4.4.1 穷举法
穷举就是对所有可能的值进行逐一判断，找出其中符合条件要求的解。
【例 4.24】编写程序，计算我国古代数学家提出的“百钱百鸡问题”：“鸡翁一，值钱 五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一。百钱买百鸡，问鸡翁、母、雏几何？”
分析：这个问题的意思是：一只公鸡值 5 个钱；一只母鸡值 3 个钱；3 只小鸡值 1 个钱。
用 100 个钱买 100 只鸡，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？
我们分别用 X，Y，Z 表示公鸡、母鸡、小鸡的个数 则有：
X + Y + Z =100 ① 5X+3Y+Z/3=100 ②
由方程②可知：X 的取值范围为[0，20]中的整数。
Y 的取值范围为[0，33]中的整数。
因此我们可以用二重循环来解决这个问题。
外循环用 X 控制：0～20；内循环用 Y 控制：0～33；内循环体中根据方程①先求得 Z，
然后再根据方程②判定 X，Y，Z 是不是该问题的解。
控件的属性和作用如表 4-22 所示。
表 4-22 例 4.24 的属性设置
对象 属性 属性值 功能
Form1 Caption 例 4.24 百钱百鸡问题 显示程序的名称
（名称） lblX Label
Caption 公鸡： 显示计算出的公鸡数量
（名称） lblY Label
Caption 母鸡： 显示计算出的母鸡数量
（名称） lblZ Label
Caption 小鸡： 显示计算出的小鸡数量
（名称） cmdStart CommandButton
Caption 计算 开始计算
（名称） cmdClose CommandButton
Caption 关闭 关闭窗口
“计算”命令按钮（cmdStart）的程序源代码如下：
Private Sub cmdStart_Click() Dim X%, Y%, Z%
For X = 0 To 20 For Y = 0 To 33 Z = 100 - X - Y
If 5 * X + 3 * Y + Z / 3 = 100 Then lblX.Caption = lblX.Caption & " " & X lblY.Caption = lblY.Caption & " " & Y lblZ.Caption = lblZ.Caption & " " & Z End If
Next Y Next X End Sub
程序运行结果如图 4-32 所示。
图 4-32 例 4.24 的程序运行界面
请读者考虑：如果程序中的 3 个改变标签控件标题属性的语句变为：
lblX.Caption = X lblY.Caption = Y lblZ.Caption = Z 程序运行会如何变化？
【例 4.25】一个长长的阶梯，如果一次上两阶，最后剩一阶；如果一次上三阶，最后剩 两阶；如果一次上五阶，最后剩四阶；如果一次上六阶，最后剩五阶；如果一次上七阶，刚好 上完。编写程序，计算这个阶梯至少有多少阶？
解法 1
分析：假设阶梯有 X 阶，则：
X Mod 2 = 1 ① X Mod 3 = 2 ② X Mod 5 = 4 ③ X Mod 6 = 5 ④ X Mod 7 = 0 ⑤ 由①知 X 为奇数；
由⑤知 X 为 7 的倍数；
因此，我们设定循环由 7 开始，每次增加 14（如果增加的值为 7，那么初值 7 是奇数，
增加的值是 7 也是奇数，而“奇数＋奇数＝偶数”。由条件①可知，偶数肯定不是该问题的解，
所以增加的值应至少为 14），循环体中比较 X 是否满足条件②、③、④，如果满足，则找到了 满足条件的 X。
控件的属性和作用如表 4-23 所示，程序运行结果如图 4-33 所示。
表 4-23 例 4.25 的属性设置
对象 属性 属性值 功能
Form1 Caption 例 4.25 计算阶梯数 显示程序的名称
（名称） lblResult Label
Caption 最少阶梯数为： 显示计算结果
（名称） cmdStart CommandButton
Caption 计算 开始计算
CommandButton （名称） cmdClose 关闭窗口
图 4-33 例 4.25 的程序运行界面
“计算”命令按钮（cmdStart）的程序源代码如下：
Private Sub cmdStart_Click() Dim X%
X = 7 Do
If X Mod 3 = 2 And X Mod 5 = 4 And X Mod 6 = 5 Then lblResult.Caption = lblResult.Caption & X
Exit Do Else
X = X + 14 End If
Loop End Sub 解法 2
分析：假设阶梯有 X 阶，则：
X Mod 2 = 1 ① X Mod 3 = 2 ② X Mod 5 = 4 ③ X Mod 6 = 5 ④ X Mod 7 = 0 ⑤ 由①、②、③、④知 X＋1 是 2、3、5、6 的倍数，
也就是 X＋1 能同时整除 2、3、5、6，换句话说就是(X+1)可整除 2、3、5、6 的最小公 倍数 30，可用表达式表示为：
(X+1) Mod 30 = 0 ⑥
现在条件减少到⑤和⑥两个，由条件⑥控制循环：X 由 29 开始，每次增加 30，循环 体中比较 X 是否满足条件⑤，如果满足，则找到了满足条件的 X。
假设程序中我们仍然用 intLadder 表示阶梯数，程序代码可以修改为：
Private Sub cmdStart_Click() Dim X%
X = 29 Do
If X Mod 7 = 0 Then
lblResult.Caption = lblResult.Caption & X Exit Do
Else
X = X + 30 End If Loop
End Sub 4.4.2 递推法
递推法就是在已知某个结果的前提下，根据已经给出的（或者是分析总结出的）递推公 式，推出下一个结果的方法。
【例 4.26】有斐波那契数列（Fabonacci），已知前两个数分别是 1、1，从第三个数据开始 每个数据都是其前两个数据的和，编写程序，输出该数列的前 12 个数。
分析：我们用 A、B 分别表示前两个数。由于从第三个数开始每个数都是其前两个数的和，
所以如果仍然用 A、B 表示第三、四个数，则有：
A = A + B B = B + A ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ 第 3 个数 第 1 个数 第 2 个数 第 4 个数 第 2 个数 第 3 个数 因此，我们得到的递推公式为：
A=A+B B=B+A
为了简单直观起见，假设程序中我们用 A，B 表示数列的递推数据，“计算”命令按钮的 程序源代码如下：
Private Sub cmdStart_Click() Dim A%, B%, I%
A = 1: B = 1 Print A, B For I = 2 To 6 A = A + B B = B + A Print A, B Next I
End Sub
程序运行结果如图 4-34 所示。
图 4-34 例 4.26 的程序运行界面
【例 4.27】一个猴子摘了一堆桃子，第一天吃了一半，又多吃一个；第二天还是吃了一 半，又多吃一个。它每天如此，到第 5 天时只剩一个桃子了。编写程序，计算猴子第一天共摘 了多少个桃子？
分析：这个问题与上例正好相反，现在知道第 5 天有一个桃子问第一天有多少桃子？
因此，若用 Ti表示第 i 天的桃子数，则有：
i 1 Ti
T 1
2 （i=1,2,…）
即： Ti=2×(Ti+1+1) （i=1,2,…）
由此例可知：
T5=1
T4=2×(T5+1)
=2×(1+1) ...
依此类推即可求得 T1。
假设程序中我们用 T 表示每天的桃子数。
用循环控制执行 4 次 T=2*(T+1)即可。
控件的属性和作用如表 4-24 所示，程序运行结果如图 4-35 所示。
表 4-24 例 4.27 的属性设置
对象 属性 属性值 功能
Form1 Caption 例 4.27 猴子摘桃子 显示程序的名称
（名称） lblResult Label
Caption 显示计算结果
（名称） cmdStart CommandButton
Caption 计算 开始计算
CommandButton （名称） cmdClose 关闭窗口
图 4-35 例 4.27 的程序运行界面
“计算”命令按钮（cmdStart）的程序源代码如下：
Private Sub cmdStart_Click() Dim intPeach%, I%
intPeach = 1 For I = 1 To 4
intPeach = 2 * (intPeach + 1) Next I
lblResult.Caption = "猴子第一天共摘了 " & intPeach & " 个桃子"
End Sub