上一章我們已得到 equation of motion 並求其解，現在要進一步作平衡點展 開(一階線性化)的動作，以分析解的穩定性問題[14-15]。這和物理學家們經常對 於所研究的系統作微擾的動作是同樣的手法。我們再次從 inflation universe parameters 出發。
已知:
23
以及 constraint:
( ) ( )( ) ( ) ( )
24
25
26
27
28
29
864 1080 1188 675
36 90 36 1
3888 2916 3888 1620 2916 648
324 324 324 216 324 189
2
7776 3402 7776 972 3402 243
972 486
972 162 486
81 5832 1458 5832 1458
2 得到 eigenvalues 為[16]:
(
2)
3 3 1
1 1 8 , 9 2 , 1 4 , 0, 0, 3, 3, 3
2 2 2 B
λ= − ± + Σ − ± − − − Σ+ − − − (4.29)
(4.27)為一階線性化分析之結果，我們已看出所得的 eigenvalues 已明顯有負號 項存在，已知:
根據非線性動力學相關理論(參考 Appendix B)，只要再找到正號項，系統的解必 為 saddle points，即為 unstable。
由於系統是一個 10×10 的矩陣，因此以上 eigenvalues 的計算，我們需藉由電腦 程式來幫助我們做運算，有關程式的詳細內容請參考 Appendix C。
30
Chapter 5
結論
這篇論文首先介紹 FRW 宇宙模型，而最後得到的解形式為:
( ) ,
3 a t ∝ e
HtH = Λ
會是一個我們稱為 de Sitter solution 的結果，而其物理意義描述宇宙在一開始 t=0 時會是一個點，之後會隨著時間以自然指數的形式一直膨漲下去。目前為止 FRW 宇宙模型預測的結果和我們的宇宙所觀測到的現象都是吻合的，但不禁讓 人提出疑問，宇宙在演化上為何具有高度均勻(Homogeneous)且勻向(isotropic) 的對稱特質?難道宇宙在早期都是這麼完美的嗎?因此我們採用 Bianchi type I (BI) 這類非勻向(anisotropic)的宇宙模型，來探討宇宙演化上各種的可能性。而 研究數據所呈現的結果，都符合 Hawking 和 Gibbons 等人所提出的無毛定理 [18-19]，即宇宙常數為正的情況下，宇宙模型除了 de Sitter solution 之外所得的 解最後都會不穩定。無毛定理目前只是個猜測的理論，究竟最後是不是正確的推 論?仍要不斷地被驗證下去。這對往後的研究者而言，提供了一個大方向。或許 有一天，早期宇宙的神秘面紗，有機會在世人面前被完全掀開，讓人類一窺它的 真面目。
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宇宙無毛定理以及目前被驗證的進展關係圖:
說明：
1. R. Wald(1983)[3]: 不限 Lagrange,限 Bianchi I-VIII 且符合 SEC,DEC 的解, 不穩定。
2. J. Barrow,S. Hervik[14],林英程(2010)：L= − Λ +R 2 αR2 +βR Rµν µν,Bianchi I, 不符合能量條件的解(BH solutions),不穩定。
3. W. Kao,林英程(2009), J. Barrow,S. Hervik[14]：L= − Λ +R 2 αR2 +βR Rµν µν, Bianchi II, 不符合能量條件的解(BH solutions),不穩定。
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Appendix A
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Appendix B
若我們考慮一個 homogeneous linear system 如下:
11 12
34 根據(4.27)所求出的 eigenvalues 可看出已確定系統有負的 eigenvalue，另外可由(4.28)確定也有正的 eigenvalue，因此系統一階線性化的結果我們可以確定會有 saddle point 的存在。
現在我們進一步探討系統的穩定性分析，可以再整理出一個關係表如下[17]:
35
我們可以看出 saddle point 的存在會讓系統處於 unstable。
36
Appendix C
這邊附上關於論文裡需要用到的數學軟體 Mathematica 程式碼:
1.
[ , , , , 2 , , ,
1 , 1 , 2 , 2 , , , , , , 2, ,
, 1, 1, 2, 2, 2 , , 1, 2, , , 2, , ]
Clear Bprime prime nprime Qprime Q prime pprime mprime p prime m prime p prime m prime constraint B n Q Q p
37
38
matrix Bprime Bprime Bprime Bprime Bprime Bprime Bprime Bprime Bprime Bprime prime prime
prime prime prime prime prime prime
prime prime nprime nprime nprime nprime nprime nprime nprime nprime nprime nprime
Qprime Qprime Qprime Qprime Qprime Qprime Qprime Qpri
me Qprime Qprime Q prime Q prime Q prime Q prime Q prime Q prime Q prime Q prime
Q prime Q prime pprime pprime pprime pprime pprime pprim
e pprime pprime pprime pprime mprime mprime mprime mprime mprime mprime mprime mprime mprime mprime p prime
p prime p prime
p prime p prime p prime p prime p prime p prime p prime m prime
m prime m prime m prime m prime m prime m prime m prime m prime m p
rime p prime p prime p prime p prime p prime p prime p prime p prime p prime p prime
39
eigenvaluesDet matrix
9.
[ 0, ]
Solve eigenvaluesã
40
Reference
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