABDL(2003)對馬克/美元和日圓/美元的匯率中有計 算，但是這些學者並未將此預測值與使用選擇權價格的預測值做比較。
還有些研究像是Li(2002)對匯率和Martens and Zein(2002)對S&P 500指 數、日圓/美元匯率和原油價格，這些學者發現在緩長記憶性的預測值有 包含額外的資訊。
時間序列的資料在許多文獻上(如 Granger 與 Joyeux(1980))提出部分 整合自我迴歸移動平均(fractional integrated ARMA-簡稱 ARFIMA(p,d,q)) 模型，其中長記憶參數 d 是介於 0 和 0.5 間的非整數值；Hosking(1981) 探討 ARFIMA 模型，指出隨著時間增加，觀測值之間自我相關係數遞 減到零的速度，較一般自我迴歸移動平均過程來得緩慢，這種現象稱為 緩長記憶(long memory)現象。ARFIMA 模型已被廣泛的用來分析具有長 記憶現象的時間數列資料。Beran(1994)和 Baillie(1996)針對具有長記憶 現象的時間數列資料進行模型的建立、參數之估計與檢定和預測等統計 問題。
在本文中，使用四種波動度的方法預測真實波動度。歷史波動度和 GARCH(1,1)模型是利用每日大盤指數收盤價格的報酬率資料求得，
ARFIMA(0,d,0)使用日內高頻率的歷史交易資料求得，隱含波動度是利 用選擇權價格資料所計算而得。比較預測期間為：一天、一星期(五天) 的波動度預測值。最後，驗證樣本外(預測未來一天)將各個模型波動度 預測出的選擇權價格與市場價格相比，是否能在本文使用的交易策略於 臺指選擇權市場中獲利。