科學化的思考方法

看似簡單的遊戲題材，如此豐富且多樣的想法一一呈現開來，隨機中蘊藏著 條理，卻又見反常的決策現象。如何運用科學化的方法來釐清，以探索且發現條 理性所在處，是個有趣的追尋、學習、認識、和體驗等整體過程。首先是一些合 理的條件限制應該要加進來，相關定律、準則才能適時、適切的呈現出來，理想 狀態下的條理性也就形成。在此遊戲題材中，如何運用「機率概念」來引導參賽 者「合力」選擇較高的中獎機會，是我們努力以赴的。以下將從兩個不同角度來 探索思考此問題，並假設獎品放在門 II，而參加者可以隨機選擇，亦即參加者選 擇門I、II、III 的機會是相等的；其他情形假設獎品放在門 I、門 III，推導過程 是相類似的。

（一）、樹狀圖歸類法：

參加者選擇II 門的機率為 1/3，延伸的三條路徑之一，如圖中的第一層路徑 所示，接下來主持人有兩個選擇，分別是開啟門I 或門 III，如圖中第二層路徑所 示，由於開啟門I 或 III 的機會是相同的，因此，一開始選定門 II 之後，不換而 中獎的機會為：1/3*1/2*1.0（主持人開門 I）+ 1/3*1/2*1.0（主持人開門 III）= 1/3；

換而中獎的機會為1/3*1/2*0.0（主持人開門 I）+ 1/3*1/2*0.0（主持人開門 III）=

0。 其次是選定門 III 或門 I 之後，不換而中獎的機會為 1/3*1*0.0（選 III 開 I）

+ 1/3*1*0.0（選 I 開 III）= 0；換而中獎的機會則為 1/3*1*1.0（選 III 開 I）+ 1/3*1*1.0

（選I 開 III）＝ 2/3。我們可以整理如下，「不換而中獎」的機會是1/3*1/2*1.0 + 1/3*1/2*1.0 + 1/3*1*0.0 + 1/3*1*0.0 = 1/3，其次，「換而中獎」的機會則為1/3*1/2

*0.0 + 1/3*1/2 *0.0 + 1/3*1*1.0 + 1/3*1*1.0 = 2/3。值得注意的是從樹狀圖中演算 下來，有些人會認為最後出現的結果有四種，其中不換門而會中獎占了兩個，換 門而會中獎也是占了兩個，所以兩者中獎的機會是相等的。這種誤解應釐清的是 四種路徑發生的機率並不相同，其中不換門而中獎的部份雖佔了兩個，但是主持 人只能從第二層之兩個路徑擇一，發生機率應該分別乘上1/2 才是正確的。

（二）、表列法：

以樹狀圖歸類法為基礎，運用較為嚴謹的「數學語言」來呈現 (貝氏解題，

Kinney, 1997)，或許可以肯定「機率概念」所引導出來的理想狀態，也可作為理 性決策的參考。但是對於只能參加一、兩次的遊戲者而言，似乎沒有多大意義和 實質幫助。為了進一步較為實際性體會，我們將禮物可能隨機置放的位置表列出 來成表1 的三種情形，列出這三種足以代表整個遊戲過程所發生的可能情況。配 合前面的假設獎品放在門 II，參加者可以隨機選擇，如果選擇了第 II 號門而主 持人開門之後「忠於原味」時，則中獎機率為1/3，亦即表 1 中的第二種情況；

II

III

II I

I III

不換中，換則不中。 不換中，換則不中。 不換不中，換則中。 不換不中，換則中。

獎品所放位置

參加者選的門

I III ^{主持人開的門}

最後 結果

若是參加者選擇了第III (I) 號門之後「忠於原味」時，亦即表 1 中的第三(一) 種 情況，中獎機率是分別為相同的1/3。另一方面，假設參加者選擇了第 II 號門而 在主持人開門之後「改變主意」時，中獎機率則會提升為2/3，亦即表 1 中第一、

三種情況之總和；若是參加者選擇了其他的III、I 號門之一，而在主持人開門後

「改變主意」的中獎機率也是分別為2/3，亦即表 1 中第一、二種情況之總和、

或第二、三種情況之總和。這種呈現方式，很像以小博大，但似乎是少了什麼具 體感覺？為了填補這個空缺，我們運用一個簡單的亂數表來作多次的模擬實驗，

例如附錄表一中300 個亂數值來決定獎品所在的「門號」、或參加者所選的「門 號」，三種情況均勻出現的次數各約100 次，只是亂數表模擬出現的排列順序是 隨機的，因此我們若是將其結果作適當的轉換重新排列之後，將會成為表2 的三 種情況均是重複呈現約100 組模樣。

四、亂數表的具體操作

實驗的方法是以某國中一年級新生為研究對象，總共有19 班，採常態編班 方式，我們選取其中的一個班來作為具體操作實驗研究對象，另外一個班來作為 常態性比對，兩個班級人數皆為39 人，前一個班的目的是要研究同學們經歷過 具體操作亂數表之後的效果，後一個班則是來檢測同學們在常態編班下具體操作 前對此問題反應之一致性。

首先是來檢測實驗前兩個班同學們之反應是否一致性？我們分別在兩個班

情況 門 I II III

一 ^{禮物 無 無} 二 ^{無 禮物 無} 三 ^{無 無 禮物}

情況 門 I II III

一 ^{104 0 0} 二 ^{0 92 0} 三 ^{0 0 104}

級說明 Monty Hall 遊戲規則，並輔以實際互動式遊戲操作且給予獎品，讓同學 們更加融入遊戲情境中，瞭解之後請他們填寫第二節中的問卷題目。問卷回收經 過整理和統計，前一個班的 39 人當中有 5 個人改變心意『換門』；而對照組的 39 人中則只有 3 個人改變心意。兩者的比值 (5/39 vs 3/39) 經由比率值雙尾統計 檢定 (e.g., prop.test in R) 之 p-value = 0.709，因此兩個班同學之反應是相當一致 的。此外，問卷中的簡答內容，這些同學們所呈現的有趣而多樣之典型答話內容 和第二節所整理出來的部份也是大同小異。

其次，我們就前一班的39 位同學們進行亂數表之具體操作，以研究比較一 次學習之後的效果。我們請同學們先認識一下附表一的亂數表，這些300 個數值 是均勻分佈在 [ 0, 1 ] 之間，我們劃分為三區，每一位同學隨機性給予亂數表中 的一個不同數值，這個亂數值是作為個人具體操作之『作業初始值』，例如附表 二中實驗次別1 的亂數值 0.749，位於亂數表中的第 29 列和第 9 行 (i.e., [28, 8])。

我們將此次的遊戲規則之獎品固定放在第II 號門內，重複遊戲的實驗次數設定 為60 次，亂數表依序 (由上而下、由左而右) 而隨機呈現的數值是用來決定參 加者所選擇的門號，我們依照選擇三個門之一的機率相等原則共同設定了決定條 件：若亂數值落於 [ 0 , 1/3 ) 則選 I 號門、 落於 [ 1/3 , 2/3 ) 則選 II 號門、落在 [ 2/3 , 1 ] 之中則選取 III 號門。附表二中完整地呈現了作業初始值為 0.749 的 60 次結果，當亂數值選中II 號門時，主持人可以開門的選擇有 I 或 III 號門；但是 若亂數值選中I (或 III) 號門的話，主持人只能開啟 III (或 I) 號門。在附表二中 的最右兩行則以0 或 1 代表『沒有中獎』或『中了大獎』的結果，最後統計一下 分別中獎的實驗次數：『不換門中獎』的次數以及『換門而中獎』的次數，兩數 相加的結果應該等於實驗總次數60。

我們請每一位同學依照個人『作業初始值』回家練習一下，將個人具體操作 的結果仿照附表二的呈現方式繳交一份報告。經過一週之後，我們收集了同學們 繳交的報告且確定每一位同學均有練習，再度請同學們填寫第二節中的問卷題目 以瞭解練習的成效。問卷回收後整理和統計結果，39 人當中從 5 人增加為 24 個 人改變心意『換門』，若考慮同學們在具體操作『之前』、『之後』的兩種情況下，

人數變動推移的詳細情形則呈現在表5 中，可以利用列聯表統計檢定法 (e.g., McNemar.test in R) 之 p-value = 0.0001746，因此，具體操作『之前』、『之後』的 學習成效是相當顯著的。

後

前 換 不換

換 3 2

不換 21 13

表 5：具體操作『之前』、『之後』的人數變動列聯表

此外，我們和同學們進行事後的分享活動，讓他們經由具體操作發表個人所 學習到的心得和啟發，大部份同學已經可以從其他同學的類似但不完全相同的結 果中，注意到不換門而中大獎機率為1/2、1/2 想法已經動搖，進一步我們把第三 節所呈現的兩種科學方法引用進來討論，樹狀圖歸類法帶領著他們反思一下個人 的具體操作，也比較其他人的具體操作，逐漸地可以體會到『第5 行主持人可開 門位置』(附表二) 的規律和限制；表列法則提供了一個整體觀或直覺性的判斷，

國中學生較難以在短時間完整掌握，若在老師適當的帶領下，利用附表三所提供 的具體操作之電腦自動化版本，只要找到個人的初始值位置填入程式中 (R function: MontyHall)，即可對照自己的結果，也可看看其他同學的結果，甚至多 加嘗試不同初始值位置的結果，整體觀可以逐步建立起來。